第一章
1.1 1.1.1
第一课时 集合的含义
课时分层训练
1．下列各组对象中能构成集合的是( )
A．2019年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目
B．某学校高二年级高个子的学生
C.的近似值
D．2018年全国经济百强县
解析：选D 由于集合中的元素是确定的，所以D中对象可构成集合．
2．给出下列关系：(1)∈R；(2)∈Q；(3)－3?Z；(4)－?N，其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 是实数，(1)正确；是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－是无理数，(4)正确．故选B.
3．已知集合A是不等式2x－1>3的解集，则( )
A．2∈A B．∈A
C．3∈A D．－1∈A
解析：选C 由2x－1>3，得x>2.∴3∈A.
4．已知集合M中有两个元素3，m＋1，若4∈M，则实数m的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选B 由4∈M，得m＋1＝4，即m＝3.
5．设集合A是方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0的解集，且集合A中有两个元素，则实数a的取值范围是( )
A．a≥－ B．a＝－
C．a＞－ D．a＜－
解析：选C 由题意可知，方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有两个不等的实数根，故Δ＝(2a＋1)2－4a2>0，得a＞－.
6．下列说法中①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．
解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
答案：②④
7．已知集合A中含有三个元素3,4,6，且当a∈A，有8－a∈A，那么a＝________.
解析：若a＝3，则8－a＝5?A，故a≠3；
若a＝4，则8－4＝4∈A，故a＝4合适；
若a＝6，则8－6＝2?A，故a≠6.
答案：4
8．由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合是同一个集合，则a2 018＋b2 018＝________.
解析：∵a≠0，由题意得＝0，
∴b＝0，又a2≠a＋b，
∴a2＝1，∴a＝－1，∴a2 018＋b2 018＝1.
答案：1
9．若方程ax2＋bx＋1＝0的解集与集合A相等，且集合A中的元素为1,2，求a，b的值．
解：由题意得ax2＋bx＋1＝0的解为x＝1或x＝2，
由韦达定理得
得
∴a的值为，b的值为－.
10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.
(1)若－3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值．
解：(1)因为－3∈A，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.
1．已知a∈N，b∈R，则下面一定正确的是( )
A．a＋b∈N B．a＋b∈Z
C．a＋b∈Q D．a＋b∈R
答案：D
2．由实数x，－x|x|，－所组成的集合，最多含有( )
A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
解析：选A ＝|x|－＝－x.
当x＝0时，它们均为0；
当x>0时，它们分别为x，－x，x，x，－x；
当x<0时，它们分别为x，－x，－x，－x，－x.
通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．
3．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 当a>0且b>0时，＋＝2；
当a·b<0时，＋＝0；
当a<0且b<0时，＋＝－2.
所以集合中的元素为2,0，－2.
即元素的个数为3.
4．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B
D．(3,10)∈A，且2∈B
解析：选C 集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3,10)∈B，故选C.
5．已知集合A中的元素满足ax2－bx＋1＝0，又集合A中只有唯一的一个元素1，则实数a＋b的值为________．
解析：当a≠0时，由题意可知方程ax2－bx＋1＝0有两个相等的实数根，
故解得a＝1，b＝2.
故a＋b＝3.
当a＝0时，b＝1，此时也满足条件，
所以a＋b＝1，故a＋b的值为1或3.
答案：1或3
6．已知集合A中含有1,0，x这三个元素．若x2∈A，则实数x的值为________．
解析：若x2＝0，则x＝0，此时三个元素为1,0,0，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时，集合中元素为1,0,1，舍去；
当x＝－1时，集合中元素为1,0，－1，符合题意．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合集合中元素的互异性，所以x＝－1.
答案：－1
7．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．
解析：因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，所以y的值为0,1，即集合A中的元素为0,1.又t∈A，所以t＝0或1.
答案：0或1
8．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
证明：(1)若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以＝－1∈A.
因为－1∈A，所以＝∈A.
因为∈A，所以＝2∈A.
所以A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数解．
所以a≠，所以集合A不可能是单元素集．
课件46张PPT。1.1 集 合
1.1.1 集合的含义与表示
第一课时 集合的含义登高揽胜 拓界展怀1 课前自主学习研究对象 总体 集 元素 × √ √ × ∈ ? N Z Q R √ √ 剖析题型 总结归纳2 课堂互动探究知识归纳 自我测评3 堂内归纳提升word部分： 请做： 4 课时分层训练
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1.1 1.1.1
第二课时 集合的表示
课时分层训练
1．下列命题中正确的是( )
①0与{0}表示同一个集合；
②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{x|4A．①和④ B．②和③
C．② D．②和④
解析：选C ①中的0不是集合，故①错；由集合中元素的无序性知②正确；由集合中元素的互异性知③错；因为集合{x|42．设集合A＝{x∈Q|x>－1}，则( )
A．0?A B．?A
C．－2∈A D．∈A
解析：选B ∵集合A是由所有大于－1的有理数构成的集合，∴0∈A，?A，－2?A.
3．下列各组中的M、P表示同一集合的是( )
①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)} ②M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)} ③M＝{y|y＝x2－1}，P＝{t|t＝x2－1} ④M＝{y|y＝x2－1}，P＝{(x，y)|y＝x2－1}
A．① B．②
C．③ D．④
解析：选C 在①中，M＝{3，－1}是数集，P＝{(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故①错误；在②中，M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}表示的不是同一个点，故②错误；在③中，M＝{y|y＝x2－1}＝[－1，＋∞)，P＝{t|t＝x2－1}＝[－1，＋∞)，二者表示同一集合，故③正确；在④中，M＝{y|y＝x2－1}表示数集，P＝{(x，y)|y＝x2－1}表示一条抛物线上的点的集合，故④错误，故选C.
