第三章
3.2 3.2.2 函数模型的应用实例
课时分层训练
1．用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 B．4
C．6 D．12
解析：选A 设隔墙长度为x，如图所示，
则与隔墙垂直的边长为＝12－2x，
所以矩形面积S＝x·(12－2x)＝－2x2＋12x,0所以当x＝3时，Smax＝18.
2．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是( )
A．x>22%
B．x<22%
C．x＝22%
D．x的大小由第一年的产量确定
解析：选B (1＋x)2＝1＋44%，解得x＝0.2<0.22.故选B.
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40
C．25 D．130
解析：选C 若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用25人．
4．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77
C．2.89 D．4.40
解析：选B 由题意可知50＝10＋(90－10)·e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77.
5．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增加0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( )
A．1.00元 B．0.90元
C．1.20元 D．0.80元
解析：选B 设x为通话时间，y为通话费用，则y＝0.2＋0.1×([x]－3)([x]是大于x的最小整数，x>0)，令x＝，故[x]＝10，则y＝0.90.故选B.
6．已知汽车刹车距离y(米)与行驶速度的平方v2(v的单位：千米/时)成正比，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为________米．
解析：由汽车刹车距离y(米)与行驶速度的平方v2(v的单位：千米/时)成正比，设y＝kv2，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米，
∴20＝3 600k，
解得k＝，
∴y＝v2，
当v＝90千米/时，
∴y＝×902＝45米．
答案：45
7．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f(x)的解析式为________________．
解析：由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得
y＝f(x)＝
答案：y＝f(x)＝
8．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)．
解析：当N＝40时，t＝－144lg
＝－144lg＝－144(lg 5－2lg 3)
＝－144(1－lg 2－2lg 3)＝36.72.
答案：36.72
9．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
第一套
第二套
椅子高度x(cm)
40.0
37.0
桌子高度y(cm)
75.0
70.2
(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；
(2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？
解：(1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，
故可设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，
得所以
所以y与x的函数解析式是y＝1.6x＋11.
(2)把x＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2.
所以给出的这套桌椅是配套的．
10．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
解：(1)总成本为(20 000＋100x)元，从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，
f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
所以当x＝300时，
f(x)max＝25 000；
当x＞400时，
f(x)为减函数，
f(x)＜60 000－40 000＝20 000＜25 000.
所以当月产量为300台时，公司所获得的利润最大，最大利润为25 000元．
1．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
解析：选A 由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
2．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
解析：选A 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，则y＝xQ－P＝x－＝x2＋(a－5)x－1 000(x>0)．
由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
所以
解得
3．某电脑公司2018年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2020年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2018年到2020年每年经营总收入的年增长率相同，则2019年预计经营总收入为________万元．
解析：设从2018年到2020年每年经营总收入的年增长率为x.
由题意，得2018年经营总收入为＝1 000万元，
则有1 000(1＋x)2＝1 690.
解得x＝0.3，
故2019年预计经营总收入为1 000(1＋0.3)＝1 300(万元)．
答案：1 300
4．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月本地网内打出的电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图所示，当打出电话150分钟时，这两种方式话费相差________元．
解析：设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t.
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，
所以k2－k1＝.
当t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.
答案：10
5．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围？
解：(1)由题意得
y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×[1 000×(1＋0.6x)](0整理，得y＝－60x2＋20x＋200(0(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，根据题意必须满足
即
解不等式组，得0故为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围是06．小张周末自驾游，早上8点从家出发，驾车3 h到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系为s(t)＝－5t(t－13)．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回．
(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；
(2)在距离小张家60 km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．
解：(1)依题意得当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)，
所以s(3)＝－5×3×(3－13)＝150，
即小张家距离景点150 km，
小张的车在景点逗留时间为16－8－3＝5(h)，
所以当3＜t≤8时，s(t)＝150，
小张从景点回家所花时间为＝2.5(h)，
所以当8＜t≤10.5时，s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330.
故s(t)＝
(2)当0≤t≤3时，令－5t(t－13)＝60，
得t2－13t＋12＝0，
解得t＝1或t＝12(舍去)．
当t＝1时，时间为9点；
当8＜t≤10.5时，令60t－330＝2×150－60＝240，
解得t＝.当t＝时，时间为17点30分．
即小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17点30分．
课件56张PPT。3.2 函数模型及其应用
3.2.2 函数模型的应用实例登高揽胜 拓界展怀1 课前自主学习√ √ 剖析题型 总结归纳2 课堂互动探究知识归纳 自我测评3 堂内归纳提升word部分： 请做： 4 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块
