章末质量检测卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于( )
A．1 B．－1
C．5 D．－5
解析：选D 因为倾斜角为135°，所以k＝tan 135°＝－1.所以kAB＝＝－1，所以y＝－5.
2．过点P(4，－1)，且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是( )
A．4x＋3y－19＝0 B．4x＋3y－13＝0
C．3x＋4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0
解析：选B 因为3x－4y＋6＝0的斜率为，所以与其垂直的直线的斜率为－.故所求直线的方程为y＋1＝－(x－4)，即4x＋3y－13＝0.
3．若三点A(4,3)，B(5，a)，C(6，b)共线，则下列结论正确的是( )
A．2a－b＝3 B．b－a＝1
C．a＝3，b＝5 D．a－2b＝3
解析：选A 若A，B，C三点共线，则kAB＝kBC，即＝，即a－3＝b－a，所以2a－b＝3.
4．若直线l1与直线l2：3x＋2y－12＝0的交点在x轴上，并且l1⊥l2，则l1在y轴上的截距是( )
A．－4 B．4
C．－ D.
解析：选C 因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1.所以k1＝.设l1的方程为y＝x＋b.由得y＝＋b＝0.所以b＝－，故选C.
5．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于直线4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为，则实数m，n的值分别为( )
A．4和3 B．－4和3
C．－4和－3 D．4和－3
解析：选C 由题意知：－＝－，即3m＝4n，且有－＝，∴n＝－3，m＝－4.
6．直线l过点(－3,0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为( )
A．y＝－(x－3) B．y＝－(x＋3)
C．y＝(x－3) D．y＝(x＋3)
解析：选B 因为直线y＝2x－3的斜率为2，所以直线l的斜率为－.又直线l过点(－3,0)，故所求直线的方程为y＝－(x＋3)，故选B.
7．直线y＝ax＋的图象可能是( )
解析：选B 根据斜截式方程知，斜率与直线在y轴上的纵截距同正负．
8．点P(4,0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是( )
A．(－6,8) B．(－8，－6)
C．(6,8) D．(－6，－8)
解析：选D 设点P(4,0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点为P1(x1，y1)．由对称的概念，知PP1的中点M在对称轴5x＋4y＋21＝0上，且PP1与对称轴垂直，
则有解得
所以P1(－6，－8)．故选D.
9．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过的定点是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C. D．(－2,0)
解析：选B 将直线方程化为a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，则直线恒过两直线x＋2＝0与－x－y＋1＝0的交点，
解方程组得
即直线过定点(－2,3)．
10．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0
解析：选C 由已知可得，l是过点A且与AB垂直的直线，∵kAB＝＝，∴kl＝－3，
由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
11．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：选A 设所求直线上的任一点为(x，y)，则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，所以所求直线的方程为3x＋4y＋5＝0.
12．已知点M(1,0)和N(－1,0)，直线2x＋y＝b与线段MN相交，则b的取值范围为( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C. D．[0,2]
解析：选A 直线可化成y＝－2x＋b，当直线过点M时，可得b＝2；当直线过点N时，可得b＝－2.所以要使直线与线段MN相交，b的取值范围为[－2,2]．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为 ．
解析：设P(x,1)，则Q(2－x，－3)，将Q坐标代入x－y－7＝0得，2－x＋3－7＝0.
∴x＝－2，∴P(－2,1)，Q(4，－3)，
∴kl＝－.
答案：－
14．已知点M(5,3)和点N(－3,2)，若直线PM和PN的斜率分别为2和－，则点P的坐标为 ．
解析：设P(x，y)，则有解得
答案：(1，－5)
15．若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是 ．
解析：k＝＝<0，得－2
答案：(－2,1)
16．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为 ．
解析：设直线l的方程为＋＝1，∴|ab|＝3，且－＝，解得a＝－6，b＝1或a＝6，b＝－1，∴直线l的方程为＋y＝1或－y＝1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
答案：x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标．
解：(1)∵k＝tan 135°＝－1，
∴l：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)设A′(a，b)，
则解得a＝－2，b＝－1，
∴A′的坐标为(－2，－1)．
18．(本小题满分12分)在x轴的正半轴上求一点P，使以A(1,2)，B(3,3)及点P为顶点的△ABP的面积为5.
解：设点P的坐标为(a,0)(a>0)，点P到直线AB的距离为d.
由已知，
得S△ABP＝|AB|·d＝ ·d＝5，
解得d＝2.
由已知易得，直线AB的方程为x－2y＋3＝0，
所以d＝＝2，
解得a＝7或a＝－13(舍去)，
所以点P的坐标为(7,0)．
19．(本小题满分12分)一条光线从点A(2,3)出发，经y轴反射后，经过点B(4，－1)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
解：点A(2,3)关于y轴的对称点为A′(－2,3)，点B(4，－1)关于y轴的对称点为B′(－4，－1)．
则入射光线所在直线的方程为AB′：＝，
即2x－3y＋5＝0.
反射光线所在直线的方程为A′B：＝，
即2x＋3y－5＝0.
20．(本小题满分12分)已知点A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)．
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若AB⊥BC，求实数m的值．
解：(1)因为A，B，C三点共线，且xB≠xC，则该直线斜率存在，则kBC＝kAB，即＝，解得m＝1或1－或1＋.
(2)由已知，得kBC＝，且xA－xB＝m－2.
①当m－2＝0，即m＝2时，直线AB的斜率不存在，此时kBC＝0，于是AB⊥BC；
②当m－2≠0，即m≠2时，kAB＝，
由kAB·kBC＝－1，得·＝－1，
解得m＝－3.
综上，可得实数m的值为2或－3.
21．(本小题满分12分)直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
解：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，由条件①可知，a＋b＋＝12.由条件②可得ab＝6.又直线过点P，∴＋＝1，
联立，得解得
∴所求直线方程为＋＝1.
22．(本小题满分12分)已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点O的距离为2的直线的方程；
(2)求过点P且与原点O的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；
(3)是否存在过点P且与原点O的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x＝2符合题意．
②当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为
y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
根据题意，得＝2，解得k＝.
则直线方程为3x－4y－10＝0.
故符合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.
(2)过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线．
则其斜率k＝2，所以其方程为y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
最大距离为.
(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为，而6＞，故不存在这样的直线．
课件31张PPT。第三章 直线与方程章末复习与总结