华东师大版七年级数学下册全册教案（共75页）
文档属性
| 名称 | 华东师大版七年级数学下册全册教案（共75页） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 945.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-07 13:57:46 | ||
图片预览
文档简介
第6章 一元一次方程
6．1 从实际问题到方程
教学目标
?知识与技能
使学生会列一元一次方程解决实际问题，能判断一个数是否为某个方程的解．
?过程与方法
通过对实际问题的分析，体会一元一次方程为从实际问题中建立的数学模型所带来的方便．
?情感、态度与价值观
感受数学源于生活实际，又应用于生活实际，进一步认识数学中方程与现实世界的密切联系．
重点难点
?重点
列一元一次方程解决实际问题．
?难点
审清题意，找出题目中“相等关系”．
教学过程
一、情境导入
1．教师用投影仪投影：一本笔记本1.2元，小红有6元钱，那么她最多能买到几本这样的笔记本？
问题：此题可以有几种解法？分别解答出来．
2．卡片显示，观察卡片上的式子，你能填上适当的数吗？(卡片上式子分别为：3＋□＝8，○－2＝7，5×？＝1，△÷2＝3，＝)
如果将这5张卡片中未知的数均用字母x表示，它们将如何表现呢？
3＋x＝8；x－2＝7；5x＝1；x÷2＝3；＝
3．观察问题1、2中的式子有何共同特点？
4．教师点评：通过设未知数，列方程，将实际问题转化为数学中的方程问题来解决．
板书：从实际问题到方程
二、探究交流
1．某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？
[问题1]你有几种方法解答？
列方程解：设租44座客车x辆，有44x＋64＝328.算术法解：(328－64)÷44.
[问题2]这个方程你能解吗？你是怎样解的？
依据是什么？
想一想：列方程求解具有什么样的优点？很容易将实际问题转化为一个数学中的方程问题，然后只需解方程即可．
2．教师给出方程解的定义．
3．习题巩固
检验下列各括号里的数是不是它前面方程的解：
(1)6(x＋3)＝30 (x＝5，x＝2)；
(2)3y－1＝2y＋1 (y＝4，y＝2)；
(3)(x－2)(x－3)＝0 (x＝0，x＝2，x＝3)．
4．思考：将教材中第2页问题2中的“三分之一”改为“三分之二”，试着用刚才的两种方法求解．
5．问题：教材第5页中的“思考”．
教师小结：方程能让我们很容易地将实际问题转化为方程问题，至于方程的求解我们学到后面就很容易解决了．
三、巩固练习
1．方程12(x－3)＝2x＋4的解是( )
A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝－4 D．x＝4
2．已知x＝2是方程2(x－3)＋1＝x＋m的解，则m等于( )
A．3 B．2 C．－3 D．－2
3．某长方形球场周长为310米，长和宽之差为35米，这个球场的长和宽分别是多少米？
四、课时小结
1．本节课我们主要学习了怎样用列方程来解实际问题的办法，体会到列方程的优点．
2．在列方程解决问题时，应分析题意中数量关系，找出所蕴含的等量关系，列出方程．
3．检验一个数是不是方程的解，应代入方程中，检验式子是否成立．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
板书设计
一、情境导入
二、探究交流
三、巩固练习
四、课堂小结
五、布置作业
教学反思
本节课在设计上重点体现学生的自主探究，首先在引入时，问题设计体现出教师的教学活动是建立在学生认识发展水平和已有的知识经验的基础上，承接以前的算术法为基础的方程意识，探究过程在对教材例题的处理上，让学生探究方程解法与算术解法的优劣，从而让学生在自主探索中进行比较，自己得出结论．较之传统的教学活动而言，体现了学生的主体地位，着重于学生的探索活动，强调了学生的自我发现在方程的解的概念这部分的处理上的重要性，继续强化了学生的探索活动．
6．2 解一元一次方程
6．2.1 等式的性质与方程的简单变形
第1课时 等式的基本性质教学目标
?知识与技能
1．掌握等式的基本性质．
2．会利用等式的基本性质解简单的一元一次方程．
重点难点
?重点
等式的两个基本性质．
?难点
利用等式的两个性质解一元一次方程．
教学过程
一、创设情境 明确目标
小明和王力在玩跷跷板，当他们位于跷跷板两端的时候，恰好处于平衡的位置．这时，李强和小丽也来了，如果他们二人的体重相等，他们这时也分别坐在跷跷板的两端，这时候跷跷板是否仍然平衡？
二、合作探究 达成目标
探究点一 等式的基本性质
活动一：观察下面的天平变化，你可以得出与等式有关的什么性质？
【展示点评】等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式．
【小组讨论】若ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是( )
A．a＝b
B．ma－6＝mb－6
C．－ma＝－mb
D．ma＋8＝mb＋8
(提示：要特别注意两边都除以同一个数时，除数不能为0.)
【反思小结】仔细观察分析原等式与各选项中的等式的结构、系数有何变化，从而确定是应用了等式的哪条性质．
【反思小结】见学生用书“当堂练习”相应部分．
探究点二 利用等式的基本性质解方程
活动二：阅读教材第133页例1、例2，解下列方程：
(1)x＋2＝7
解：方程两边________，得________．
(2)4＝x－5
解：方程两边________，得________．
(提示：把求出的解代入原方程，就可以知道求得的解对不对哈！)
(3)－3x＝15
解：方程两边________，得________．
【展示点评】利用等式性质解一元一次方程，就是利用等式性质把方程ax＋b＝0(a≠0)变开，最终化为x＝－的形式，x＝叫一元一次方程ax＋b＝0的解，求方程解的过程，叫做解方程．
【小组讨论】利用等式的基本性质解方程，通常有哪些步骤？需要注意哪些问题？
【反思小结】利用等式的基本性质解方程的一般步骤：(1)利用等式的基本性质1，在方程的两边都加上或减去同一个代数式，使方程左边只含有未知数，右边只含有常数；(2)利用等式的基本性质2，在方程的两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解．运用性质1时，一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个代数式，才能保证所得结果乃是等式，这里要特别注意“同时”和“同一个”．运用性质2时，除了要注意等式两边同时乘(或除以)同一个数，才能保证所得结果乃是等式以外，还必须注意等式两边不能都除以0，因为0不能做除数．
【反思小结】见学生用书“当堂练习”相应部分．
三、总结梳理 达成目标
1．本课知识点：
(1)等式的基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．可以用符号表示为：若A＝B，则A±C＝B±C.
