2020年春北师大版数学七年级下册：4.1认识三角形（第1课时）教案

4.1 认识三角形（第1课时 三角形及三角形的内角和）
教学目标
1．让学生通过具体实例，认识三角形的概念及其基本要素，会将三角形按角分类．
2．使学生掌握“三角形三个内角的和等于180°”，能应用三角形内角和解决一些简单的求三角形内角的度数问题，能发现“直角三角形的两个锐角互余”并会利用．
3．引导学生通过观察、操作、想象、推理“三角形三个内角的和等于180°”的活动过程，发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力．
教学重点难点
重点：三角形三个内角的和等于180°；直角三角形的两个锐角互余．
难点：探究、发现和验证“三角形三个内角的和等于180°”．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课

【引导学生思考】（1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑到微小的分子结构，都有什么样的形象？
从古埃及的金字塔到现代的飞机,从宏伟的建筑到微小的分子结构, 处处都有三角形的身影.
（2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例.
交通标志、警示牌、三明治等等.
探究新知
一、三角形的有关概念
1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
思考：三角形中有几条线段?有几个角?
有三条线段，三个角.
(1)边：线段AB,BC,CA是三角形的边.
(2)顶点： A,B,C是三角形的顶点.
(3)角：∠A,∠B,∠C?是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.
2.表示方法
（1）三角形的表示
三角形可以用符号“△”表示，顶点是A,B,C的三角形，记作△ABC?，读作“三角形ABC”.
（2）边的表示
△ABC的三边BC, AC?,AB可以用a,b,c来表示.
（3）角的表示
∠A所对的边是BC， ∠B所对的边是AC， ∠C所对的边是AB.
辨一辨：下列图形是三角形吗？
不是 不是 不是 是
【小组内部交流】老师引导学生找出辨别的条件.
归纳：（1）三角形应满足以下两个条件：
①位置关系：不在同一直线上.
②连接方式：首尾顺次相接.
（2）表示方法：
三角形用符号“△”表示，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC还可记作△BCA, △ CAB, △ ACB.
写一写：你能写出图中所有的三角形吗？
△ABD??????△ABE???????△ABC??
△ADE??????△ADC????????△AEC?
【小组内部交流】老师引导学生找到表示所有的三角形的方法.
思考：①∠B的对边：AD?,?AE?,?AC.
②以AD为边的三角形有：△ABD?，△ADE，△ADC
二、三角形的内角和
三角形三个内角的和等于180°.
即：△ABC中， ∠A?+∠B?+∠C=180?°.
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.

【小组内部操作】讨论拼接的方法，三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.让学生试试还有其他方法吗.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
试一试：已知△ABC.
试说明：∠A+∠B+∠C=180°.
解法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
∠C=∠2 (两直线平行,内错角相等) .
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
↓
解法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)，
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
↓
解法3：过D作DE∥AC, DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC (两直线平行，同位角相等)，
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°(两直线平行，同旁内角相补).
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
↓
【各组内部交流】(学生总结，老师点评) 想一想：同学们还有其他的方法吗？
思考：多种方法说明三角形内角和等于180°的核心是什么？

总结：1.在这里，为了需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
2.为了说明三角形三个内角的和为180°,常将三个角转化为一个平角，这种转化思想是数学中常用的方法.
例1 在△ABC 中，∠B ＝ 3?∠A，∠C ＝ 5 ∠A. 求∠A，∠ B?，∠ C 的度数.
解：设∠A?＝?x°，则∠B?＝?3x°，∠C?＝?5x°?.
根据三角形内角和定理，
得x+3x+5x?＝?180，解得x?＝?20.
所以∠A?＝?20°，∠B?＝?60°，∠C?＝?100°?.
例2 如图是A， B， C 三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？
解：∠CAB= ∠BAD ? ∠CAD=80°??50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180°.
所以∠ABE=180°? ∠BAD=180°??80°=100°,
所以∠ABC= ∠ABE ? ∠EBC=100°??40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180° ? ∠ABC ? ∠ CAB
=180°?60°?30°?=90°,
即从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°,
从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.
三、三角形的分类
思考：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？

锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
↑ ↑ ↑
三个角都是 有一个角是 有一个角是
锐角的三角形 直角的三角形 钝角的三角形
(1)通常，我们用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”．把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边.
(2)直角三角形的两个锐角是什么关系？
互余，即上图中∠A＋∠B＝90°.
【各组内部讨论】怎样说明这个结论呢？
课堂练习
1.一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法判定
2.如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=( )
A.70° B. 80°
C. 90° D. 100°
3.（1）在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°，则∠C =_______;
（2）在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B，则∠C = ________.
4.已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
5. 探究与发现：如图1，有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．请写出∠BDC与∠A＋∠ABD＋∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
应用：某零件如图2所示，图纸要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，当检验员量得∠BDC＝145°时，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？

图1 图2
参考答案
1．A
2．C
3.(1)102°
(2)120°
4.解：在△DFB中，
∵∠DFB＝90°，∠D＝50°，
∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，
∴∠B＝40°.
在△ABC中，∵∠A＝46°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
5.解：探究与发现：∠BDC＝∠A＋∠ABD＋∠ACD．理由如下：
因为∠BDC＋∠DBC＋∠DCB＝180°，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝∠A＋
∠ABD＋∠ACD＋∠DBC＋∠DCB＝180°，
所以∠BDC＝∠A＋∠ABD＋∠ACD．
应用：能，连接BC．
因为∠A＝90°，∠ABD＝32°，∠ACD＝21°，
所以由上述结论，得∠BDC＝∠A＋∠ABD＋∠ACD＝143°.
因为检验员量得∠BDC＝145°≠143°，所以这个零件不合格．
课堂小结
布置作业
习题4.1
板书设计
三角形及三角形的内角和
1．三角形
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
2．三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
3．三角形按角分类
三角形
4．直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余．