湖北省华中师大一附中2020年高二网课课件——复数的综合问题（上）（共22张PPT）

(共22张PPT)
复数的综合问题

第三章　数系的扩充与复数的引入
复习回顾
计算：

① ( -2+3i )(1+2i)+( -2-3i )(1+2i)=_________

② =__________

③z|=______

④ 若，则 z=______
利用z=a+bi，求一个复数的平方根，有利于后续求一元二次方程的复数根。
-4-8i

2i+1

2i+1或-2i-1
任意的复数 a+bi，都可以开方，都有两个值与之对应
1. 复数与方程
3. 复数的共轭与模
2. 复数与轨迹
5. 复数的三角形式及乘除运算的几何意义
4. 复数中的周期问题
学习目标
学习标
复数与一元二次方程
学习标
复数与方程
复数与一元二次方程
学习标
复数与方程
复数与一元二次方程
例1： 已知 ，求出这个方程所有的根。
复数与实系数一元二次方程
方法一：因式分解法
（i）(=0
因此两个根是i， i
方法二：配方法


1
1=

因此两个根是i， i


复数与实系数一元二次方程
方法三：求根公式法
，a=1,b=2,c=2



因此两个根是i， i

方法四：a+bi代入法
注意到判别式小于零，故存在虚根，即b不为零。
原方程等价于 +2a+2+2b(a+1)i=0


+2a+2=0，2b(a+1)=0，故a=-1，b=1或-1.
复数与实系数一元二次方程
方法五：韦达定理法
性质:
结论：实系数一元二次方程的虚根成共轭出现

注意到判别式小于零，故此方程的根为a+bi与a-bi，且b不为零


利用根与系数的关系： (a+bi) +(a-bi)=-2，
(a+bi) (a-bi)=2
因此两个根是i， i

复数与实系数一元二次方程
总结： 在复数域上解实系数的一元二次方程可以用 因式分解，配方法，求根公式，利用a+bi代入法，韦达定理法.
复数与实系数一元二次方程
变式训练1： 已知，求出这个方程所有的根。（试着用上述不同的方法依次求根）
提示： 注意到x=-1 是一个实根，同时上式化简为(x+1)(x2+4x+5)=0，故另外两个根为2+ i，2-i (虚跟有两个，并且互为共轭)
学习标
复数与方程
复数与实系数一元二次方程
例2： 已知，其中试讨论此方程当取何值时有虚根，并指出虚根的个数.
变式训练2： 已知，其中1+i 是此方程的一个根，求的值.
提示： a>1，有两个（互为共轭）
提示： 方法一：将根代入，利用两个复数相等的定义，得到两个方程，m=-2,n=2.

方法二：利用虚根成对出现，再利用根与系数的关系.
复数与实系数一元二次方程
思考题：在复数范围内，方程解的个数有_______个。
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练习1：已知一元二次方程有一个根为a+3i ，求 a 与 m的值
练习2：已知一元二次方程有一个根为3+bi ，求 m的值
提示： a+3i 是虚数，则一定有a-3i是另一个根，利用根与系数的关系知 a=3, m= 18.
提示： 注意讨论b是否为0，答案是b=0, m=4
学习标
复数与方程
复数与复系数一元二次方程
学习标
复数与方程
复数与复系数一元二次方程
例3： 关于，求出此方程的t的值。
提示： 方法一： 直接令t=a+bi ，代入可得两个方程，求解即可。
方法二： 利用求根公式处理即可。
答案： t=2，t=-1-i
注意：复系数一元二次方程的虚根并没有成对出现
学习标
复数与方程
复数与复系数一元二次方程
例4： 关于有实根，求实数a的值以及此方程的根。
提示：
再利用根与系数的关系即可得到
复数与复系数一元二次方程
变式训练1：已知一元二次方程有实根，求k的值
为方程的实根，则

即
所以

消去，得 ，解得。


解：
学习标
复数与轨迹
1. 若复数 z 满足｜｜=｜ ｜，其中，是给定的两个不等复数，则表示在复平面内以点Z1、Z2为端点的线段垂直平分线的方程.
2.｜ ｜=r 表示复平面内以点Z0为圆心，半径为r的圆的方程；
或者是｜ ｜=｜ ｜， ，且，表示的也是一个圆（阿氏圆）.
3. ｜ ｜+｜ ｜=2a(2a＞｜｜>0)表示在复平面内以点Z 1、Z2为焦点，长轴是2a的椭圆方程.
4.|｜ ｜ ｜ ｜|=2a(0<2a＜｜ ｜)表示在复平面内点Z1 、Z2为焦点，实轴长是2a的双曲线方程.
学习标
复数与轨迹
例1：复数， ， 互不相等，若满足 则点Z1，Z2，Z3组成的三角形是_____________
变式训练1：在复平面内，对应的三个顶点分别是Z1，Z2，Z3 ，且复数z满足= 则点Z是此三角形的______

A 内心 B 外心 C 重心 D垂心

等腰三角形
B
学习标
复数与轨迹
例2：若复数z满足 ，则 的取值范围是__________
变式训练2：若复数z=a+bi 满足 ，则 a+b 的取值范围是__________

提示：此轨迹为(a+5)2+y2=16, 故a+b 的范围是, ]
, ]
提示：此轨迹为(a-3)2+(y-4)2=1, 取值范围[4,6]， 故目标的范围是
学习标
复数与轨迹
例3：在 =4，则 最大值_______
提示：复数z的轨迹目标可以转化为(a,b) 到焦点(0，1)与定点(—1，0)的距离，即可得到最大值

学习标
复数与轨迹
变式训练3：在，若Z1=c+di(c,d是实数)，且c-d=6，则 最小值__________
提示：复数z的轨迹目标可以转化为(a,b) 到直线c-d-6=0的距离，即可得到最小值

复数与轨迹
例4：在 =2，则 最小值_______
注意：此时轨迹是双曲线单支，目标为曲线上的点到下焦点的距离，故为3
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