第一章
1.2 1.2.2
第一课时 函数的表示法
课时分层训练
1．若g(x＋2)＝3x＋2，则g(3)＝( )
A．5 B．1
C．11 D．9
解析：选A 令x＝1，得g(3)＝3×1＋2＝5.
2．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)等于( )
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
解析：选B 因为f(x)＝2x＋3，所以f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B.
3．若f＝，则当x≠0,1时，f(x)等于( )
A. B．
C. D．－1
解析：选B 设＝t，则x＝，∴f(t)＝＝，∴f(x)＝.
4．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝2x＋17，则f(x)等于( )
A.x＋5 B．x＋1
C．2x－3 D．2x＋1
解析：选A 因为f(x)是一次函数，
设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由3f(x＋1)＝2x＋17，得3[a(x＋1)＋b]＝2x＋17，
整理得3ax＋3(a＋b)＝2x＋17，
所以所以
所以f(x)＝x＋5，故选A.
5．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．
则正确论断的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故③错．
6．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．
解析：将点(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
答案：5
7．已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f[g(2)]的值为________．
x
1
2
3
F(x)
2
3
0
解析：由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，
则f[g(2)]＝f(1)＝2.
答案：2
8．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.
解析：由f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，得(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝x2＋10x＋24，即a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3＝x2＋10x＋24，由系数相等得解得a＝－1，b＝－7或a＝1，b＝3，则5a－b＝2.
答案：2
9．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．
解：(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，由图知定义域为[－3,0]∪[1,4]．
(2)由图知值域为[－2,2]．
(3)由图知：p∈(0,2]时，只有唯一的m值与之对应．
10．已知函数f(x)＝g(x)＋h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于成反比，且g(1)＝2，h(1)＝－3.求：
(1)函数f(x)的解析式及其定义域；
(2)f(4)的值．
解：(1)设g(x)＝k1x2(k1∈R，且k1≠0)，
h(x)＝(k2∈R，且k2≠0)，
由于g(1)＝2，h(1)＝－3，
所以k1＝2，k2＝－3.
所以f(x)＝2x2－，
定义域是(0，＋∞)．
(2)由(1)，得f(4)＝2×42－＝.
1．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g[f(x)]＝x2－x＋1，则实数a的值为( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．1或－2
解析：选B 因为g(x)＝(x2＋3)，所以g[f(x)]＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.故选B.
2．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
解析：选D 由图知固定位置到点A距离大于到点C距离，所以舍去N，M点，不选A，B；若是P点，则从最高点到C点依次递减，与图1矛盾，因此取Q，即选D.
3．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的函数解析式为( )
A．y＝x(x>0) B．y＝x(x>0)
C．y＝x(x>0) D．y＝x(x>0)
解析：选C 正方形外接圆的直径是它的对角线，因为正方形的边长为，由勾股定理得(2y)2＝2＋2，所以y2＝，即y＝x(x>0)．
4．定义两种运算：a⊕b＝，a?b＝，则函数f(x)＝的解析式为( )
A．f(x)＝，x∈[－2,0)∪(0,2]
B．f(x)＝，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．f(x)＝－，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．f(x)＝－，x∈[－2,0)∪(0,2]
解析：选D ∵f(x)＝＝＝.
由得－2≤x≤2，且x≠0.
∴f(x)＝－，x∈[－2,0)∪(0,2]．
5．已知f＝1＋x2，则f(x)＝________.
解析：令＝t(t≠0)，则x＝－1.所以f＝f(t)＝1＋2＝－＋2.
故f(x)＝－＋2(x≠0)．
答案：－＋2(x≠0)
6．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f{f[f(2)]}＝________.
解析：由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2.
因此，有f{f[f(2)]}＝f[f(0)]＝f(4)＝2.
答案：2
7．定义在R上的函数f(x)对任意的实数x，y满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，f(1)＝2，则f(3)＝________.
解析：令x＝y＝1，则f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2.
∵f(1)＝2，∴f(2)＝6.
令x＝2，y＝1，则f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2，
∴f(3)＝6＋2＋4＝12.
答案：12
8．设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式．
解：解法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0；①
又因为|x1－x2|＝＝2，
所以b2－4ac＝8a2；②
又由已知得c＝1.③
由①②③解得b＝2，a＝，c＝1，
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
解法二：因为f(x－2)＝f(－x－2)，
故y＝f(x)的图象有对称轴x＝－2，可设y＝a(x＋2)2＋k(a≠0)，当x＝0时，y＝4a＋k＝1.
y＝0时，a(x＋2)2＋k＝0，
即ax2＋4ax＋4a＋k＝0.
得ax2＋4ax＋1＝0，x1＋x2＝－4，x1·x2＝，
|x1－x2|＝＝ ＝2.
a＝，k＝－1.
所以f(x)＝(x＋2)2－1.
即f(x)＝x2＋2x＋1.
解法三：因为y＝f(x)的图象有对称轴x＝－2，
又|x1－x2|＝2，
所以y＝f(x)的图象与x轴的交点为(－2－，0)，(－2＋，0)．故可设f(x)＝a(x＋2＋)(x＋2－)．
因为f(0)＝1，
所以a＝.
