章末综合质量检测卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，没有零点的是( )
A．f(x)＝log2x－7 B．f(x)＝－1
C．f(x)＝ D．f(x)＝x2＋x
解析：选C 对于f(x)＝log2x－7，当x＝27时，f(27)＝log227－7＝7－7＝0；对于f(x)＝－1，当x＝1时，f(1)＝－1＝0；对于f(x)＝x2＋x；当x＝－1时，f(－1)＝1－1＝0；由于函数f(x)＝中，对任意自变量x的值，均有≠0，故该函数不存在零点．
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
解析：选A 因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以f(－3)·f(－1)<0，f(2)·f(4)<0.故方程的两个根所在区间分别是(－3，－1)和(2,4)．
3．已知函数f(x)＝2x－b的零点为x0，且x0∈(－1,1)，则b的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－1,1)
C. D．(－1,0)
解析：选A 解方程f(x)＝2x－b＝0，得x0＝，所以∈(－1,1)，即b∈(－2,2)．
4．已知函数f(x)＝4x－2x＋1－3，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
解析：选C 因为f(x)＝4x－2x＋1－3为连续函数，f(1)＝4－4－3＝－3<0且f(2)＝16－8－3＝5>0.因为f(1)·f(2)<0，所以函数f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
5．已知一根蜡烛长为20 cm，若点燃后每小时燃烧5 cm，则蜡烛燃烧剩下的高度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：小时)的函数关系用图象表示为( )
解析：选B 本题结合函数图象考查一次函数模型，由题意得h＝20－5t(0≤t≤4)，故选B.
6．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%；超过280万元的部分按(p＋2)%征税．现有一家公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是( )
A．560万元 B．420万元
C．350万元 D．320万元
解析：选D 设该公司的年收入为a万元，
则280p%＋(a－280)(p＋2)%＝a(p＋0.25)%.
解得a＝＝320.
7．已知0
A．2 B．3
C．4 D．与a的值有关
解析：选A 设y1＝a|x|y2＝|logax|分别作出它们的图象如图所示．
由图可知，两个图象有两个交点，故方程a|x|＝|logax|有两个根．故选A.
8.
如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的( )
解析：选C 设AB＝a，则y＝a2－x2＝－x2＋a2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴正半轴上．故选C.
9．若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N*)内，则n＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选A 设g(x)＝ln x，h(x)＝－3x＋7，则函数g(x)和函数h(x)的图象交点的横坐标就是函数f(x)的零点．
在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和函数h(x)的图象，如图所示．
由图象知函数f(x)的零点属于区间，
又f(1)＝－4<0，f(2)＝－1＋ln 2＝ln<0，f(3)＝2＋ln 3>0，所以函数f(x)的零点属于区间(2,3)．
所以n＝2.
10．将甲桶中的a升水缓慢注入大小、形状都相同的空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有升，则m的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选D 令a＝aent，即＝ent，由已知得＝e5n，故＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.
11．已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(0,1) B．(0,2)
C．(0,3) D．(1,3)
解析：选A 函数f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示．
方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，等价于函数y＝f(x)的图象与y＝a有三个不同的交点．根据图象可知，当012．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：选B 由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上，f(x1)f(x0)＝0.故选B.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，则实数m的取值是________．
解析：若m≠0，则Δ＝4－12m＝0，m＝，
又m＝0也符合要求，
所以m＝0或.
答案：0或
14．函数y＝|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________．
解析：在同一直角坐标系中，画出y1＝|x|和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0答案：(0,1)
15．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；若每月超过8吨，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费20元，则该职工这个月实际用水________吨．
解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x＞8.则水费为16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，所以x＝9.
答案：9
16．某商家1月份至5月份累计销售额达3 860万元，预测6月份销售额为500万元，7月份销售额比6月份递增x%,8月份销售额比7月份递增x%,9、10月份销售总额与7、8月份销售总额相等，若1月份至10月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
解析：由题意得3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，
化简得x2＋300x－6 400≥0，
解得x≥20或x≤－320(舍去)．
所以x≥20，即x的最小值为20.
答案：20
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)，当2解：∵a>2，∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b，
∵2∴－2又1∴00.
又f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，
∴f(x)在(2,3)内必存在唯一零点．∴n＝2.
18．(本小题满分12分)设f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3,2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时，求其值域．
解：(1)因为f(x)的两个零点分别是－3,2，所以
即
解得a＝－3，b＝5，f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)知f(x)＝－3x2－3x＋18的对称轴为x＝－，函数开口向下，所以f(x)在[0,1]上为减函数，f(x)的最大值f(0)＝18，最小值f(1)＝12，所以值域为[12,18]．
19．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解：(1)由题意知y＝
(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
2log5(x－9)＝4，log5(x－9)＝2，
所以x－9＝52，
解得x＝34.
即老江的销售利润是34万元．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a＞0且a≠1)，g(x)＝x－1.
(1)若函数y＝f(x)的图象恒过定点A，求点A的坐标；
(2)若函数F(x)＝f(x)－g(x)的图象过点，试证明函数F(x)在x∈(1,2)上有唯一零点．
解：(1)因为函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)，
所以函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过点A(－1，－1)．
(2)证明：F(x)＝f(x)－g(x)
＝loga(x＋2)－1－x－1，
因为函数F(x)的图象过点，
所以F(2)＝，
即loga4－1－2－1＝，
所以a＝2.所以F(x)＝log2(x＋2)－x－1－1.
所以函数F(x)在(1,2)上是增函数．
又因为F(1)＝log23－2<0，F(2)＝>0，
所以函数F(x)在(1,2)上有零点，
故函数F(x)在(1,2)上有唯一零点．
21．(本小题满分12分)经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系：第x(1≤x≤30，x∈N*)天的销售价格(单位：元/件)为f(x)＝第x天的销售量(单位：件)为g(x)＝a－x(a为常数)，且在第20天该商品的销售收入为1 200元(销售收入＝销售价格×销售量)．
(1)求a的值，并求第15天该商品的销售收入；
(2)求在这30天中，该商品日销售收入y的最大值．
解：(1)当x＝20时，由f(20)g(20)＝(60－20)(a－20)＝1 200，解得a＝50.从而可得f(15)g(15)＝(60－15)(50－15)＝1 575(元)，
即第15天该商品的销售收入为1 575元．
(2)由题意可知
y＝
即y＝
当1≤x≤10时，y＝－x2＋10x＋2 000＝－(x－5)2＋2 025.故当x＝5时y取最大值，ymax＝－52＋10×5＋2 000＝2 025.当1022．(本小题满分12分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
解：(1)由图象知t∈N,0≤t≤20,20＜t≤30时，P是t的一次函数．且过点(0,2)，(20,6)，(30,5)．
由此可得，P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为
P＝
(2)Q与t满足一次函数关系，
即Q＝－t＋40,0≤t≤30，t∈N.
(3)由(1)(2)可知
y＝
＝
当0≤t≤20，t＝15时，ymax＝125，
当20＜t≤30，y随t的增大而减小，y＜×(20－60)2－40＝120.
所以在这30天中的第15天，日交易额最大，最大值为125万元．
课件35张PPT。章末复习与总结
创新拓展 思想方法 