第一章 1．3 空间几何体的表面积与体积
1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
课时分层训练
1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( )
A．22 B．20
C．10 D．11
解析：选A 所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.
2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶
C．1∶ D.∶2
解析：选C 设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.
3．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
A.π B.π
C.π D.π
解析：选B 由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为××π×12×＝π.
4．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6
C．5 D．3
解析：选A 设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.
5．如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵VC－A′B′C′＝VABC－A′B′C′＝，
∴VC－AA′B′B＝1－＝.
6．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．
解析：因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4××32＝9.
答案：9
7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
解析：易知圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π×2，∴r＝1，∴圆锥的高h＝＝，则圆锥的体积V＝πr2h＝π.
答案：π
8．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 ，则a＝________.
解析：由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积V＝3×＝3，所以a＝.
答案：
9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，若四边形ABCD绕AD旋转一周成为几何体．
(1)画出该几何体的三视图；
(2)求出该几何体的表面积．
解：(1)如图所示．
(2)过C作CE垂直AD延长线于E点，
作CF垂直AB于F点．
由已知得DE＝2，CE＝2，
∴CF＝4，BF＝5－2＝3.
∴BC＝＝5.
∴下底圆面积S1＝25π，
台体侧面积S2＝π×(2＋5)×5＝35π，
锥体侧面积S3＝π×2×2＝4π，
故表面积S＝S1＋S2＋S3＝(60＋4)π.
10．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，
∴·3a·h′＝a2×2.
∴a＝h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋2＝h′2.
∴h′＝2，∴a＝h′＝6.
∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )
A．48 B．64
C．16 D．96
解析：选B 设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.
2．已知高为3的棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B－AB1C的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：选D VB－AB1C＝VB1－ABC＝S△ABC×h＝××3＝.
3．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )
A．4πS B．2πS
C．πS D.πS
解析：选A 底面半径是，所以正方形的边长是2π＝2，故圆柱的侧面积是(2)2＝4πS.
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由三视图可知，该几何体是正三棱柱的一部分，如图所示，其中底面三角形的边长为2，故所求的体积为×22×2－××22×1＝.
5．已知一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为________．
解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝.
答案：
6．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.
解析：由三视图可知原几何体是由两个圆锥和一个圆柱组合而成的，它们有共同的底面，且底面半径为1，圆柱的高为2，每个圆锥的高均为1，所以体积为2×π×12×1＋π×12×2＝(m3)．
答案：π
7．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．
解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.
答案：8
8．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．
(1)画出这个几何体(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解：(1)这个几何体如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．
由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝(22＋4)cm2，
所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
课件49张PPT。第一章 空间几何体 1．3 空间几何体的
表面积与体积
1．3 ． 1 柱体、锥体、台体的
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