第一章
1.3 1.3.2 奇偶性
课时分层训练
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝x2＋2 B．y＝x，x∈(0,1]
C．y＝x3＋x D．y＝x3＋1
解析：选C 对于A，f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝f(x)，即f(x)为偶函数；对于B，定义域不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数；对于C，定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数；对于D，f(－x)＝－x3＋1≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
2．函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
解析：选C 因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
3．若f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为( )
A．±1 B．－1
C．1 D．0
解析：选C 因为f(x)＝(ax＋1)(x－a)＝ax2＋(1－a2)x－a为偶函数，所以1－a2＝0.所以a＝±1.
当a＝1时，f(x)＝x2－1，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件；当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1，在(0，＋∞)上单调递减，不满足．
4．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析：选A F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，符合奇函数的定义．
5．(2019·绵阳高一检测)已知函数y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4 B．2
C．1 D．0
解析：选D 因为f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.
6．若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，
易得b＝0.
答案： 0
7．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1.
答案：－1
8．(2019·济宁高一检测)函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5，满足f(－3)＝2，则f(3)的值为________．
解析：因为f(x)＝ax3＋bx＋＋5，
所以f(－x)＝－ax3－bx－＋5，
即f(x)＋f(－x)＝10.
所以f(－3)＋f(3)＝10，
又f(－3)＝2，所以f(3)＝8.
答案：8
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4)f(x)＝
解：(1)因为f(－x)＝3＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(2)因为x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(3)因为f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，
所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，
所以f(－x)＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，
f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
所以f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)为R上的奇函数.
10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
解：(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.
(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图④为补充后的图象．易知f(1)>f(3)．
1．若函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a,0)∪(0,2a－2)上的偶函数，则f＝( )
A．1 B．3
C. D．
解析：选B 因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f(x)＝2x2＋1.于是f＝f(1)＝3.
2．(2019·武汉高一检测)如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A．－2 B．2
C．1 D．0
解析：选A 由图知f(1)＝，f(2)＝，
又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.故选A.
3．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：选C 依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|·g(x)|f(x)|·g(x)是偶函数，B错；f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)·|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)||f(x)g(x)|是偶函数，D错．故选C.
4．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选C 因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，
又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1，故选C.
5．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，则当x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝________.
解析：若x<0，则－x>0，f(－x)＝x2＋|x|－1，
∵f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2＋|x|－1，f(x)＝－x2－|x|＋1.
答案：－x2－|x|＋1
6．已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋＋t，则f(－2)＝________.
解析：因为函数f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)＝0，即－02＋＋t＝0，解得t＝－1.
所以f(x)＝－x2＋－1.
所以f(2)＝－22＋－1＝－.
又函数f(x)为R上的奇函数，
所以f(－2)＝－f(2)＝.
答案：
7．已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域均为[－3,3]，且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是________．
解析：不等式<0可化为f(x)g(x)<0，
由题图可知，当x>0时，其解集为(0,1)∪(2,3)．
∵y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，
∴f(x)g(x)是奇函数，
∴当x<0时，f(x)g(x)<0的解集为(－2，－1)．
综上，不等式<0的解集是{x|－2答案：{x|－28．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解：(1)因为a>b，所以a－b>0，
由题意得>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，
所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．
课件50张PPT。1.3.2 奇偶性登高揽胜 拓界展怀1 课前自主学习√ × × √ 剖析题型 总结归纳2 课堂互动探究知识归纳 自我测评3 堂内归纳提升word部分： 请做： 4 课时分层训练
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