2020年春北师大版数学七年级下册 5.3简单的轴对称图形教案（第1课时）

5.3 简单的轴对称图形（第1课时 等腰三角形）
教学目标
1．经历探索等腰三角形和等边三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的轴对称性、三线合一、两底角相等等性质．
2．能根据等腰三角形的性质解决一些简单的问题．
教学重点难点
重点: 等腰三角形、等边三角形的性质．
难点：等腰三角形、等边三角形的性质及探索过程．
课时安排
1课时
教学过程
新课导入
【创设情境，课堂引入】
在生活中，我们经常能看到这样的建筑.
展示图片：
【问题】仔细观察这几张图片，它们都有等腰三角形.我们知道，三角形具有稳定性，那么作为其中特殊的一种，等腰三角形又具有哪些性质呢？
探究新知
【教师】在了解性质之前，我们需要先对等腰三角形进行了解.
首先，我们知道，有两条边相等的三角形叫等腰三角形.
在等腰三角形中，有这样几个重要的概念：
(1)相等的两条边都叫腰；另一边叫底边；
(2)两腰的夹角∠A叫顶角；
(3)腰与底边的夹角∠B、∠C叫底角.
【教师】认识了等腰三角形之后，我们就来探究一下它所具有的性质.
将等腰三角形ABC纸板对折，对折的痕迹标上AD，找出其中重合的线段和角.
【学生活动】重合的线段是AB与AC，BD与DC，重合的角是∠B与∠C，∠BAD与∠CAD，∠BDA与∠CDA.
【教师】通过对折，我们发现了这些相等的量，那么通过这次对折，我们能不能发现等腰三角形的性质呢？
【教师提问】等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴.
【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴就是刚刚对折的折痕.
【教师】在对折中，我们发现，在等腰三角形中，两个底角是相等的，即
∠B =∠C.这就是等腰三角形的性质之一：
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
【教师提问】顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
【教师】针对这个问题，同学们利用量角器，在纸板上画出顶角的角平分线，之后，沿着所画的角平分线对折纸板，你们发现了什么？
【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.
我们沿着角平分线对折，等腰三角形能够完全重合，这说明，顶角平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴.
【教师提问】底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在直线呢？
【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.
底边上的中线是等腰三角形的对称轴；底边上的高是等腰三角形的对称轴.
【教师】经过上述问题，我们就得到了等腰三角形的第二个性质：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 (等腰三角形三线合一).
【教师提问】怎样证明这一条性质？
【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.
证明：在ΔABC中，∵ AD是角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
在ΔABD和ΔACD中,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD
∴ΔABD≌ΔACD.
∴BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90?.
∴AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高.
【教师提问】等腰三角形的性质有哪些？
【学生总结】(学生总结，老师点评)
1.等腰三角形是轴对称图形.
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
3.等腰三角形的两个底角相等.
【教师】在等腰三角形中，还有一类更特殊的三角形：等边三角形.
结合刚刚等腰三角形的性质的分析，我们来看一下等边三角形的性质.
【教师提问】由于等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形肯定也是轴对称图形，那它的对称轴有几条呢？
【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.
等边三角形有三条对称轴.
【教师提问】根据等腰三角形所具有的三线合一的性质，可以得到等边三角形的什么性质？
【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.
同样地，等腰三角形所具有的三线合一的性质，等边三角形也具有，并且对于三条边来说，都具有这一性质.同时，它的三个角都是相等的，为60°.
【教师】我们将等边三角形的性质总结如下：
等边三角形是轴对称图形.
等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.
等边三角形共有三条对称轴.
等边三角形的各角都相等，都等于60°.
【合作探究，解决问题】
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC中各内角的度数．
【互动探索】设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
解：因为AB＝AC，BD＝BC＝AD，
所以∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD．
设∠A＝x，则∠ABC＝∠C＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.
在△ABC中，因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
所以x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°.
所以在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)当题中等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
【例2】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D．求证：∠BAD＝2∠DBC．
【互动探索】(引发学生思考)由∠BAD＝2∠DBC，考虑作∠BAD的平分线，即作等腰三角形的高，再根据“等角的余角相等”证明结论．
证明：过点A作AE⊥BC于点E.
因为AB＝AC，AE⊥BC，
所以∠BAD＝2∠2.
因为BD⊥AC于点D，
所以∠BDC＝90°，
所以∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°，
所以∠DBC＝∠2，
所以∠BAD＝2∠DBC．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键：(1)从要证的等式中角之间的数量关系，考虑利用等腰三角形“三线合一”作辅助线；(2)在有直角的平面几何图形中，可用“等角的余角相等”证明角相等．
课堂练习
1.如果等腰三角形两边长是9 cm和4 cm，那么它的周长是（　　）
A．17 cm B．22 cm C．17或22 cm D．无法确定
2.下列说法错误的是（　　）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形顶角的外角是底角的两倍
3.等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（　　）
A．65°，65° B．50°，80°
C．65°，65°或50°，80° D．50°，50°
4. 如图，在等腰△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的平分线相交于点O
（1）连接OA，求∠OAC的度数；
（2）求∠BOC.
5.如图，等边△ABC中，D，E分别在BC，AC上，且CD=AE，AD，BE相交于点P，试求∠BPD的度数.
参考答案
1. B 2. A 3. C
4. 解：（1）连接AO，
∵在等腰△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，
∴等腰△ABC关于线段AO所在的直线对称.
∵∠A=80°，
∴∠OAC=40°.
（2）∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC= ∠ABO，∠OCB=∠ACO，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（ ∠ABC+∠ACB）
=180°- （180°-∠A）
=90°+∠A.
∴当∠A=80°时，
∠BOC＝90°+∠A =130°.
5. 解：∵CD=AE，∴BD=CE.
在△ABD和△BCE中， AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE.
∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠ABC=60°.
课堂小结
布置作业
教材习题5.3第1,2,3题
板书设计
3　简单的轴对称图形
第1课时　等腰三角形
1.等腰三角形的相关概念
(1)相等的两条边都叫腰；另一边叫底边；
(2)两腰的夹角∠A叫顶角；
(3)腰与底边夹角∠B、∠C叫底角.
2.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形是轴对称图形；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴；
（3）等腰三角形的两个底角相等.
3.等边三角形的性质