第四章 4．2 直线、圆的位置关系
4．2．1 直线与圆的位置关系
课时分层训练
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( )
A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心
C．相切 D．相离
解析：选D 圆心C(1,1)到直线的距离d＝＝，圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．
2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于( )
A. B.
C．1 D．5
解析：选A 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝，所以直线被圆截得的弦长为2＝2＝.
3．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
解析：选D 圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．0或4 B．0或3
C．－2或6 D．－1或
解析：选A 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.故选A.
5．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A. B．1
C. D.
解析：选D 圆心到直线的距离d＝＝，设弦长为l，圆的半径为r，则2＋d2＝r2，即l＝2＝.
6．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝ .
解析：根据“半径、弦长AB的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a的方程，解方程求a.
圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以2＋12＝22，解得a＝4±.
答案：4±
7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为 ．
解析：令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．因为直线x＋y＋3＝0与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即r＝＝，
所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
8．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y＋4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径是 ．
解析：由题知，直线x－y＋1＝0过圆心，
即－＋1＋1＝0，∴k＝4.
∴r＝＝1.
答案：1
9．一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，求此圆的方程．
解：因为圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y＝0上，
故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又因为直线y＝x截圆得弦长为2，
则有2＋()2＝9b2，
解得b＝±1，故所求圆的方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
10．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为(a，b)，半径长为r.
∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上．
∴a＋2b＝0，①
且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
又∵直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2，
∴r2－d2＝r2－2＝()2.③
解由方程①②③组成的方程组，
得或
∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(x＋7)2＝244.
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定，与m的取值有关
解析：选A 圆心到直线的距离d＝＝＜1＝r，故选A.
2．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为( )
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
解析：选A 由圆的一般方程可得圆心为M(－1,2)．由圆的性质易知M(－1,2)与C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1?kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.
3．若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意得<1，解得04．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则实数k的取值范围是( )
A. B.∪[0，＋∞)
C. D.
解析：选A 设圆心为C，弦MN的中点为A，当|MN|＝2时，
|AC|＝＝＝1.∴当|MN|≥2时，圆心C到直线y＝kx＋3的距离d≤1.
∴≤1，∴(3k＋1)2≤k2＋1.
由二次函数的图象可得－≤k≤0.
5．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为 ．
解析：圆心为(2，－1)，半径r＝2.
圆心到直线的距离d＝＝，
所以弦长为2＝2＝.
答案：
6．若直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则实数b的取值范围是 ．
解析：如图所示，y＝是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y＝x＋b是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A(－1,0)和B(0,1)即直线l2，直线l必在AB以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切即直线l1，则可求出两个临界位置直线l的b值，直线l2中b＝1；直线l1中b＝.所以b的取值范围是[1，)．
答案：[1，)
7．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为 ．
解析：圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，如图所示．则圆心为O′(3,4)，r＝.
切线长|OP|＝＝2.
∴|PQ|＝2·＝2×＝4.
答案：4
8．已知点A(1，a)，圆O：x2＋y2＝4.
(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数a的值．
解：(1)由于过点A的圆O的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±.
当a＝时，A(1，)，切线方程为x＋y－4＝0；
当a＝－时，A(1，－)，切线方程为x－y－4＝0.
(2)设直线方程为x＋y＝b.
∵直线过点A，∴1＋a＝b，即a＝b－1.①
又圆心到直线的距离d＝，
∴2＋2＝4，②
由①②，得或
课件43张PPT。第四章 圆与方程4．2 直线、圆的位置关系
4．2．1 直线与圆的位置关系登高揽胜 拓界展怀课前自主学习2 1 0 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ × √ × 剖析题型 总结归纳课堂互动探究(3)求切线长最小值的两种方法
①(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
②(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
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