2020年春北师大版数学七年级下册 5.3简单的轴对称图形教案（第3课时）

5.3 简单的轴对称图形（第3课时 角平分线的性质）
教学目标
1．经历探索角的轴对称性的过程，理解并掌握角平分线的有关性质，并能运用角平分线的性质解决一些实际问题．
2．掌握作已知角的平分线的尺规作图方法．
教学重点难点
重点: 掌握角平分线的性质，会用尺规作已知角的平分线．
难点：角平分线的性质的应用．
教学过程
新课导入
【问题1】在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
【问题2】如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
探究新知
【教师】如图是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
【学生活动】先独立思考，再与同伴交流
在△CAD和△CAB中，

所以△ADC≌△ABC（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB．
即射线AC就是∠DAB的平分线．
【教师】通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法？
【学生总结】(学生总结，老师点评)
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于M，N．
（2）分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
【教师提问】
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.
1．去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
2．若分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
【教师提问】请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.
第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．
【教师】折出如图所示的折痕PD，PE．
【教师提问】按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画的PD，PE是否等长？
【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.
PD=PE.
【教师】我们猜想角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
【教师提问】你能证明这一性质吗？
【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
试说明：PD=PE.
解：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，∠AOC= ∠BOC，OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
【教师提问】能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．
【学生总结】(学生总结，老师点评)
∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE．
于是我们得角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【合作探究，解决问题】
【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3 cm，那么AE，AC，DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【互动探索】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CE，从而可知AE，AC，DE之间的数量关系．
解：AE＋DE＝AC＝3 cm.理由如下：
因为∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，
所以DE＝CE，
所以AC＝AE＋CE＝3 cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
【拓展延伸】
【例2】如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，你能说出可供选择的地址有几处吗？
【互动探索】根据角平分线的性质，得货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点．
解：因为中转站要到三条公路的距离都相等，
所以货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点．
而外角平分线有3个交点，内角平分线有1个交点，
所以货物中转站可以供选择的地址有4处．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
课堂练习
1．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是(　　)
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝10，则点D到AB的距离是(　　)
A．9　 B．8　
C．7　 D．6
3. 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
试说明：EB=FC.
4．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为点M，N.证明：PM＝PN.
参考答案
1. C 2. D
3.解： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
4. 证明：因为BD是∠ABC的平分线，
所以∠ABD＝∠CBD．
又因为AB＝BC，BD＝BD，
所以△ABD≌△CBD(SAS)，
所以∠ADB＝∠CDB，
即DB是∠ADC的平分线．
因为PM⊥AD，PN⊥CD，
所以PM＝PN.
课堂小结
布置作业
教材习题5.5第1,2,3题
板书设计
3 简单的轴对称图形
第3课时　角平分线的性质
1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
2.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.