(2)等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式．可以用符号表示为：若A＝B，且C≠0，则A×C＝B×C，＝.
2．应用性质时注意：
运用性质1时，一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，才能保证所得结果乃是等式，这里要特别注意同时和同一个．
运用性质2时，除了要注意等式两边同时乘(或除以)同一个数，才能保证所得结果乃是等式以外，还必须注意等式两边不能都除以0，因为0不能做除数．
3．我的困惑：
四、达标检测 反思目标
1．下列变形正确的是( )
A．如果2x－3＝7，那么2x＝7－3
B．如果3x－2＝x＋1，那么3x－x＝1－2
C．如果－2x＝5，那么x＝5＋2
D．如果－x＝1，那么x＝－3
2．在方程6x－1＝1，2x＝，7x－1＝x＋1，5x＝2－x中，与方程6x＝2的解相同的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，下列四个天平中，相同形状的物体的质量是相等的，其中第①个天平是平衡的，根据第①个天平，后三个天平仍然平衡的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．解方程2x－4＝1时，先在方程的两边都________，得到________，然后在方程的两边都________，得到x＝________．
5．利用等式的基本性质解方程．
(1)－x＋3＝2； (2)3x－3＝x＋1.
五、作业
课后作业见学生用书的“课后作业”部分．
教学反思
本节课采用从生活中的跷跷板引入学习，激发学生学习兴趣，采用类比等式性质创设问题情景的方法，引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想验证等研究问题的方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯．利用学生的好奇心设疑、解疑，让学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容．在整个探究学习的过程中充满师生之间、学生之间的交流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体.
第2课时 方程的简单变形
教学目标
?知识与技能
1．通过实践以及日常生活中的问题，直观感受方程的简单变形．
2．在观察思考的基础上，体会方程的两种变形及解方程的两个基本步骤．
3．进一步熟悉方程的两个变形及解方程的两个重要步骤．
?过程与方法
1．让学生经历知识的形成过程，培养学生自主探索和相互合作的能力．
2．引导学生自主探索复杂方程的解法，体会方程不同解法中所蕴含的转化思想．
?情感、态度与价值观
1．激发学生浓厚的学习兴趣，使学生有独立思考，勇于创新的精神，养成按客观规律办事的良好习惯．
2．使学生掌握解方程的基本方法，体验方法的多样性，培养学生的实践能力和创新精神，领悟数学来源于生活的宗旨，养成独立思考和合作交流的能力．
重点难点
?重点
1．移项法则及其应用．
2．让学生经历自主探索解方程的每一步变形依据，归纳解方程的一般步骤．
?难点
1．从具体实例中抽象出方程的两种变形．
2．方法的灵活应用与多样性．
教学过程
一、情境导入
设计意图：通过学生自主探究和演示实验，让学生直观感受方程的两个变形，进而激发他们的学习兴趣和探究欲望，从而更容易理解和接受这两条性质．
教师先提出实验的要求：请同学们仔细观察实验的过程，思考能否从中发现规律，再用自己的语言叙述发现的规律．
分组实验(时间约10分钟)：每小组准备天平一架、砝码和等质量小木块若干．教师引导学生进行以下操作．
操作(1)
1．先在托盘中放入一小木块，然后在另一个托盘中加入砝码，使天平平衡．
2．然后在天平中放入等质量的小木块各一块，观察此时天平是否平衡，可以重复此步．
操作(2)
1．在两个托盘中放入等质量的木块各一块，观察此时天平是否平衡．
2．在两个托盘中放入等质量的木块各相等的数量，观察此时天平是否平衡，可以重复此步．
思考，这其中包含的数学道理是什么？
学生讨论后交流，然后师生共同归纳出方程变形的两条性质：
变形1：方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变．
变形2：方程的两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变．
1．方程的两个变形是什么？
2．解方程进行移项时应注意哪些问题？
3．解方程的最后一步是什么？
4．解方程：2x＋3＝1.
教师尽量让后进生板演，并对出现的问题进行讨论、分析．
二、探究新知
设计意图：进一步渗透模型化的思想，引发学生认知上的冲突，寻求解决途径，感受解决问题的方法与思路．
1．出示教材第6页例1：解下列方程：(1)x－5＝7；(2)4x＝3x－4.
问题：怎样解这个方程？如何利用方程的两个变形使它们向x＝a的形式转化呢？
学生思考：探索：对于方程(1)，可在方程两边同加上5；对于方程(2)，可在方程两边都减去3x，从而把两个方程的解求出来．
归纳：像上面这样，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项．
通过移项，含未知数的项和常数项分别位于方程的左右两边，使方程更接近于x＝a的形式．
2．出示例题，解方程：
(1)8x＝2x－7；
(2)6＝8＋2x.
师巡回观察．然后讲评：
①每一步是怎样变形的？变形的依据是什么？
②解方程的格式，提醒与计算题格式的不同点．
③揭示变形中可能的“多余步骤”，如移项中将含未知数的项移到方程右边；系数化为1时可能出现的错误．
3．“我来当老师”
解方程：(1)x－1＝；(2)3x＋2＝4x；
(3)5－3x＝7；(4)x＋＝0.
教师引导板演的学生逐一讲述每一步怎样变形．
4．分组对抗
每个学习小组在黑板上出一道解方程题，并在相邻的小组挑一位同学解答，且要求说出每一步是怎样变形的．
5．例题讲解
解方程：2y－＝y－3.
教师请不同解法的学生演示其解答过程．
师点评，并引导归纳解方程的一般步骤．
三、尝试运用、加深巩固
设计意图：通过对移项方法的尝试运用，加深对该方法的理解与掌握，使学生能够利用该种方法去解方程．
师出示教材第6页例2：解方程：(1)－5x＝2；(2)x＝.
