第四章 4．3 空间直角坐标系
4．3．1 空间直角坐标系
4．3．2 空间两点间的距离公式
课时分层训练
1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于坐标平面yOz的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选C 对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；④正确．故选C.
2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )
A．7 B．－7
C．－1 D．1
解析：选D 点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.
3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为( )
A．(0，，0) B．(0，，)
C．(1,0，) D．(1，，0)
解析：选D 点P(1，，)关于平面xOy的对称点是P1(1，，－)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，，0)，故选D.
4．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )
A．2 B．4
C．2 D．2
解析：选B 点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2,1)，
故|BC|＝ ＝4.
5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4 B．6或2
C．3或－4 D．6或－2
解析：选D ∵|AB|＝
＝＝2，
∴x＝6或－2.
6．已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是 三角形．(填三角形的形状)
解析：|AB|＝ ＝.
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，
所以△ABC是等腰三角形．
答案：等腰
7．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为 ．
解析：由两点间距离公式可得
|AB|＝
＝ ≥.
答案：
8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝|CD|，E为C1G的中点，则EF的长为 ．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D为坐标原点，
由题意，得F，C1(0,1,1)，C(0,1,0)，G，则E.所以
|EF|＝ ＝.
答案：
9．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．
解：过点D作DE⊥BC，垂足为E.
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得|BD|＝1，|CD|＝，∴|DE|＝|CD|sin 30°＝，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos 60°＝1－＝，
∴点D的坐标为.
10.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M，N两点间的距离．
解：如图所示，分别以AB、AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)．
∵N为CD1的中点，
∴N.
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，
∴M(1,1,2)．
由两点间距离公式，得
|MN|＝ ＝.
1．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )
A．在x轴上 B．在xOy平面内
C．在yOz平面内 D．在xOz平面内
解析：选C ∵点A的横坐标为0，∴点A(0，－2,3)在yOz平面内．
2．在空间直角坐标系中，点P(2,3,4)和点Q(－2，－3，－4)的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
解析：选C 点P和点Q的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．
3．设A(1,1，－2)，B(3,2,8)，C(0,1,0)，则线段AB的中点P与点C的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 利用中点坐标公式，得点P的坐标为，
由空间两点间的距离公式，得|PC|＝＝.
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )
A．9 B.
C．5 D．2
解析：选B 由已知，可得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝＝.
5．已知点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为 ．
解析：点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝＝.
答案：
6．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是 ．
解析：因为点M在y轴上，所以可设点M的坐标为(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，解得y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．
答案：(0，－1,0)
7．对于任意实数x，y，z则 ＋的最小值为 ．
解析：设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，
则＋
＝|PM|＋|PO|.
由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，则|PM|＋|PO|≥|OM|＝＝，
故所求的最小值为.
答案：
8．在空间直角坐标系中，解答下列各题．
(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；
(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短．
解：(1)设P(x,0,0)．
由题意，得|P0P|＝＝，解得x＝9或x＝－1.
所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
(2)由已知，可设M(x0,1－x0,0)．
则|MN|＝
＝.
所以当x0＝1时，|MN|min＝.
此时点M的坐标为(1,0,0)．
课件40张PPT。第四章 圆与方程4．3 空间直角坐标系
4．3．1 空间直角坐标系
4．3．2 空间两点间的距离公式登高揽胜 拓界展怀课前自主学习点O x轴、y轴、z轴 每两个坐标轴 xOy yOz zOx x轴 y轴 z轴 有序实数组(x，y，z) 有序实数组(x，y，z) M(x，y，z) x y z × √ √ × 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
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