第二章 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
课时分层训练
1.直线l与平面α内的两条直线都垂直,则直线l与平面α的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.在平面α内 D.无法确定
解析:选D 当平面α内的两条直线相交时,直线l⊥平面α,即l与α相交,当面α内的两直线平行时,l?α或l∥α或l与α斜交.
2.下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α;
③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α.
A.3 B.2
C.1 D.0
解析:选B 对于①不能断定该直线与平面垂直,该直线与平面可能平行,也可能斜交,也可能在平面内,所以是错误的,②③是正确的.
3.如图所示,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( )
A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
解析:选C 连接AC,因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
4.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是( )
A. B.2
C.3 D.4
解析:选D 取BC中点为D,连接AD.
∵AB=AC=5,BC=6.
∴AD⊥BC,AD=4,
∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.
AD∩BC=D,∴BC⊥平面PAD,
∴BC⊥PD,∴PD的长即为P到BC的距离,PA=8,AD=4,
∴PD==4.
5.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析:选D 如图,设正方体的棱长为1,上、下底面的中心分别为O1,O,则OO1∥BB1,O1O与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角,即∠O1OD1,
cos∠O1OD1===.
6.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件________时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)
解析:只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.
答案:VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)
7.如图,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中:
(1)与PC垂直的直线有______________________;
(2)与AP垂直的直线有______________________.
解析:(1)∵PC⊥平面ABC,AB,AC,BC?平面ABC.
∴PC⊥AB,PC⊥AC,PC⊥BC.
(2)∠BCA=90°即BC⊥AC,又BC⊥PC,AC∩PC=C,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AP.
答案:(1)AB,AC,BC (2)BC
8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________.
解析:连接A1C1,交B1D1于E,则A1C1⊥B1D1,即A1E⊥B1D1.又DD1⊥A1C1,即DD1⊥A1E,
∴A1E⊥平面BB1D1D.连接BE,则∠A1BE是A1B与对角面BB1D1D所成的角.在Rt△A1BE中,∵A1E=A1B,
∴∠A1BE=30°,即A1B与对角面BB1D1D所成的角为30°.
答案:30°
9.如图所示,在直角△BMC中,∠BCM=90°,∠MBC=60°,BM=5,MA=3且MA⊥AC,AB=4,求MC与平面ABC所成角的正弦值.
解:因为BM=5,MA=3,AB=4,
所以AB2+AM2=BM2,
所以MA⊥AB.
又因为MA⊥AC,AB,AC?平面ABC,且AB∩AC=A,所以MA⊥平面ABC,
所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角.
又因为∠MBC=60°,所以MC=,
所以sin∠MCA===.
10.如图所示,在锥体P-ABCD中,ABCD是菱形,且∠DAB=60°,PA=PD,E,F分别是BC,PC的中点.
证明:AD⊥平面DEF.
证明:取AD的中点G,连接PG,BG.
∵PA=PD,∴AD⊥PG.设菱形ABCD边长为1.
在△ABG中,∵∠GAB=60°,AG=,AB=1,
∴∠AGB=90°,即AD⊥GB.
又PG∩GB=G,∴AD⊥平面PGB,从而AD⊥PB.
∵E,F分别是BC,PC的中点,
∴EF∥PB,从而AD⊥EF.
又DE∥GB,AD⊥GB,∴AD⊥DE,
∵DE∩EF=E,∴AD⊥平面DEF.
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是( )
A.平面DD1C1C B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB
答案:B
2.下面四个命题:
①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条;
②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条;
③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个;
④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个.
其中正确的是( )
A.①④ B.②③
C.①② D.③④
解析:选B 过一点和一条直线垂直的直线有无数条,故①不正确;过一点和一个平面垂直的平面有无数个,故④不正确;易知②③均正确.故选B.
3.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m?α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m?α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
解析:选B 根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面,知选项B正确.
4.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析:选D 选项A正确,∵SD⊥底面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥SD,又由ABCD为正方形,∴AC⊥BD,又BD∩SD=D,∴AC⊥平面SBD?AC⊥SB;
选项B正确,∵AB∥CD,CD?平面SCD,AB?SCD,
∴AB∥平面SCD;
选项C正确,设AC∩BD=O,连接SO,则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO,SC与平面SBD所成的角就是∠CSO,易知这两个角相等;
选项D错误,AB与SC所成的角等于∠SCD,面DC与SA所成的角是∠SAB,这两个角不相等.
5.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AD的中点,F是BB1的中点,则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________.
解析:连接EB,由BB1⊥平面ABCD,
知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角.
在Rt△FBE中,BF=1,BE=,则tan ∠FEB=.
答案:
6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN=________.
解析:∵B1C1⊥平面ABB1A1,MN?平面ABB1A1,∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M,B1M∩B1C1=B1,
∴MN⊥平面C1B1M,∴MN⊥C1M,即∠C1MN=90°.
答案:90°
7.如图所示,将平面四边形ABCD沿对角线AC折成空间四边形,当平面四边形ABCD满足________时,空间四边形中的两条对角线互相垂直.(填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能情况)
解析:在平面四边形中,设AC与BD交于E,假设AC⊥BD,则AC⊥DE,AC⊥BE.
折叠后,AC与DE,AC与BE依然垂直,所以AC⊥平面BDE,所以AC⊥BD.若四边形ABCD为菱形或正方形,因为它们的对角线互相垂直,同上可证AC⊥BD.
答案:AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)
8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.
(1)求证:AB1⊥平面A1BC1;
(2)若D为B1C1的中点,求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.
解:(1)证明:由题意知四边形AA1B1B是正方形,
∴AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.
又∵A1C1⊥A1B1,AA1∩A1B1=A1,
∴A1C1⊥平面AA1B1B,
又∵AB1?平面AA1B1B,
∴A1C1⊥AB1.
又∵BA1∩A1C1=A1,∴AB1⊥平面A1BC1.
(2)连接A1D.设AB=AC=AA1=1,
∵AA1⊥平面A1B1C1,
∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.
在等腰直角三角形A1B1C1中,D为斜边的中点,
∴A1D=×B1C1=.
在Rt△A1DA中,AD==.
∴sin∠A1DA==,
即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
课件39张PPT。第二章 点、直线、平面
之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的
判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定登高揽胜 拓界展怀课前自主学习任意一条 垂线 垂面 垂足 两条相交直线 × √ × 相交 垂直 直线PA 交点 点A 垂线 斜足 垂足 AO 直角 0°的角 √ √ 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分: 请做: 课时分层训练
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