两组学生板演，其余学生在练习本上完成．然后针对学生的完成情况进行点评，让学生进一步体会“系数化为1”的依据．
1．解下列方程，并说出每一步是怎样变形的：
(1)5x＝2x＋3；(2)2y＋1＝3y－4.
2．列方程求下列各数：
(1)x的等于x的与3的差．
(2)某数的3倍加上5，等于该数的4倍减去7.
师巡视指导．
四、小结与作业
设计意图：通过师生共同归纳本节所学的知识，进一步整合本节内容，使学习的知识更加有条理，更利于知识的巩固和消化．
1．小结：方程的两个变形是什么？移项中应注意哪些问题？
2．解方程的一般步骤，以及各步骤是怎样变形的？
3．各步骤的先后顺序不一，解法不唯一．
4．解方程的最后一步一定要化为形如“x＝a”的形式．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
通过学习让学生学会了方程简单变形，进一步熟悉了方程的两个变形及解方程的两个步骤，激发了学生浓厚的学习兴趣，养成独立思考和合作交流的能力．
6．2.2 解一元一次方程
第1课时 解含括号的一元一次方程教学目标
?知识与技能
感受一元一次方程的定义，进一步理解并掌握解一元一次方程的方法．
?过程与方法
经历含括号的一元一次方程求解过程，能用去括号、移项、系数化为1等步骤来解一元一次方程．
?情感、态度与价值观
通过解方程，体会转化思想在数学中的重要作用，培养学生自觉反思求解和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯．
重点难点
?重点
含括号的一元一次方程的解法．
?难点
括号前是负号的处理．
教学过程
一、情境导入
设计意图：通过学生的自主尝试、观察、归纳，有效地激发学生的参与欲望，培养学生的创新能力和分析解决问题的能力．
师用投影给出以下几个方程：－2x＝4，4x＝，44x＋64＝328，13＋x＝(45＋x)．
提出问题：这些方程有什么共同特点？
学生思考后，分小组进行交流，归纳．
师最后概括：(1)只含有一个未知数；(2)含有未知数的式子是整式；(3)未知数的次数是1.
具备以上特点的方程叫一元一次方程．
这节课我们就来学习怎样解一元一次方程(师板书)．
二、尝试探究
设计意图：通过学生的探究活动，让学生感受解一元一次方程的步骤，会使用其步骤去尝试解一元一次方程，从而达到熟练掌握的目的，培养学生解决问题的能力．
1．解方程：3(x－2)＋1＝x－(2x－1)．
[注意](1)在学生自主探索的基础上，教师可有针对性地引导利用前面所学过的相关知识(如怎样去括号，去括号应注意什么等)进行解答；
(2)让学生自觉理解每一步解答的依据．
2．师板书解方程的步骤：
解：去括号得：3x－6＋1＝x－2x＋1，
即：3x－5＝－x＋1，
移项得：3x＋x＝1＋5，
即：4x＝6.
系数化为1得：x＝.
(通过板书解题步骤，渗透解方程的一般步骤，使解题规范化，让学生养成良好的解题习惯)．
3．尝试练习：解下列方程：(1)－5(x－1)＝1；(2)2－(1－x)＝2.
三、巩固练习，深化认识
设计意图：通过练习，使学生进一步巩固解一元一次方程的方法；通过对不同解法的探讨，开拓学生的思维，提高他们分析问题和解决问题的能力．
1．解方程：－2(x－1)＝4.
[注意](1)学生中可能出现不同的解法，如：①－2x＋2＝4；②x－1＝－2，应给予他们讲清思路的机会，教师作适当的引导；(2)如果学生不能利用不同的解法，教师可适时提出指导建议，从而形成两种解法．
2．议一议
组织学生比较两种不同的解法，在独立思考的基础上，进行交流．
3．练一练
解下列方程：(1)－3(x－5)＝6；(2)2(3－x)＝9.
四、回顾反思
设计意图：通过回顾反思，进一步整合本节课所学的知识，使所学知识更有条理性，解题方法更加明确，有利于学生知识的形成、深化．
师：1.你能识别怎样的方程是一元一次方程？(从概念上进行概括)
2．你认为含括号的一元一次方程应如何解？(去括号，移项，合并同类项，系数化为1.)
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节通过学习一元一次方程的定义及其解法，让学生掌握了如何判断方程是一元一次 方程和一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1.通过解方程让学生体会到了转化的思想在数学中的重要作用．
第2课时 解含分母的一元一次方程
教学目标
?知识与技能
经历解方程基本思路是把“复杂”转化为“简单”，把“新”转化为“旧”的过程，进一步理解并掌握如何去分母的解题方法．
?过程与方法
1．通过解方程去分母的过程，体会转化思想．
2．进一步体会解方程方法的灵活多样性，培养解决不同问题的能力．
?情感、态度与价值观
培养学生自觉反思求解和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯，养成团队合作的精神．
重点难点
?重点
运用去分母解方程．
?难点
去分母时需解决的几个问题．
教学过程
一、创设情境，导入新课
设计意图：能够创设问题情境，发展学生用方程解决问题的能力，感受方程是刻画客观世界量与量之间关系的重要工具，激发学生的学习热情；同时也从简单到复杂，巩固所学的解方程的知识，为去分母做铺垫．
教师出示一组解方程的练习题：解方程：①7x＝6x－4；②8＝7－2y；③5x＋2＝7x－8；④8－2(x－7)＝x－(x－4)．
鼓励四名学生板演，其余学生在练习本上自主完成解题，看哪组同学全对的人数最多．
教师巡视，学生完成后点评，并让学生回忆解一元一次方程的基本程序(板书)：
①去括号；②移项；③合并同类项；④两边同除以未知数的系数．
二、探究新知
设计意图：任何未知的探求都希望通过已知来解决，这是数学中“化归”思想的核心问题，必须寻找以往的经验进行解决，通过学生的观察与比较，尝试与探索，可知如何去分母成为主题．
师：根据以上解方程的基本程序，你能解下面的方程吗？
(x＋14)＝(x＋20)．
根据“旧”知识，学生会作如下解答．
解法一：去括号，得：x＋2＝x＋5，
移项得：x－x＝5－2，
合并同类项，得：－x＝3，
两边同除以－得x＝－28.
