章末质量检测卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中正确的是( )
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C．所有的几何体的表面都能展成平面图形
D．棱柱的各条棱都相等
解析：选B 棱柱的侧面必须是平行四边形，侧棱长相等，但底面只需为多边形，且边长也不需要与侧棱长相等，故A、D不正确；球的表面不能为平面图形，故C不正确．
2．棱锥的侧面和底面可以都是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
解析：选A 三棱锥的侧面和底面均是三角形．故选A.
3．如图所示的组合体，其构成是( )
A．左边是三棱台，右边是圆柱
B．左边是三棱柱，右边是圆柱
C．左边是三棱台，右边是长方体
D．左边是三棱柱，右边是长方体
解析：选D 根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．
4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．四面体 D．三棱柱
解析：选A 圆柱的正视图不可能是三角形，则该几何体不可能是圆柱．
5．如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中正确命题的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选A 底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的正视图和俯视图，因此②正确；当圆柱侧放，即侧视图为圆时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．故选A.
6．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
解析：选B 由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.
7．已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A．120° B．150°
C．180° D．240°
解析：选C 设圆锥的底面半径为R，母线长为L.由题意，πR2＋πRL＝3πR2，∴L＝2R，圆锥的底面圆周长l＝2πR.展开成扇形后，设扇形圆心角为n，则扇形的弧长l＝＝，∴2πR＝，∴n＝180°，即展开后扇形的圆心角为180°.
8．某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )
图乙
A．①③ B．①③④
C．①②③ D．①②③④
解析：选A 若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，①③都是能符合要求的几何体，故选A.
9．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )
A. B．4π
C．2π D.
解析：选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝ ＝1，所以V球＝×13＝.故选D.
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )
A．8＋2 B．11＋2
C．14＋2 D．15
解析：选B 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．
直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为4＋，侧面积为2×(4＋)＝8＋2，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋2＋3＝11＋2.
11．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝××1×1×1＝，
剩余部分的体积V2＝13－＝.
所以＝＝，故选D.
12．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B.
C. D．2π
解析：选C 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l＝________.
解析：S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝2πl2＝8π，所以l＝2.
答案：2
14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：由三视图可知题中几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成的，所以该几何体的体积V＝V圆柱＋V球＝×π×12×2＋×π×13＝π.
答案：π
15．如图，在上、下底面对应边的比为1∶2 的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC1的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________．
解析：设三棱台的上底面面积为S0，则下底面面积为4S0，高为h，则V三棱台ABC－A1B1C1＝(S0＋4S0＋2S0)h＝S0h，V三棱柱FEC－A1B1C1＝S0h.设剩余的几何体的体积为V，则V＝S0h－S0h＝S0h，体积之比为3∶4或4∶3.
答案：3∶4(或4∶3)
16．一块正方形薄铁片的边长为4，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积为________．
解析：设圆锥筒的底面半径为r，高为h.由题意，得2πr＝×2π×4，所以r＝1，所以h＝＝，所以V＝πr2h＝×π×12×＝π.
答案：π
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某五面体的三视图如图所示，其正视图、俯视图均是等腰直角三角形，侧视图是直角梯形，部分长度已标出，试画出该几何体，并求出此几何体各棱的长．
解：借助正方体(棱长为1)及题目所给的三视图，该几何体可看作是从正方体中截出来的(如图①所示)，然后将所得图形从正方体中分离出来，即可得到该几何体(如图②所示)，易知该几何体为四棱锥A－BMC1C.
图① 图②
结合给定的三视图的长度关系，可知在四棱锥A－BMC1C中，AB＝1，BC＝1，AC＝，BM＝，AM＝，CC1＝1，AC1＝，MC1＝.
18．(本小题满分12分)如图所示，在多面体FE－ABCD中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积V.
解：如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝.
所以AG＝GD＝BH＝HC＝，
S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC
＝×2＋×1
＝.
19.(本小题满分12分)据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比．
解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h，
由题意知圆锥的底面半径为r，高为h，球的半径为r，V圆锥＝πr2h，V球＝πr3.
又h＝2r，
∴V圆锥∶V球∶V圆柱＝∶∶(πr2h)＝∶∶(2πr3)＝1∶2∶3.
20．(本小题满分12分)如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是A1A，CC1的中点，求四棱锥C1－B1EDF的体积．
解：连接EF，B1D1.
设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2.
∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E，F分 别是A1A，CC1的中点，
∴h1＋h2＝B1D1＝a.
又S△C1EF＝C1F·EF＝××a＝a2，
∴VC1－B1EDF＝VB1－C1EF＋VD－C1EF＝·S△C1EF·(h1＋h2)＝×a2×a＝a3.
21．(本小题满分12分)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 m铁丝．再用面积为S m2的塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．圆柱底面半径为r m.
(1)当r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01)；
(2)若要制作一个如图所示的底面半径为0.3 m的灯笼，请作出该灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．
解：(1)设圆柱的高为h m，
由题意，可知4(4r＋2h)＝9.6，即2r＋h＝1.2.
S＝2πrh＋πr2＝πr(2.4－3r)＝3π[－(r－0.4)2＋0.16](0所以当r＝0.4时，Smax＝0.48π≈1.51(m2)．
(2)由r＝0.3,2r＋h＝1.2，得圆柱的高h＝0.6，
则该灯笼的三视图为：
22．(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示．
(1)求此几何体的表面积S；
(2)如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段的中点，Q为所在线段的端点，求在几何体的表面上，从点P到点Q的最短路径的长．
解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面面积之和．
又S圆锥侧＝πa×a＝πa2，
S圆柱侧＝2πa×2a＝4πa2，S圆柱底＝πa2，
所以S＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.
(2)沿点P与点Q所在母线剪开圆柱侧面，如图所示．
则PQ＝＝＝a，
所以在几何体的表面上，从点P到点Q的最短路径的长为a.
课件32张PPT。第一章 空间几何体 章末复习与总结
