章末质量检测卷(四)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为( )
A．(－3,4,5) B．(－3，－4,5)
C．(3，－4，－5) D．(－3,4，－5)
解析：选A 纵、竖坐标相同．故点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为(－3,4,5)．
2．已知圆O以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．无法判断
解析：选B 点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝＝5，故点M在圆O上．
3．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝，弦心距d＝＝，所以所求的弦长为2＝2，故选B.
4．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为A(3,0)．因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又AP的斜率kAP＝＝－，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
5．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为( )
A．4 B．2
C. D.
解析：选A P为圆上一点，则有kOP·kl＝－1，而kOP＝＝－，∴kl＝.∴a＝4，∴直线m：4x－3y＝0，直线l：4x－3y＋20＝0.∴l与m的距离为＝4.
6．直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M在同一坐标系中的图形可能是( )
解析：选B 由题意，得圆M：(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2.∵圆M过原点(0,0)，∴排除A、C选项．选项B、D中，圆心M(a，－b)在第一象限，∴a＞0，b＜0，∴直线ax－y＋b＝0经过第一、三、四象限，故B选项符合．
7．若直线x＋y＋2n＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中n∈N*，则n的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．1或2
解析：选D 由题意，得圆心(0,0)到直线x＋y＋2n＝0的距离为＝2n－1，所以n＝2n－1.由n＝2n－1，结合选项，得n＝1或2.
8．圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系是( )
A．内切 B．外切
C．相交 D．外离
解析：选A 由题意，知圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝36，圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以圆C1的圆心为C1(－1,3)，半径长r1＝6，圆C2的圆心为C2(2，－1)，半径长r2＝1.又|C1C2|＝＝5，所以|C1C2|＝r1－r2＝6－1，故两圆的位置关系是内切．
9．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
解析：选D ∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
10．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A.x＋y－5＝0 B.x＋y＋5＝0
C．2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0
解析：选C ∵M(2,1)在圆上，∴切线与MO垂直．
∵kMO＝，∴切线斜率为－2.又过点M(2,1)，
∴y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
11．把圆x2＋y2＋2x－4y－a2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x－4y－4＝0相切，则实数a的值为( )
A．－3 B．3
C．－3或3 D．以上都不对
解析：选C 圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圆心为(－1,2)，半径长为，由题意得＝－1，解得a＝±3.
12.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )
A．14米 B．15米
C. 米 D．2 米
解析：选D 如图所示，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，
则由已知可得A(6，－2)，
设圆的半径长为r，则C(0，－r)，
即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.
将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，
所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，
当水面下降1米后，水面弦的端点为A′，B′，
可设A′(x0，－3)(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，
∴水面宽度|A′B′|＝2 米．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为 ．
解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，
半径长r＝＝，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
14．两圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的点之间的最短距离是 ．
解析：由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，由x2＋y2－4x＋2y＋3＝0得(x－2)2＋(y＋1)2＝2，两圆圆心距为 ＝3＞2.故两圆外离，则两圆上的点之间的最短距离是3－－＝.
答案：
15．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为 ．
解析：设B点的坐标为(x，y，z)，则有＝4，＝3，＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，
故B点的坐标为(5,4,1)．
答案：(5,4,1)
16．圆O：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线l：3x＋4y＋8＝0的距离的最大值是 ．
解析：圆O的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心(1,1)到直线l的距离为d＝＝3＞1，∴动点Q到直线l的距离的最大值为3＋1＝4.
答案：4
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD的中点，求|BG|.
解：∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，
∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB，BC所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B，D，P的坐标分别为B(2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0，0,1)．
∴G点的坐标为G，
∴|BG|＝ ＝.
18．(本小题满分12分)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．
解：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
19．(本小题满分12分)已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B.
(1)求以OP为直径的圆的方程；
(2)求直线AB的方程．
解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)，
半径为|OP|＝ ＝，
∴以OP为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.
(2)∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴A，B两点都在以OP为直径的圆上．
由得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0.
20．(本小题满分12分)已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
解：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r＝|AB|＝为半径．
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)解法一：直线AB的斜率kAB＝＝－3，
则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，
即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心的坐标是C(3,2)．
∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.
∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2.
则?
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
21．(本小题满分12分)已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.
(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；
(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．
解：(1)证明：圆的方程可整理为(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，
此方程表示过圆x2＋y2－20＝0和直线－4x＋2y＋20＝0交点的圆系．
由得
∴已知圆恒过定点(4，－2)．
(2)圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2.
①当两圆外切时，d＝r1＋r2，
即2＋＝，
解得a＝1＋或a＝1－(舍去)；
②当两圆内切时，d＝|r1－r2|，
即|－2|＝，
解得a＝1－或a＝1＋(舍去)．
综上所述，a＝1±.
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切．
(1)求圆O的方程；
(2)直线l：y＝kx＋3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．
解：(1)设圆O的半径长为r，因为直线x－y－4＝0与圆O相切，所以r＝＝2，所以圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)解法一：因为直线l：y＝kx＋3与圆O相交于A，B两点，
所以圆心(0,0)到直线l的距离d＝＜2，
解得k＞或k＜－.
假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，则OM与AB互相垂直且平分，
所以原点O到直线l：y＝kx＋3的距离d＝|OM|＝1.
所以＝1，解得k2＝8.
即k＝±2，经验证满足条件．
所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形．
解法二：设直线OM与AB交于点C(x0，y0)．
因为直线l斜率为k，显然k≠0，所以直线OM方程为y＝－x，
由解得
所以点M的坐标为.
因为点M在圆上，所以2＋2＝4，解得k＝±2，经验证均满足条件．所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形．
课件32张PPT。第四章 圆与方程章末复习与总结
