第四章 4．1 圆的方程
4．1．1 圆的标准方程
课时分层训练
1．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为( )
A．在圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
解析：选C ∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，
∴点P在圆内．
2．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心、半径分别是( )
A．(1，－2)，4 B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4 D．(－1,2)，2
答案：D
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A 解法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
解法二(数形结合法)：根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
解法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择项，排除B、D，又由于圆心在y轴上，排除C，故选A.
4．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝10
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析：选D 圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝5，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
5．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 由题意得，(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0.再由各象限内点的坐标的性质，得圆心位于第四象限．
6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是 ．
解析：由可得即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
7．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是 ．
解析：由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.
答案：[0,1)
8．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是 ．
解析：如图所示，设圆心C(a,0)，则圆心C到直线x＋2y＝0的距离为＝，
解得a＝－5，a＝5(舍去)，
∴圆心是(－5,0)．故圆的方程是(x＋5)2＋y2＝5.
答案：(x＋5)2＋y2＝5
9．求经过A(－1,4)，B(3,2)两点且圆心在y轴上的圆的方程．
解：解法一：设圆心坐标为(a，b)．
∵圆心在y轴上，∴a＝0.
设圆的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2.
∵该圆过A，B两点，
∴解得
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
解法二：∵线段AB的中点坐标为(1,3)，kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，
即y＝2x＋1.
由解得∴点(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间的距离公式，得圆的半径r＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
10．求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．
解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2.将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2，①
而r＝，
代入①，得(a－1)2＋16＝，
解得a＝3，r＝2或a＝－7，r＝4.
故所求圆为(x－3)2＋(y－6)2＝20，或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.
1．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．不确定
解析：选C ∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．
2．若点A(a，a－1)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2的外部，则实数a的取值范围是( )
A．(2,4) B．(－∞，2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，2)∪(4，＋∞)
解析：选D 由题意得(a－3)2＋(a－3)2>2，即a>4或a<2.
3．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：选B 画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.
4．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
解析：选C 由已知圆(x－1)2＋y2＝1得圆心C1(1,0)，半径长r1＝1.设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点为(a，b)，
则解得
所以圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1.
5．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是 ．
解析：圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1
6．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为 ．
解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为
＋5＝5＋.
答案：5＋
7．已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是 ．
解析：y＝表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率．如图：
A(－1，－3)，B(3,0)，C(－3,0)，
则kAB＝，kAC＝－，
∴t≤－或t≥.
答案：
8．已知圆C的圆心为C(x0，x0)，且过定点P(4,2)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．
解：(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．
∵圆C过定点P(4,2)，
∴(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)．
∴r2＝2x－12x0＋20.
∴圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20.
(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，
∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．
此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.
课件36张PPT。第四章 圆与方程4．1 圆的方程
4．1．1 圆的标准方程登高揽胜 拓界展怀课前自主学习圆上 圆外 圆内 圆C上 圆C外 圆C内 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
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