第一章 1．3 空间几何体的表面积与体积
1．3．2 球的体积和表面积
课时分层训练
1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( )
A. B.
C．8π D.
解析：选C 设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )
A．16π B．20π
C．24π D．32π
解析：选A 设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A.
3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．72π B．48π
C．30π D．24π
解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．
V＝π×32×4＋×π×33＝30π.
4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是( )
A．S正方体>S球 B．S正方体C．S正方体＝S球 D．无法确定
解析：选A 设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝πR3＝a3，∴a＝，R＝，∴S正方体＝6a2＝6＝，S球＝4πR2＝ ＜ .
5．球的表面积S1与它的内接正方体的表面积S2的比值是( )
A. B.
C. D．π
解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a，球的半径为R，则3a2＝4R2，所以a2＝R2，球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积S2＝6a2＝6×R2＝8R2，所以＝.
6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．
解析：过正方体的对角面作截面如图．
故球的半径r＝，
∴其表面积S＝4π×()2＝8π.
答案：8π
7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则球的表面积为________．
解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，
所以有2r1＝a，r1＝，所以球的表面积S1＝4πr＝πa2.
答案：πa2
8．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为________cm2.
解析：设该铁球的半径为r，则由题意得πr3＝π×102×，解得r3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2)．
答案：100π
9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．
解：设三个球的半径分别为R1，R2，R3，
∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，
∴4πR∶4πR∶4πR＝1∶4∶9，
即R∶R∶R＝1∶4∶9，
∴R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，得R∶R∶R＝1∶8∶27，
∴V1∶V2∶V3＝πR∶πR∶πR＝R∶R∶R＝1∶8∶27.
10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
1．(2019·吉林白城四中二模)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是( )
A．24π B．36π
C．48π D．60π
解析：选C 由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半．可得该几何体的外接球的半径r＝2，其外接球的表面积S＝4π×2＝48π，故选C.
2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
解析：选C 根据球的截面的性质，得球的半径R＝＝5(cm)，所以V球＝πR3＝ (cm3)．
3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝( )
A．32＋π B．32＋2π
C．28＋2π D．28＋π
解析：选A 由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.
4．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，
∴(5π＋4)r2＝16＋20π，
∴r2＝4，r＝2，故选B.
5．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．
解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝ ＝2，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π()2＝12π.
答案：12π
6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________．
解析：设球的半径为r，则πr3＝π，得r＝2，三棱柱的高为2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4，所以正三棱柱的体积V＝×(4)2×4＝48.
答案：48
7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.
解析：设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8 cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意得6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4(cm)．
答案：4
8．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积．
解：如图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC，AC相切于点D，E.连接AD，OE，∵△ABC是正三角形，∴CD＝AC.
∵Rt△AOE∽Rt△ACD，
∴＝.
∵CD＝1 cm，∴AC＝2 cm，AD＝ cm，
设OE＝r，则AO＝(－r)，
∴＝，∴r＝ cm，
V球＝π3＝π(cm3)，
即球的体积等于π cm3.
课件39张PPT。第一章 空间几何体 1．3 空间几何体的
表面积与体积
1．3．2 球的体积和表面积登高揽胜 拓界展怀课前自主学习剖析题型 总结归纳课堂互动探究
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