4．集合用描述法可表示为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 由3，，，，即，，，，从中发现规律，x＝，n∈N*，故可用描述法表示为.
5．(2019·济南高一检测)集合{x|x2－6x＋9＝0}中的所有元素之和为( )
A．0 B．3
C．6 D．9
解析：选B ∵{x|x2－6x＋9＝0}＝{3}，故元素之和为3.
6．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且?A，则实数a的取值范围是________．
解析：由于?A，∴2×＋a≤0，∴a≤－1.
答案：a≤－1
7．集合A＝{(x，y)|y＝x2－1，－1≤x≤1，且x∈Z}用列举法表示为________．
解析：∵－1≤x≤1，且x∈Z，∴x的值为－1,0,1.当x＝－1时，y＝12－1＝0；当x＝0时，y＝－1；当x＝1时，y＝0，∴集合A＝{(－1,0)，(0，－1)，(1,0)}．
答案：{(－1,0)，(0，－1)，(1,0)}
8．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|x∈A}，则B＝________.
解析：因为|－1|＝1，故B＝{0,1}．
答案：{0,1}
9．用适当的方法表示下列集合．
(1)“BRICS”中所有字母组成的集合；
(2)绝对值等于6的数组成的集合；
(3)所有三角形组成的集合；
(4)直线y＝x上去掉原点的点组成的集合；
(5)大于2且小于5的有理数组成的集合；
(6)24的所有正因数组成的集合；
(7)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合．
解：(1)用列举法表示为{B，R，I，C，S}．
(2)因为绝对值等于6的数是±6，所以用列举法表示为{－6,6}．
(3)用描述法表示为{x|x是三角形}或{三角形}．
(4)用描述法表示为{(x，y)|y＝x，x≠0}．
(5)用描述法表示为{x|2＜x＜5，且x∈Q}．
(6)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．
(7)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|到y轴的距离为|x|所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．
10．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.
解：将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理得x2－(a＋1)x＋b＝0.
因为A＝{－3,1}，
所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3,1.
由根与系数的关系得
解得所以y＝x2＋3x－3.
将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理得x2＋6x－3＝0，
解得x＝－3±2，
所以B＝{－3－2，－3＋2}．
1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，所以M中的元素有：5,6,7,8，共4个．故选B.
2．已知M＝{(x，y)|2x＋3y＝10，x，y∈N}，N＝{(x，y)|4x－3y＝1，x，y∈R}，则( )
A．M是有限集，N是有限集
B．M是有限集，N是无限集
C．M是无限集，N是无限集
D．M是无限集，N是有限集
解析：选B 因为M＝{(x，y)|2x＋3y＝10，x，y∈N}＝{(2,2)，(5,0)}，所以M为有限集．N＝{(x，y)|4x－3y＝1，x，y∈R}中有无限多个点满足4x－3y＝1，故N为无限集．
3．设P，Q为两个实数集，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是( )
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：选B 因为0＋1＝1,0＋2＝2,0＋6＝6,2＋1＝3，2＋2＝4,2＋6＝8,5＋1＝6,5＋2＝7,5＋6＝11，所以P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．故选B.
4．已知P＝{x|2A．5C．5解析：选C 因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，可得55．(2019·新乡高一检测)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则实数m的值为________．
解析：因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，当m＝－时，m＋2＝≠3，符合题意．所以m＝－.
答案：－
6．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，则a－b＝________.
解析：由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，
因此a＝5，b＝6.故a－b＝－1.
答案：－1
7．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，在此定义下，则集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N*，b∈N*}中的元素的个数为________．
解析：从定义出发，抓住a，b的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键．当a，b同奇偶时，根据m※n＝m＋n将12分拆为两个同奇偶数的和，当a，b一奇一偶时，根据m※n＝mn将12分拆为一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即可．
若a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点(6,6)，这时有2×5＋1＝11(个)；
若a，b一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4(个)．
所以共有11＋4＝15(个)．
答案：15
8．已知集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17}，集合X＝{x1，x2，…，x8}是集合S的一个含有8个元素的子集．当X＝{1,2,5,7,11,13,16,17}时，设xi，xj∈(1≤i，j≤8)，
(1)写出方程 xi－xj＝3的解(xi，xj)；
(2)若方程xi－xj＝k(k>0)至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值．
解：(1)方程xi－xj＝3的解有：(xi，xy)＝(5,2)，(16,13)．
(2)以下规定两数的差均为正，则：
列出集合X的从小到大8个数中相邻两数的差：1,3,2,4,2,3,1；
中间隔一数的两数差(即上一列差数中相邻两数和)：4,5,6,6,5,4；
中间相隔二数的两数差：6,9,8,9,6；
中间相隔三数的两数差：10,11,11,10；
中间相隔四数的两数差：12,14,12；
中间相隔五数的两数差：15,15；
中间相隔六数的两数差：16.
这28个差数中，只有4出现3次，6出现4次，其余都不超过2次，
所以k的可能取值有4,6.
课件50张PPT。1.1 集 合
1.1.1 集合的含义与表示
第二课时 集合的表示登高揽胜 拓界展怀1 课前自主学习一一列举 共同特征 一般符号 取值(或变化)范围 共同特征 × × √ √ × 剖析题型 总结归纳2 课堂互动探究知识归纳 自我测评3 堂内归纳提升word部分： 请做： 4 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块
