第二章 2．2 直线、平面平行的判定及其性质
2．2．3 直线与平面平行的性质
2．2．4 平面与平面平行的性质
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1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：选A 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
2．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA B．GH∥SD
C．GH∥SC D．以上均有可能
解析：选B 因为GH∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.
3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
解析：选D 由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
4．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：
①?α∥β；②?α∥β；
③?a∥α；④?a∥β.
其中正确的命题是( )
A．①②③ B．①④
C．② D．①③④
解析：选C ①α与β有可能相交；②正确；③有可能a?α；④有可能a?β.故选C.
5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________.
解析：∵平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，
∴MN＝AC，即＝.
答案：
6. 如图所示，直线a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.
解析：EF可看成为直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.
又＝，∴EF＝＝＝.
答案：
7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
解析：记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．
答案：6
8．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：
①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；
②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；
③若a∥α，a∥β，则α∥β；
④若a?α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.
其中正确命题的序号是________．
解析：①错误，α与β也可能相交；②正确，设a，b确定的平面为γ，依题意，得γ∥α，γ∥β，故α∥β；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．
答案：②④
9．如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝，求证：MN∥平面SBC.
证明：在AB上取一点P，使＝，连接MP，NP，则MP∥SB.
∵SB?平面SBC，MP?平面SBC，∴MP∥平面SBC.
又＝，∴＝，
∴NP∥AD.
∵AD∥BC，∴NP∥BC.
又BC?平面SBC，NP?平面SBC，
∴NP∥平面SBC.
又MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面SBC，而MN?平面MNP，
∴MN∥平面SBC.
10．如图所示，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD.
∵AD?平面APD，BC?平面APD，
∴BC∥平面APD.
又平面BCFE∩平面APD＝EF，
∴BC∥EF，∴AD∥EF.
又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.
∴四边形BCFE是梯形．
1．已知平面α，β，直线a，b，c，若a?α，b?α，c?α，a∥b∥c，且a∥β，b∥β，c∥β，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
解析：选C 由题意可知，平面α内不一定有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与β有可能平行，也有可能相交．
2．已知直线a∥平面α，直线b?平面α，则( )
A．a∥b B．a与b异面
C．a与b相交 D．a与b无公共点
解析：选D 由题意可知直线a与平面α无公共点，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点．
3．已知平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a，b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：选D ∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵a?α，b?β，∴直线a，b没有公共点，∴直线a，b的位置关系是平行或异面．
4．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为( )
A．2∶5 B．3∶8
C．4∶9 D．4∶25
解析：选D ∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
5．如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
解析：∵AB∥平面α，AB?平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN.又M是AC的中点，∴MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5.
答案：5
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：因为EF∥平面AB1C，且EF?平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又因为E为AD的中点，所以EF为△ACD的中位线，所以EF＝AC＝×2＝.
答案：
7.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.
解析：∵AC∥平面EFGH，
∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝m.
同理，EH＝FG＝n，
∴m＝n，∴AE∶EB＝m∶n.
答案：m∶n
8. 如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC.
解：(1)证明：如图，连接BM，BN，BG并分别延长交AC，AD，CD于P，F，H.
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
则有＝＝＝2.
连接PF，FH，PH，有MN∥PF.
又PF?平面ACD，MN?平面ACD，
∴MN∥平面ACD.
同理MG∥平面ACD.
又MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.
(2)由(1)可知，＝＝，
∴MG＝PH.
又PH＝AD，∴MG＝AD.
同理NG＝AC，MN＝CD，
∴△MNG∽△ADC，且相似比为1∶3，
∴S△MNG∶S△ADC＝1∶9.
课件45张PPT。第二章 点、直线、平面
之间的位置关系2．2 直线、平面平行的
判定及其性质
2．2．3 直线与平面平行的性质
2．2．4 平面与平面平行的性质登高揽胜 拓界展怀课前自主学习交线 平行 剖析题型 总结归纳课堂互动探究2．面面平行的性质定理的几个推论
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．
(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
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