2020年春北师大版数学七年级下册第四章三角形4.1认识三角形（第3课时）教案

4.1 认识三角形（第3课时 三角形的中线和角平分线）
教学目标
1．理解并掌握三角形的中线、角平分线的定义，认识三角形的重心．
2．能准确画出三角形的中线、角平分线．
3．理解并掌握三角形中线、角平分线的性质．
教学重点难点
重点：三角形的中线、角平分线的定义及其性质．
难点：三角形的中线、角平分线的画法及应用．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
定义
图示
线段
中点
把一条线段分成两条相等的线段的点
角平
分线
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
探究新知
一、三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.如图，AD是△ABC的边BC上的中线.
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
【小组内部交流】老师引导学生得出结论：BD=CD=12BC(BC=2BD=2DC或D为BC的中点）
问题：你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线吗？观察它们中线的交点你会发现什么规律？

【分组动手操作】老师引导，学生发现规律：三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.
拓展： 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？你能发现什么规律？
解：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们的面积相等.
规律：三角形的中线能将三角形的面积平分.
【小组内部交流】老师引导学生发现规律.
例1 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
解析：因为△ABD的周长＝ AB+BD+ AD ，DB＝DC，
△ADC的周长＝ AC + DC + AD ，
所以△ABD的周长??△ADC的周长
＝（ AB+BD+ AD ）??（ AC + DC + AD ）
＝ AB??AC=2cm.
又因为AC＝5cm，
所以AB＝7cm.
答案：7cm.
二、三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图，AD 是△ABC 的角平分线， 则∠BAD ＝∠CAD＝12∠BAC?且点D?在边BC上.
想一想：三角形的角平分线与角的平分线相同吗?
不同，三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线.
问题：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？
【小组内部交流】老师引导，学生发现规律：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心.
例2 在△ABC 中，已知∠A ＝ 50°，BE，CF?分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，且BE，CF相交于点P. ∠ABP?＝?21°，求∠BCP 的度数.
解：因为BE 平分∠ABC，∠ABE?＝?21°，
所以∠ABC?＝?2×21°＝?42°?.
因为∠A+∠ABC+∠BCA?＝?180°，∠A＝50°，
所以∠BCA ＝ 180°-50°-42°＝88° .
因为CF 平分∠BCA，
所以∠BCP＝12∠BCA?＝?44°?.
课堂练习
1.如图,在△ABC中, ∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交 AC于E，F为AB上一点，CF交AD于H，判断下列说法的正误.
（1）AD是△ABE的角平分线.( )
（2）BE是△ABD的边AD上的中线.( )
（3）BE是△ABC的边AC上的中线.( )
2.如图所示，在△ABC中，AD，CE分别是△ABC，△ACD的中线，△ABC 的面积是4 cm2，那么△BEC 的面积是（　　）
A.2.5 cm2 B.2 cm2 C.1.5 cm2 D.1 cm2
3.在等腰三角形ABC 中，AB ＝ AC，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成12和6 两部分， 求这个等腰三角形的腰长及底边长.
4.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
参考答案
1．（1）×（2）×（3）×
2．B
3.解：设AB?＝?AC?＝?2x，则AD?＝?CD?＝?x.
（1）当AB+AD?＝?12，BC+CD?＝?6?时，有2x+x?＝?12，
所以x?＝?4，2x?＝?8. 所以AB?＝?AC?＝?8，BC?＝?6?4?＝?2.
（2）当BC+CD?＝?12，AB+AD?＝?6?时，有2x+x?＝?6，
解得x?＝?2，所以2x?＝?4.?
所以AB?＝?AC?＝?4，BC?＝?12?2?＝?10.
因为4+4<10，所以此时不能构成三角形.
综上所述，等腰三角形ABC?的腰长为8，底边长为2.
4.解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=∠BAE=∠BAC.
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB+∠B+∠BAE＝180°，
∴∠AEB=180°-37.5°-45°=97.5°.
课堂小结
布置作业
教材50页随堂练习
板书设计
三角形的中线和角平分线
1.三角形的中线：(1)定义；(2)画法；(3)三角形的三条中线交于一点——重心．
2.三角形的角平分线：(1)定义；(2)画法；(3)三角形的三条角平分线交于一点——内心.