师：该方程与前面讲过的方程有什么不同？
生：以前学过的方程的系数都为整数，而这一题目中出现了分数．
师：能否把分数系数化为整数？
生：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数28即可．
师：这样使解方程避免“计算”分数的复杂性，使解方程过程简单．
解法二：方程两边同乘以28得：
4(x＋14)＝7(x＋20)，
去括号得：4x＋56＝7x＋140，
移项得：4x－7x＝140－56，
合并同类项得：－3x＝84.
两边同除以－3得：x＝－28.
师：去分母，方程两边同乘以一个什么数合适呢？
生：分组讨论后得出：方程两边都乘以所有分母的最小公倍数，从而去掉分母．于是解方程的基本程序中又多了一步“去分母”，教师添上“去分母”这一步骤，完整得出解一元一次方程的基本程序．
三、体验成功
设计意图：通过及时巩固，反馈学习的效果，使学生进一步熟练掌握解一元一次方程的步骤，进一步体验化归思想，也同时通过解方程中组内的交流、合作，达到团结协作的目的，体验成功的快乐．
解方程：－＝x.
让学生自主完成解题，然后组内互相交流自己的结论，并自觉检验方程的解是否正确，若发现错误，让同伴帮助出错的同学找原因，及时纠正．
教师强调：①不能漏乘不含分母的项；②注意给分子添括号．
练习：教材第10页练习第1题，学生口答．
四、小结
设计意图：用表格的形式，比较系统地总结本节所学内容，让学生更容易掌握；也同时在让学生完成填表的过程中，培养他们的语言表达能力．
师：今天我们学习了哪些新知识？你有什么收获？你能填写下列表格吗？
步骤 根据 注意事项
去分母
去括号
移项
合并同类项
未知数的系数化为1
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节课讲述如解带有分母的一元一次方程．在上一节课的基础上进一步完整了解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数转化为1.重点让学生掌握了在去分母时应该注意利用等式的基本性质②在方程两边都乘以某个数，不能漏掉每一项，否则题目将发生的变化得到就是一个错误的结论．
第3课时 一元一次方程的应用
教学目标
?知识与技能
体会用方程来解决问题的便捷与直观，培养运用数学建模思想解决问题的能力．
?过程与方法
经历探究用一元一次方程解决简单实际问题的一般方法与基本过程，会列出一元一次方程解简单的应用题．
?情感、态度与价值观
培养学生乐于思考，不怕困难的精神．
重点难点
?重点
探究用方程来解决实际问题的一般步骤与方法．
?难点
找出并根据题目中的等量关系列出方程．
教学过程
一、创设情境，导入新课
设计意图：通过练习，使学生熟悉巩固解一元一次方程的过程中合并同类项和移项的方法，为进一步学习方程的应用作准备．
师：练习解方程：(1)－4x＋0.5x＝6；
(2)7x＋5＝4.5x＋7.5；
(3)4x－7＝6x－5；
(4)x－3＝x.
学生独立完成，然后互相交流．
二、探究新知
设计意图：通过观察、讨论、比较，让学生体验列方程解应用题的过程，培养学生分析解决问题的能力，激发学生不怕困难，勇于探索的精神．
1．教师出示教材第11页例6.
引导学生根据教材中出示的表格进行分析．
学生分组进行讨论交流，教师巡视，也可以参与到讨论中去，和大家交流看法．从而归纳出怎样设未知数，如何找等量关系，最终列出方程51－x＝45＋x.达到求解的目的．
2．教师出示教材第12页例7.
师：此题中应设什么为未知数？(新团员为x名)
可以用x表示的有哪些量？其中所涉及的等量关系是什么？
怎样列方程？
学生讨论交流后，由组内派代表回答问题，通过师生互动最终列出方程：
32x＋24(65－x)＝1800.
解方程让学生自主完成，集中反馈．
三、尝试运用
设计意图：通过对问题的解决，培养学生分析解决问题的能力，从而让学生学会用一元一次方程去分析和解决生活中的问题，增强数学的应用意识．
师出示问题：
1．甲队原有a人，乙队原有b人，现从甲队抽调x人去乙队，则现在甲队有________人，乙队有________人．
2．买4本练习本与3支铅笔一共用了1.24元，已知铅笔每支0.12元，则练习本每本多少元？
3．小红今年6岁，她的祖父72岁，几年后，小红的年龄是她祖父年龄的？
学生先独立完成，然后组内讨论交流，最后教师引导集中反馈．
四、小结
设计意图：通过小结，让学生进一步了解列方程解应用题的步骤，便于他们形成一个完整的知识体系，更利于他们对列方程解决实际问题的全面认识．
列方程解决实际问题的步骤：(1)弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数；(2)找出问题所给出的有关数量的相等关系，它反映了未知量和已知量之间的关系；(3)对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系得到方程．
在设未知数和作出解答时，应注意量的单位．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节学习了用方程解决简单实际问题，让学生认识并掌握了用一元一次方程解决实际问题的一般方法与基本过程，会通过审题列出一元一次方程解简单的应用问题，重点烛要弄清未知条件和已知条件之间的数量关系，培养学生乐于思考，不怕困难的精神．
6．3 实践与探索
第1课时 实践与探索(一)
教学目标
?知识与技能
1．通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题．
2．进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用．
?过程与方法
1．经历实践活动，感受具体问题中数量之间的关系和变化规律．
2．在动手探索活动中，初步体会数形结合思想在实践应用中的作用．
?情感、态度与价值观
培养学生敢于面对和克服数学活动中困难的能力，使他们拥有运用知识解决问题的成功体验，建立学好数学的自信心．
重点难点
?重点
应用方程解决具体的实际问题．
?难点
在实践活动中借助直观的图形来列方程．
教学过程
一、创设情境，引入新课
设计意图：通过学生小时候玩过的“捏橡皮泥”的游戏引入课题，让学生看到自己所学知识与现实世界息息相关，学习会更主动，由此激发学生的学习兴趣与学习热情．
师：小时候，大家玩过橡皮泥吗？(展示准备好的模型)这是用橡皮泥捏成的高为10厘米的圆柱，现在要将它改成高为3厘米的圆柱，但不能剩余橡皮泥，哪位同学愿意试试？你能描述一下它的外形变化吗？在这个过程中，圆柱的体积是否发生变化？学生积极思考，踊跃参与问题的回答．
二、探究新知
设计意图：在引例的基础上，将具体问题呈现给学生，然后师生共同讨论解决问题的方法，使学生感受数学在实际生活中的应用，培养学生解决问题的能力．
1．(师出示投影)将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的圆柱体改造为底面直径为20厘米的圆柱，高变成了多少？
(1)你能分析题目中的已知条件和未知量吗？
(2)改造前后圆柱的什么量是相等的？
(板书)相等关系：改造前的体积＝改造后的体积．
(3)要求的未知数是什么？如何设？你能用所设的“x”表示改造后的体积吗？
学生在充分思考后，可适当交流，在教师的引导下设出未知数，从而列出方程．
设高变成x厘米，则π·36＝π··x.