所以f(x)＝[(x＋2)2－2]＝x2＋2x＋1.
课件55张PPT。1.2.2 函数的表示法
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1.2 1.2.2
第二课时 分段函数及映射
课时分层训练
1．下列对应是从集合M到集合N的映射的是( )
①M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；
②M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；
③M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；
④M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N.
A．①② B．②③
C．①④ D．②④
解析：选D 对于①，集合M中的元素0在N中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.
2．若A为含三个元素的数集，B＝{－1,3,5}，使得f：x→2x－1是从A到B的映射，则A等于( )
A．{－1,2,3} B．{－1,0,2}
C．{0,2,3} D．{0,1,2}
解析：选C 由映射的概念，A中的元素在关系x→2x－1下，成为－1,3,5，则A＝{0,2,3}．
3．设函数f(x)＝则f[f(3)]＝( )
A. B．3
C. D．
解析：选D f(3)＝，f[f(3)]＝f＝2＋1＝＋1＝.
4．设函数f(x)＝若f(x)＝3，则x＝( )
A．1 B．±
C. D．
解析：选D 若即无解；
若所以x＝.
若无解．
综上可知，x＝.
5．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f等于( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选B 由题图可知，函数f(x)的解析式为
f(x)＝所以f＝－1＝－，
所以f＝f＝－＋1＝.
6．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b,5→5且7→11.若x→20，则x＝________.
解析：由题意知，?
所以y＝3x－10.
由3x－10＝20，得x＝10.
答案：10
7．函数f(x)＝的值域是________．
解析：当0≤x≤1时，2x2∈[0,2]；当x≥2时，x＋1≥3，所以函数f(x)的值域是[0,2]∪[3，＋∞)．
答案：[0,2]∪[3，＋∞)
8．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元．则该职工这个月实际用水量为________立方米．
解析：该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
答案：13
9．设函数f(x)＝若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，求关于x的方程f(x)＝x的解．
解：∵当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，∴f(－2)＝(－2)2－2b＋c，f(0)＝c，f(－1)＝(－1)2－b＋c.
∵f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，
∴解得
则f(x)＝当x≤0时，
由f(x)＝x得x2＋2x－2＝x，得x＝－2或x＝1.
由于x＝1＞0，所以舍去．
当x＞0时，由f(x)＝x得x＝2，
∴方程f(x)＝x的解为－2,2.
10．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕边界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
解：当点P在BC上运动，
即0≤x≤4时，y＝×4x＝2x；
当点P在CD上运动，
即4＜x≤8时，y＝×4×4＝8；
当点P在DA上运动，即8＜x≤12时，
y＝×4×(12－x)＝24－2x.
综上可知，f(x)＝
1．函数f(x)＝x2－2|x|的图象是( )
解析：选C f(x)＝分段画出，应选C.
2．(2019·兰州高一检测)已知f(x)＝g(x)＝则f[g(π)]的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．π
解析：选B g(π)＝0，f[g(π)]＝f(0)＝0.
3．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≤2}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|x＜0}
解析：选A 当x≥0时，f(x)＝1，
xf(x)＋x≤2?x≤1，
所以0≤x≤1；
当x＜0时，f(x)＝0，xf(x)＋x≤2?x≤2，
所以x＜0，综上，x≤1.∴解集为{x|x≤1}，故选A.
4.
如图，在△AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自点O开始移动．设线段OE＝x，过点E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
解析：选D 解法一：当x∈[0,2]时，直线OA：y＝x，此时S＝·x·＝；当x∈(2,3]时，直线AB：y＝3－x，S＝·3·1－·(3－x)·(3－x)＝－＋3x－3；当x>3时，S＝.对比图形特征易得D符合．
解法二：显然当x＝2时，面积为1，排除A，B，注意到x∈[0,2]时，面积增速越来越快，排除C.
5．(2019·聊城高一检测)若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．
解析：由题意知f(x)＝
画出图象为
由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
6．若函数f(x)＝则f＝________.
解析：∵－1<－<0，
∴f＝2×＋2＝，而0<<2.
∴f＝－×＝－.
∵－1<－<0，
∴f＝2×＋2＝.
因此f＝.
答案：
7．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则实数a的值为________．
解析：当a>0时，1－a<1,1＋a>1，
由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不合题意；当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－.
答案：－
8．设集合A＝，B＝，函数f(x)＝若x0∈A，且f[f(x0)]∈A，求x0的取值范围．
解：因为x0∈A，
所以0≤x0＜，且f(x0)＝x0＋，
又≤x0＋＜1，
所以∈B，
所以f[f(x0)]＝2＝2，
又f[f(x0)]∈A，
所以0≤2<，
解得所以＜x0＜.
课件48张PPT。1.2.2 函数的表示法
第二课时 分段函数及映射登高揽胜 拓界展怀1 课前自主学习× √ √ 非空 唯一确定 × √ 剖析题型 总结归纳2 课堂互动探究知识归纳 自我测评3 堂内归纳提升word部分： 请做： 4 课时分层训练
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