《探索勾股定理》教学设计
《探索勾股定理》教学设计
一.教学目标
(1) 知识与技能目标：体验勾股定理的探索过程；会利用勾股定理解决简单的实际问题；在学生充分观察、归纳、推理、探索定理的过程中发展推理能力；体会数形结合的思想；体验课程改革带来的信息渠道的多样化。
(2)过程与方法目标：在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
(3)情感态度与价目观：培养学生积极参与合作交流的意识。通过勾股定理在我国的发展情况树立学生的民族自豪感和自信心。
二、?教学重难点
教学重点：探索和验证勾股定理；了解勾股定理的由来
教学难点：面积法探索勾股定理。
三、教学过程设计
（一）情境引入，明确目标：
2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：
会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．
（二）探索、发现、验证勾股定理
1．探究活动一：
（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：
（2）引导学生从面积角度观察图形：
（3）问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
设计意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.
2．探究活动二：
提出问题：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
学生活动：（1）观察下面两幅图：
（2）填表：
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积）
左图
右图
教师活动：（1）你是怎样得到正方形C的面积的？请同学们四人一组进行讨论．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）
图1 图2 图3
学生的方法可能有：
方法一：
如图1，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， ．
方法二：
如图2，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，．
方法三：
如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，．
教师提问：分析填表的数据，你发现了什么？
学生活动：通过分析数据，归纳出：
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
设计意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，同时也为下一环节使用《几何画板》进行验证做了铺垫。
3．议一议：
（1）你能用直角三角形的边长、、来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
设计意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理的猜想.让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.通过作图培养学生的动手实践能力.
4．更进一步
提出问题：上面的规律在任意直角三角形中都成立吗？
同学们在上面的方格纸上计算正方形面积的时候有没有注意到一个问题，就是这些正方形的顶点恰好在方格纸的交点上同学们用割、补、拼等方法算出了他们的面积，那么如果不这么特殊同学们又怎么去验证呢？
用《几何画板》多媒体课件进一步进行验证.（整合点之一）
设计意图：让学生更直观形象的看到直角三角形各边变化过程中三边之间的数量关系。是学生养成严密的推理习惯。通过勾股树的演示开阔学生的思维，提高学习兴趣。
学生活动：通过思考，归纳
教师活动：通过分析，归纳出：
勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么
．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
教师活动：向学生展示“够股树”
（三）数学小史：
师生共同上网查阅资料
勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名（在西方称为毕达哥拉斯定理）
设计意图：让学生知道勾股定理的由来。 增强学生的自信心和民族自豪感。同时学会利用网络手段获取知识的方法，进一步体现了课程学习与信息技术的整合。拓宽了学生获得知识，掌握方法的渠道。会对学生的学习方法的改善、学习兴趣的培养有很好的促进作用。
（四）：勾股定理的简单应用
例 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？
（教师板演解题过程）
学生活动：
练习：1、基础巩固练习：
（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
2、生活中的应用：
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
设计意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.
（五）：课堂小结
内容：教师提问：
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流．
在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1．知识：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.
2．方法：① 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
② 面积法；
③ “割、补、拼、接”法.
3．思想：① 特殊-------一般------特殊；
② 数形结合思想．
设计意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．
预期效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.
(六)：布置作业
内容：
作业：1．教科书P6习题1.1；
2．阅读P5《读一读》——勾股世界；
3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足.
设计意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．
《探索勾股定理》说课稿
《探索勾股定理》说课稿
各位评委大家好！
今天我说课的题目是? 《探索勾股定理》，这节课所选用的教材是北师大版义务教育课程标准实验教科书。
一、教材分析
1.教材的地位和作用
八年级上册的第一章第一节《探索勾股定理》第一课时，勾股定理是初中数学乃至整个中学数学阶段的重要内容之一。
一方面，这是在学习了有关直角三角形的基础上，对直角三角形性质的进一步深入和拓展，它揭示了直角三角形三边在数量上的关系，又为下一章学习无理数的学习奠定了基础。另一方面，它在整个数学发展过程中有着重要的作用，在现实生活中有着广泛的应用。本节课所用到的研究方法对以后学生研究问题具有借鉴的作用。再加上这节课是学生升入八年级后的第一堂数学课，因此本节课在提高学生学习兴趣、调动学生学习积极性方面也有至关重要的作用。
2.教学目标
根据新课程的教学理念，我确立了如下的三维目标:
(1) 知识与技能目标：体验勾股定理的探索过程；会利用勾股定理解决简单的实际问题；在学生充分观察、归纳、推理、探索定理的过程中发展推理能力；体会数形结合的思想；体验课程改革带来的信息渠道的多样化。
(2)过程与方法目标：在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
(3)情感态度与价目观：培养学生积极参与合作交流的意识。通过勾股定理在我国的发展情况树立学生的民族自豪感和自信心。
?3、教学重难点
教学重点：探索和验证勾股定理；了解勾股定理的由来
教学难点：面积法探索勾股定理。
二．学情分析
首先，到八年级阶段学生的生理和心理方面有了一定的发展，对周围世界的认识也比较丰富，学生的逻辑思维从经验型逐渐向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随之提高。但同时学生也较以前好动，而且注意力易分散。
其次，在数学的学习方面学生也有了一定的学习经验和方法。
再者，初二的学生对计算机技术和网络技术也有了一定的了解和认识，这为他们获得信息增添了渠道，也为数学学习注入了新的方法和手段。
三．教法与学法分析
教法分析：根据学生的实际情况，本节课我将采用启发引导式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
四、教学过程设计
（一）情境引入，明确目标：
2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：
会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．
（二）探索、发现、验证勾股定理
1．探究活动一：
（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：
（2）引导学生从面积角度观察图形：
（3）问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
设计意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.