然后学生完成求解过程．
2．(出示铁丝)问：这根铁丝围成长方形，能围出多少个不同的长方形？这些长方形的周长有什么关系？
学生思考后回答．
[问题1](出示投影)用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形，(1)使得长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽？
(2)使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积；
(3)当长方形的长与宽相等时，即围成一个正方形，它的边长是多少？面积呢？
问：此问题中的相等关系是什么？(1)中有几个未知数？如何设？
(避免出现多个未知数同时设为x)
三个同学上黑板解答，教师巡视下面学生的解答情况，个别指导．
(讲评后可让不同解法的学生发言，百花齐放)
问：观察这三个同学的解答结果，你有什么发现？
三、解决问题
设计意图：通过探究可使学生明白在解决问题的过程中体会到解决问题是可以有不同策略的，每个人都应有自己对问题的理解，并在此基础上形成自己解决问题的基本策略．
师提出问题：如果将以上问题中的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘米、0厘米，长方形的面积有什么变化？
学生动手计算、讨论、归纳．教师最后点评总结．
四、反思与提高
设计意图：在反思中梳理知识脉络，从而让学生对列方程解决实际问题有一个全面认识．
(议一议)你认为利用方程解决问题的关键是什么？在寻找图表问题中的等量关系时，你有什么秘决？
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节课为实践操作课，更进一步让学生了解用一元一次方程来解决有关图形的问题，既让学生动手进行实践操作，又把数的知识运用在实践中初步体会了数形结合思想在实践应用中的作用．
第2课时 实践与探索(二)
教学目标
?知识与技能
通过学生调查现行的利率问题，经历运用方程解决实际问题的过程，感受到方程是刻画现实问题的有效数学模型．
?过程与方法
在经历用方程解决利率等实际问题的过程中，培养学生学习的兴趣和主动探索的习惯．
?情感、态度与价值观
培养学生对数学的热情，实事求是的态度以及与他人合作、交流的能力．
重点难点
?重点
培养学生通过实践去探索数学问题的意识．
?难点
有关利率、利润率等相关问题的理解．
教学过程
一、创设问题情境
设计意图：从生活中引入问题，激发学生的学习兴趣，自发地启动思维机制，快速地进入问题情境．
1．提出问题
师：(出示一张取款单)这是老师昨天在银行取款时得到的，谁能给同学们讲一讲每一项的含义？(给学生一定的思考、交流时间)
生：本金就是开始老师存入银行的钱，利息是银行给的，本息和是本金和利息的总和，利率就是利息与本金的比，利息税不知道．
师：我国从1999年11月1日起开始对储蓄存款利息征收个人所得税，期间利息税由20%调到5%，现在由于金融危机，暂停征收利息税，教育储蓄和购买国库券一直不收利息税；每个期数内的利息与本金比叫利率．(根据学生情况讲解有关储蓄的知识)
2．点题
师：根据存款的方式、时间不同，银行所给的利率也不同，今天我们来研究储蓄的问题．
二、自主探究
设计意图：通过实际生活中的实例，用问题的形式来探究新课内容，使学生感受数学来源于生活，生活中需要数学．
师：我们大家都是七年级同学，六年后将走进大学校门，假设上大学需要5000元学费，你的爸爸妈妈现在就参加教育储蓄，下面有两种储蓄方式：(1)先存一个3年期的，年利率为2.7%；(2)直接存一个6年期的年利率为2.88%.你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？
教师指导学生自主学习．
1．独立思考阶段：给学生充分的独立思考、探究时间，使学生对新问题．能结合自己已有的知识，寻求新的问题解决方法．教师巡视，了解学生的探究情况，随时调节教学环节．
2．小组讨论交流阶段：学生有了自己的想法后，可与小组内的同学展开交流，从而体现数学教学是数学思维过程的教学，学数学的过程是学生头脑中构建数学认知结构的过程，是学生的一种自主性行为，用自身的创造活动去感受数学是做出来的，不是教出来的．
3．成果展示阶段：[生1]设开始存入x元，若按第一种方式，则1.081x(1＋2.7%×3)＝5000，1.168561x＝5000，x≈4279(元)．
[师]谈谈你的想法．
[生1]我是这样想的，第一个3年期，本金为x元，利息为x×2.7%×3，本息和为x(1＋2.7%×3)＝1.081x；第二个三年期，本金为1.081x，利息为1.081x×2.7%×3，本息和要达到5000元．就是说，开始大约存入4280元，3年期满后将本息和再存入一个3年期，6年后能达到5000元．
[生1]若按第二种储蓄，则x(1＋2.88%×6)＝5000，x＝4263(元)，如果直接存一个6年期的，开始只需存入4263元．
[师]通过学习，你们选择哪一种储蓄方式呢？学生齐声说第二种．
三、试一试
设计意图：通过练习，使学生感受数学与生活的联系，激发学生热情，巩固本节所学的知识．
师：出示教材第17页中的问题2.
