第三章 3．3 直线的交点坐标与距离公式
3．3．3 点到直线的距离
3．3．4 两条平行直线间的距离
课时分层训练
1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是( )
A．3 B.
C．1 D.
解析：选B 点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝，故选B.
2．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝( )
A．0 B.
C．3 D．0或
解析：选D 点M到直线l的距离d＝＝，所以＝3，解得m＝0或m＝，故选D.
3．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.
4．已知点P(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为( )
A．(0，－2) B．(2,4)
C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1)
解析：选C 直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2,4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)，故选C.
5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离是( )
A. B.
C．4 D．2
解析：选B ∵l1∥l2，∴解得a＝－1.∴l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，∴l1与l2间的距离是d＝＝.
6．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则实数k的值是 ．
解析：∵＝4，∴|16－12k|＝52，
∴k＝－3或k＝.
答案：－3或
7．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为 ．
解析：直线8x－6y＋5＝0化简为4x－3y＋＝0，则由两平行线间的距离公式得＝.
答案：
8．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0间的距离相等，则直线l的方程是 ．
解析：由题意可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|.
∴c＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
9．求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．
解：解法一：∵点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k.
又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，
得＝，解得k＝0或k＝1.
∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.
解法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等．
∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，
∴直线l的方程是x－y＋2＝0；
当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．
∵直线AB的斜率为0，
∴直线l的斜率为0，∴直线l的方程为y＝2.
综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.
10．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则A(1,0)，D(0,1)，B(b，0)，C(0，b)．
∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形的面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
又b>1，∴b＝3.从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
1．已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B.
C. D.
解析：选D ∵3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝，故选D.
2．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是( )
A．0＜d≤3 B．0＜d≤5
C．0＜d＜4 D．3≤d≤5
解析：选B 当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以0＜d≤5.
3．如果点P到点A，B及直线x＝－的距离都相等，那么满足条件的点P有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：选B 因为点P到点A，B的距离相等，所以点P在线段AB的垂直平分线y＝上．直线AB与直线x＝－平行，且两平行线间的距离为1.又1<＝，所以满足条件的点P有1个．
4．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A．2 B.
C. D．2
解析：选B 将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q，由得交点Q(1,1)，所以直线l恒过定点Q(1,1)，于是点P到直线l的距离d≤|PQ|＝，即点P到直线l的距离的最大值为.
5．已知5x＋12y＝60，则 的最小值是 ．
解析： 表示直线5x＋12y＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x＋12y＝60的垂线段的长最小，故最小值为d＝＝.
答案：
6．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有 条．
解析：由题可知所求直线显然不与y轴平行，
∴可设直线为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.
∴d1＝＝1，d2＝＝2，两式联立，
解得b1＝3，b2＝，
∴k1＝0，k2＝－.故所求直线共有两条．
答案：2
7．若实数x，y满足关系式x＋y＋1＝0，则式子S＝的最小值为 ．
解析：解法一：∵x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，
∴上式可看成是一个动点M(x，y)到一个定点N(1,1)距离的平方．
即为点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M(x，y)距离的平方．
∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即
|MN|min＝d＝＝.
解法二：∵x＋y＋1＝0，∴y＝－x－1，
∴S＝
＝＝ ，
∴当x＝－时，Smin＝＝.
答案：
8．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
解：由题意知，若截距为0，
可设直线l的方程为y＝kx.
由题意知＝3，解得k＝.
若截距不为0，设所求直线l的方程为x＋y－a＝0.
由题意知＝3，解得a＝1或a＝13.
故所求直线l的方程为y＝x，y＝x，即x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.
课件37张PPT。第三章 直线与方程 3．3 直线的交点坐标
与距离公式
3．3．3 点到直线的距离
3．3．4 两条平行直线间的距离登高揽胜 拓界展怀课前自主学习垂足 × √ 公垂线段 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
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