第二章 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质
2．3．3 直线与平面垂直的性质
2．3．4 平面与平面垂直的性质
课时分层训练
1．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：选B 对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．
2．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l?α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
解析：选D 选项A缺少了条件：l?α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全条件．
3．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
解析：选C 如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.
∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1?平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.
4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
解析：选B 因为EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，m⊥β，m?/ α，则m∥α；
④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m?α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m?β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.
6．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.
又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，
∴CO⊥平面ABD.
∵OD?平面ABD，∴CO⊥OD，
∴△COD为直角三角形．
所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．
答案：6
7.如图，直二面角α－l－β中，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．
解析：如图，连接BC，
∵二角面α－l－β为直二面角，
AC?α，且AC⊥l，∴AC⊥β.
又BC?β，∴AC⊥BC，
∴BC2＝AB2－AC2＝3，
又BD⊥CD，
∴CD＝＝.
答案：
8．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法：
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β＝m，n∥m且n?α，n?β，则n∥α且n∥β.
其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．
解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．
答案：②④
9.如图，三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.
又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，
PA?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.
10.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角正弦值．
解：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM?平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)取AB的中点F，连接CF，EF.
∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，
∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.
又AC＝BC，∴CF⊥AB.
∵EA∩AB＝A，
∴CF⊥平面AEB，
∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．
在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，
tan∠CEF＝＝.
∴直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.
1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
解析：选B 圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．
2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
解析：选D A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m?α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n
B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析：选D A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．
4．在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选B 连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝ ，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
5．设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为________．
解析：①②作为前提条件，③作为结论构成的命题正确，过l作一平面与β交于l′，则l∥l′，所以l′⊥α，故α⊥β；①③作为前提条件，②作为结论构成的命题错，这时可能有l?β；②③作为前提条件，①作为结论构成的命题错，这时l与α的各种位置关系都可能存在．
答案：1
6.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________．
解析：取BC的中点为F，连接EF，DF，易知∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角，tan ∠EDF＝＝.
答案：
7．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．
解析：设平面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
答案：1或无数
8．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.
证明：设AC∩BD＝O，
连接EO，则EO∥PC.
∵PC＝CD＝a，PD＝a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又EO?平面EDB，
故有平面EDB⊥平面ABCD.
课件42张PPT。第二章 点、直线、平面
之间的位置关系2．3 直线、平面垂直的
判定及其性质
2．3．3 直线与平面垂直的性质
2．3．4 平面与平面垂直的性质登高揽胜 拓界展怀课前自主学习平行 a∥b 一个平面内 交线 垂直 线面 √ √ × √ 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
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