2．探究活动二：
提出问题：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
学生活动：（1）观察下面两幅图：
（2）填表：
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积）
左图
右图
教师活动：（1）你是怎样得到正方形C的面积的？请同学们四人一组进行讨论．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）
图1 图2 图3
学生的方法可能有：
方法一：
如图1，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， ．
方法二：
如图2，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，．
方法三：
如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，．
教师提问：分析填表的数据，你发现了什么？
学生活动：通过分析数据，归纳出：
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
设计意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，同时也为下一环节使用《几何画板》进行验证做了铺垫。
3．议一议：
（1）你能用直角三角形的边长、、来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
设计意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理的猜想.让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.通过作图培养学生的动手实践能力.
4．更进一步
提出问题：上面的规律在任意直角三角形中都成立吗？
同学们在上面的方格纸上计算正方形面积的时候有没有注意到一个问题，就是这些正方形的顶点恰好在方格纸的交点上同学们用割、补、拼等方法算出了他们的面积，那么如果不这么特殊同学们又怎么去验证呢？
用《几何画板》多媒体课件进一步进行验证.（整合点之一）
设计意图：让学生更直观形象的看到直角三角形各边变化过程中三边之间的数量关系。是学生养成严密的推理习惯。通过勾股树的演示开阔学生的思维，提高学习兴趣。
学生活动：通过思考，归纳
教师活动：通过分析，归纳出：
勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么
．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
教师活动：向学生展示“够股树”
（三）数学小史：
师生共同上网查阅资料
勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名（在西方称为毕达哥拉斯定理）
设计意图：让学生知道勾股定理的由来。 增强学生的自信心和民族自豪感。同时学会利用网络手段获取知识的方法，进一步体现了课程学习与信息技术的整合。拓宽了学生获得知识，掌握方法的渠道。会对学生的学习方法的改善、学习兴趣的培养有很好的促进作用。
（四）：勾股定理的简单应用
例 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？
（教师板演解题过程）
学生活动：
练习：1、基础巩固练习：
（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
2、生活中的应用：
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
设计意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.
（五）：课堂小结
内容：教师提问：
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流．
在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1．知识：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.
2．方法：① 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
② 面积法；
③ “割、补、拼、接”法.
3．思想：① 特殊-------一般------特殊；
② 数形结合思想．
设计意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．
预期效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.
(六)：布置作业
内容：
作业：1．教科书P6习题1.1；
2．阅读P5《读一读》——勾股世界；
3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足.
设计意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．
(共22张PPT)
探索勾股定理
一、情境引入
会标中央的图案是赵爽弦图，它与“勾股定理”有关，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下图是本届数学家大会的会标：
探究活动一：
观察下面地板砖示意图：
二、探索发现勾股定理
观察这三个正方形
你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？
（1）观察图1
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
个单位面积。
正方形B的面积是
个单位面积。
正方形C的面积是
个单位面积。
9
9
9
18
探究活动一：
分割成若干个直角边为整数的三角形
（单位面积）
（单位面积）
把C看成边长为6的正方形面积的一半
（2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
（3）你能发现图1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
SA+SB=SC
换个角度来看呢？
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
你发现了什么？
探究活动二：
观察右边两幅图：
填表（每个小正方形的面积为单位1）：
4
？
怎样计算正方形C的面积呢？
9
16
9
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
“割”
“补”
“拼”
方法一：
方法二：
方法三：
分割为四个直角三角形和一个小正方形
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积
将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形
分析表中数据，你发现了什么？
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4 9 13
右图 16 9 25
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
a
b
c
a
b
c
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度. （2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
提出问题：通过上面的问题同学们有什么疑问吗？
下面我们进一步验证其他的直角三角形
对任意直角三角形
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名. （在西方称为毕达哥拉斯定理）
够股树
勾股树
三、简单应用
例 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处. 大树在折断之前高多少米？
基础巩固练习：
（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
已知直角三角形两边，求第三边.
生活中的应用：
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了. 你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流.
四、课堂小结
知识：勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么 .
方法：1. 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
2. “割、补、拼、接”法.
思想：1. 特殊—一般—特殊；
2. 数形结合思想.
1．习题
2．阅读《读一读》——勾股世界.
3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足 ?
五、布置作业