学生讨论解决，然后师生共同写出解答．
四、小结
设计意图：通过小结，回顾和梳理本节所学知识，便于让学生识记，更好地掌握和理解本节所学的内容．
师：通过探究学习，你有什么收获？
生：这节课我们了解了有关储蓄的一些知识，理解了利息、利息税、利率等知识；还体会到在生活中要有一定的经济计划，要学会理财．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节课学习了用一元一次方程来解决利率和利润的实际问题．通过学习上学生亲身体会到在实践生活中的利润，利率是如何利用一元一次方程解决问题的，体会到了用建立数字模型解决实际问题的乐趣，增强他们对学习数学的兴趣.
第7章 一次方程组
7．1 二元一次方程组和它的解
教学目标
?知识与技能
弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会体验一对数是不是某个二元一次方程组的解．
?过程与方法
学会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性．
?情感、态度与价值观
经历对二元一次方程(组)的概念的学习，感受数学与生活的联系，感受数学的乐趣．
重点难点
?重点
二元一次方程及二元一次方程组概念的理解．
?难点
用二元一次方程或二元一次方程组来刻画实际问题．
教学过程
一、情境导入
1．什么叫一元一次方程？什么是一元一次方程的解？
2．(投影)教材第24页问题1.
(1)请用算术方法解答．
平均场数：[(9－2)×3－17]÷(3－1)．
(2)请用一元一次方程解答：若设这个队胜x场，则有：3x＋(9－2－x)×1＝17.
(3)试比较以上两种解法，判断用算术方法与方程方法来刻画实际问题中的数量关系，哪一种较简便？
(4)此题中有两个问题，如果分别设为x、y，怎样列式呢？是不是更容易表示题目中的数量关系呢？
二、探究交流
1．(投影)教材第25页的表格
教师巡回指导．
2．对于方程：x＋y＝7①，3x＋y＝17②，思考问题：
①它们是一元一次方程吗？
②这两个方程有无共同特点？
③类比一元一次方程的概念，能否确定这两个方程的概念？
教师巡回指导．
教师引导学生得出概念．
含有两个未知数，并且未知数的次数为1的整式方程叫二元一次方程，两个二元一次方程合在一起就组成了二元一次方程组．
教师板书课题：二元一次方程组和它的解．
3．巩固
下面是二元一次方程的有________．
a．4x－2y＝13；b.3x－5＝2；c.－＝；d.x2－x＋y2＋y＝5；e.x2－5x－6＝0；f.3x－4y.
教师巡回指导．
4．观察用算术法或一元一次方程求出的答案，然后确定x、y的值．
[思考]：(1)x＝5与y＝2是否满足方程①？
(2)x＝5与y＝2是否满足方程②？
(3)类比一元一次方程解的概念，能否确定二元一次方程组的解的概念？
5．二元一次方程组解的检验练习：
已知下面三对数值：(1)
(2) (3)
哪一对数是方程组的解？
教师指导学生进行探索．
三、应用迁移
(1)根据下列语句，分别设出适当未知数，列出二元一次方程或二元一次方程组．
①甲数的比乙数的4倍多8；
②某种时装的价格是某种皮装价格的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元．
(2)(投影)教材第26页问题2
[问题]①计算校园总面积有几种表示方法？
②题目中能找出哪两种等量关系？
③能否只用一个未知数，列出一元一次方程？
④列出方程．
教师点评学生的回答状况．
四、小结
1．二元一次方程的概念．
2．二元一次方程组的概念．
3．二元一次方程组解的概念及注意事项．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
板书设计
一、情境导入
二、探究交流
三、应用迁移
四、小结
五、布置作业
教学反思
本节课最大的特点是：概念多，在处理上渗透类比的思想，让学生通过探索、交流，类比一元一次方程的有关概念，自行归纳出相关概念，着眼于学生的归纳能力，对类比思想的感悟．通过类比，体会到从算术方法到一元一次方程到二元一次方程组的演化过程，感受到数学建模思想在实际问题应用中所带来的便捷，同时，通过例题、习题对概念进行巩固，建立起完整的概念体系．
7．2 二元一次方程组的解法
第1课时 用代入法解二元一次方程组
教学目标
?知识与技能
通过探索二元一次方程组的解法，通过化二元一次方程组为一元一次方程的过程，体会消元的思想，掌握直接代入法解二元一次方程组．
?过程与方法
理解代入消元法的基本思想体现的化未知数为已知的化归思想方法．
?情感、态度与价值观
在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心．
重点难点
?重点
用代入法解二元一次方程组．
?难点
体会用一个未知数表示另一个未知数进行代入消元．
教学过程
一、回顾
1．什么叫二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解？
2．把3x＋y＝7改写成用x的代数式表示y的形式．
二、导入
1．再次回顾教材第26页问题2.
设应拆除旧校舍xm2，建造新校舍ym2，依题意可列方程组：
思考：怎样解这个方程组？
2．问题导引：
(1)我们解一元一次方程的步骤是什么？
(2)回顾上节课，解决此题所列的一元一次方程，二者有什么关系？
(3)能否把二元一次方程变为一元一次方程？其关键是什么？把“二元”变为“一元”．
(4)怎样做才能比较容易让某个未知数消去呢？
三、探索
1．教师小结，选二元一次方程组中一个方程，用一个未知数去表示另一个未知数，然后代入一个方程中消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，从而求出二元一次方程组解的方法称为代入消元法．
2．例题探究
解方程组：
问题：此方程组与上一个方程组有何区别，不能直接将一个方程代入另一个方程，怎么办？
解：由①得：y＝7－x③
将③代入②得：3x＋7－x＝17，即x＝5，
将x＝5代入③，得y＝2，所以
想一想，除了以上几种办法外，还有没有其他办法？
(1)方法①中能否改为用y表示x?
(2)方程②能否用x表示y?
(3)方程②能否用y表示x?
探究：将几种表示方法都解答出来，相互比较．
教师点评．
归纳：在代入消元时，可选取二元一次方程组中有未知数系数为1的二元一次方程，将其变形为用一个未知数去表示另一个未知数的形式，再代入另一个二元一次方程求解．
四、巩固
解方程组
教师巡回指导，对学习有困难的学生加以引导．
1．选取一个方程(观察有无系数为1的未知数)，将其改写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③.
