第二章 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1．2 空间中直线与直线之间的位置关系
课时分层训练
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定是异面直线 D．一定垂直
解析：选D 因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D.
2．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
解析：选A 我们现在研究的平台是锥空间．如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：选C 如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.
4．已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．
5．异面直线a，b，有a?α，b?β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( )
A．c与a，b都相交
B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
解析：选D 若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，
∴a∥c.
又c与b都在β内，∴b∥c.
由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．
如图，只有以下三种情况．
6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．
解析：如图所示，连接AD1，则AD1∥BC1.
∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，
∴∠CAD1＝60°，
即AC与BC1所成的角为60°.
答案：60°
7．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(填序号)．
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误；③④正确．
答案：③④
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．
解析：如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，
则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．
设正方体的棱长为a，则A1M＝a，ME＝a，A1E＝a，
所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°.
答案：90°
9．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．
求证：四边形B1EDF是平行四边形．
证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，
∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1(平行公理)．
∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.
又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD綊C1F.
∴四边形QDFC1为平行四边形．
∴C1Q綊DF.∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形．
10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
解：取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.
在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：选A 如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交，故选A.
2．在三棱锥A－BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是( )
A．菱形 B．矩形
C．梯形 D．正方形
解析：选B 如图，在△ABD中，点H，E分别为边AD，AB的中点，所以HE綊BD，同理GF綊BD，所以HE綊GF，所以四边形EFGH为平行四边形．又AC⊥BD，所以HG⊥HE，所以四边形EFGH是矩形，故选B.
3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是( )
A．60° B．75°
C．90° D．105°
解析：选C 设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( )
A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°
C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°
解析：选D 如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.
5．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．
解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．
答案：③
6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中， E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为________．
解析：连接BC1，AD1，AB1，
则EF为△BCC1的中位线，
∴EF∥BC1.
又∵AB綊CD綊C1D1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形．
∴BC1∥AD1.∴EF∥AD1.
∴∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角．
在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1，
∴△AB1D1为正三角形，∴∠AD1B1＝60°.
∴EF与B1D1所成的角为60°.
答案：60°
7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．
解析：取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，
PM＝BD＝3，∴MN＝5.
答案：5
8．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．
解：如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，
由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．
设AB＝a，
∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1
＝2AA1·cos 30°＝a.
又∠BAC＝90°，∴在矩形ABCD中，AD＝a，
∴A1D1＝a，
∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°，
∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝.
课件48张PPT。第二章 点、直线、平面
之间的位置关系2．1 空间点、直线、
平面之间的位置关系
2．1．2 空间中直线与直线之间
的位置关系登高揽胜 拓界展怀课前自主学习不同在 有且只有一个 没有没有同一条直线 a∥b 相等 互补 锐角 直角 垂直 a⊥b √ √ 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
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