2．把方程③代入另一个方程，得到一个一元一次方程．
3．解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．
4．把这个未知数的值代入③，求出另一个未知数的值从而得到方程组的解．
解：由②得：x＝－15－4y③，把③代入①得，3(－15－4y)－5y＝6，解得：y＝－3，把y＝－3代入③得：x＝－3，所以
教师引导学生检验．
五、小结
1．解二元一次方程组的思路：将二元一次方程组通过代入消元的方法达到消元的目的，转化为一元一次方程求解．
2．代入消元法解二元一次方程的一般步骤．
六、布置作业
见学生用书课后作业部分．
板书设计
一、回顾
二、导入
三、探索
四、巩固
五、小结
六、布置作业
教学反思
本教案在设计上做到了如下两点：1.在知识的前后衔接上，做到过渡自然．在前一节的学习中，问题2的处理上，不仅列二元一次方程组来表示，还列出一元一次方程来表示．因此，在本课引导学生探索二元一次方程组的解答上，易于联想转化为一元一次方程来解答，对消元的思想接受上比较容易.2.注意对学生思维的发散训练及归纳能力的培养，在处理例题时，不仅仅以顺利解答为目标，继续探索了多种代入方式，并且着重引导学生归纳代入的简洁方式．
第2课时 用加减法解二元一次方程组
教学目标
?知识与技能
掌握用加减法解二元一次方程组．
?过程与方法
使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法．
?情感、态度与价值观
体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心．
重点难点
?重点
用加减法解二元一次方程组．
?难点
两个方程组相加减消元时符号的问题．
教学过程
一、情境导入
王阿姨昨天在水果批发市场买了4千克苹果和4千克梨共花了14元，陈老师也以同样的价格买了4千克苹果和3千克梨，共花了12元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快．
教师让解答最快的学生起来说出解答思路，抵消掉相同部分，王阿姨比陈老师多了1千克梨，多花了2元，所以每千克梨的售价为2元．
二、探究新知
1．解方程组
教师在学生解答中巡回指导，总结归纳两种不同的解法．
解法1：由①得：x＝，代入方程②消去x.
解法2：把3x看作一个整体，由①得：3x＝5－5y代入②，消去x.
2．问题导引：
[问题1]观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？
[问题2]联系前面求梨的单价问题，思考除了代入消元法，你还有别的办法消去x吗？
两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，得到一个一元一次方程．
[问题3]这样做的理论依据是什么？
解答①－②得：(3x＋5y)－(3x－4y)＝－18.
解得：y＝－2，把y＝－2代入①得x＝5，所以原方程组的解为
师述：在熟练以后，可以省掉两式相减的部分．
3．同类变式一：
解方程组：
二、探究新知
(互为相反数)
[问题2]除了代入消元法，你还有别的办法消去x吗？
教师活动：启发、小结．
4．教师概括：
对某些二元一次方程组可以通过两个方程的两边分别相加或相减，以达到消去一个未知数的目的，得到一元一次方程，从而求出它的解，这种解法叫加减消元法．
思考：能用加减消元法直接求解二元一次方程组的前提是什么？
(两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等)
三、巩固练习
解方程组：(1) (2)
四、小结
1．用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？
2．这种方法的适用条件是什么？
3．这种方法的步骤是什么？
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
解题方法以及消元思想的领悟只有自己经历探索、思考，才是真正属于自己的，印象也是最深刻．本教案没有直接给出加减消元法的概念以及解题的过程，而是通过导入的铺垫，探索的引导，习题的归纳等多方面自我探索，在观察方程组的结构特点的基础上，比较不同解法的优劣后，自己探索发现解题的技巧，这样使学生在积极参与的学习中感受学习的乐趣，品尝到成功的喜悦，提高自己的解题能力．
第3课时 一元一次方程的应用
教学目标
1．会解决有关配套问题．
2．会解决与工作效率有关的工程问题．
3．会从实际问题中抽象出数学模型，并体会其中蕴藏的等量关系．
教学重点
从题中找“配套问题”和“工程问题”的等量关系．
教学难点
在与工作效率有关的工程问题中建立等量关系，并根据题意列出方程．
一、创设情境 明确目标
解下列方程：
(1)＝；
(2)－1＝；
(3)＝2－.
二、自主学习 指向目标
自学教材100至101页，完成下列问题：
1．某车间生产螺钉和螺母，若1个螺钉需要配2个螺母，则m个螺钉与n个螺母之间的等量关系为__2m＝n__．
2．工作总量，工作效率，工作时间三者之间的关系为__工作总量＝工作效率×工作时间__．
3．一件工作，甲单独完成需要m天，则一天完成总量的____；乙单独完成需要y天，则乙一天完成总量的____；甲、乙合做，一天完成总量的__＋__，需要____天完成．
三、合作探究 达成目标
配套问题
活动一：阅读教材第100页，例1
分析：本题属于哪一类型的应用题？相等关系是什么？应怎样设未知数？
解答过程见教材第100页例1的解答过程．
【展示点评】如果设x名工人生产螺母，可以列方程：2000x＝2×1200(22－x)．
【小组讨论】列方程解配套类问题时，常用的相等关系是什么？
【反思小结】解决配套问题时，一般用“配套的物品之间具有一定的数量关系”作为列方程的依据．
【针对训练】见“学生用书”．
工程问题
活动二：阅读教材第100页例2，思考：
这里可以把总工作量看作单位1，人均效率(一个人做1 h完成的工作量)为________，由x人先做4 h，完成的工作量为________，再增加2人和前一部分人一起做8 h，完成任务的工作量为________________，这项工作分两段完成任务，两段完成任务的工作量之和为______________________．
【展示点评】这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量＝人均效率×人数×时间”的关系考虑问题．
【小组讨论】解决工程类问题常用的公式及相等关系是什么？
【反思小结】本题中计算工作量的基本公式：工作量＝人均效率×人数×时间，解决工程问题一般用“各部分工作量的和＝工作总量”这一等量关系．
【针对训练】见“学生用书”．
四、总结梳理 内化目标
1．在解决配套问题时的相等关系．
2．在解决工程问题时的相等关系．
3．用一元一次方程解决实际问题的基本过程．
五、达标检测 反思目标
1．一项工作，甲单独完成要12 h，乙单独完成要24 h，则甲工作1 h可完成这项工作的，乙工作1 h可完成这项工作的，甲乙合作__8__ h可完成这项工作．
2．理整一批图书，由一个人做要60 h完成．现在计划由一部分人先做3 h，再增加两人和他们一起做6 h，完成这项工作的一半．假设这些人的工作效率相同，具体应安排多少人工作？
解：设安排x个人先工作，列方程得：
＋＝ 解得：x＝2
答：应先安排2人工作3 h，再增加2人工作6 h.
3．要用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身两个，或者做盒底盖3个．如果一个盒身和两个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请设计一种分法．
解：设用x张白卡纸做盒身，列方程得：
3(20－x)＝4x 解得：x＝8
答：可用8张做盒身，11张做盒盖底，还有一张裁出一个盒身和一个盒底．
六、布置作业 巩固目标
课后作业 见“学生用书”．
教学反思
本节课以生活中常见的一个问题展开，提高学生的兴趣，让学生们认识到数学知识与我们的实际生活息息相关．然后通过例题教学，为学生提供了探索空间，通过猜测、验证、质疑、讨论、解疑等一系列活动， 充分调动学生学习的积极性．让学生在实践中获得解决问题的方法，得到学习的乐趣．
*7.3 三元一次方程组及其解法
教学目标
?知识与技能
1．知道什么是三元一次方程．
2．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二或一元的思路．
?过程与方法
1．培养学生分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法、消元对象．
2．培养学生的计算能力、训练解题技巧．
?情感、过程与价值观
1．渗透“消元”的思想，设法把未知数转化为已知．
2．通过本节课的学习，渗透方程恒等变形的数学美，以及方程组解的奇异美．
重点难点
?重点
使学生会解简单的三元一次方程组，经过本课教学进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法．
?难点
针对方程组的特点，选择最好的解法．
教学过程
一、创设情景
1．解二元一次方程组的基本方法有哪几种？
2．解二元一次方程组的基本思想是什么？
二、合作互动
教材37页问题
题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程？
学生活动：回答问题、设未知数、列方程．
这个问题必须三个条件都满足，因此，我们把三个方程合在一起，写成下面的形式：
这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学的三元一次方程组．
怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？
学生活动：思考、讨论后说出消元方案．
学生活动：在练习本上用代入消元法解方程组．
2．学生尝试解决例题
例1 解方程组
学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加减法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单．
概括：有了前例的基础，让学生独立尝试解题，可以培养他们分析问题、解决问题的能力；在解题后归纳题目的特点为点明消元方法和消元对象，更有助于学生探索方法、掌握技巧．
例2 解方程组(见课本39页例2)
将全班分成两个小组，一组用代入法，另一组用加减法，看谁做得快，最后教师归纳：本题方程中未知数的系数都不是1或－1，用加减法较好．
三、反馈训练
《名师学案》“合作互学”部分．
四、导学归纳
1．解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？
2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．
3．注意检验．
使学生在以后解题时有很强的针对性．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分
教学反思
本节学习了三元一次方程组的概念及其三元一次方程组的解法，让学生掌握解三元一次方程组的方法是化三元为二元或一元；认真体会到解方程组的灵魂是“消元”．培养了学习分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法，消元对象．通过本节课的学习，渗透方程恒等变形的数学差以及方程组垢解美妙之处．
7．4 实践与探索
教学目标
?知识与技能
1．通过思考、讨论、探索事物之间的数量关系，形成方程模型．
2．通过自主探究，相互交流，尝试用二元一次方程组解决与生活密切相关的问题．
?过程与方法
1．经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养分析、抽象、求解的能力．
2．进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．
?情感、态度与价值观
1．学会开放性地寻求设计方案，培养分析解决问题的能力，体会到用数学知识解决实际问题的应用性．
2．培养学生勤于思考，勇于探索的精神，感受到学习数学的目的是用数学知识解决实际问题．
重点难点
?重点
1．探索用二元一次方程组解决有关应用题．
2．探索用方程或方程组解决几何图形中的数量关系．
?难点
1．分析题目中所蕴含的数量关系．
2．分析图中的等量关系．
教学过程
一、创设情境
设计意图：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实世界的联系，培养学生用数学的意识．
师：前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决．
教师利用投影出示问题：据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5，现要在一块长200m，宽100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4(结果取整数)?
设计意图：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系，激发学生的学习兴趣．
师出示教材42页问题2：小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，如图(1)那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图(2)那样的正方形，怎么中间还留了一个洞，这个洞恰好是边长为2cm的小正方形．
你能帮他们解开其中的奥秘吗？ 二、探索分析，研究策略
设计意图：多角度分析问题，多策略解决问题，提高思维的发散性．
师：以上问题有哪些解法？
学生自主探索、合作交流，整理思路．
(1)先确定有两种方法分割长方形，再分别求出两个小长方形的面积，最后计算分割线的位置；
(2)先求两个小长方形的面积比，再计算分割线的位置；
(3)设未知数，列方程组求解……
学生经讨论后发现列方程组求解较为方便．
设计意图：引导学生探寻解题思路，培养学生有条理地思考、表达的习惯，从而学会从多角度考虑问题．
教师引导学生进行探究，可沿以下思路进行：①从图(1)中可以观察得出小长方形的长xcm与宽ycm之间的一种等量关系是什么？⑦从图(2)中能否得出x与y之间的另一种等量关系是什么？
学生可以思考，交流、讨论，从而得出①3x＝5y，②x＋2y＝2x＋2.
构成方程组解之得：
师问：请用以上的计算结果解释其中的奥秘．
学生交流讨论出问题的结论：8个小长方形的面积之和为：8×10×6＝480(cm2)．
大正方形的面积为(x＋2y)2＝484cm2，所以小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为2cm的小正方形．
三、合作交流，解决问题，巩固应用
设计意图：比较分析，加深对方程组的认识．画图、数形结合，辅助学生分析，进一步渗透模型化的思想．引发学生思考，寻求解决途径．
师：引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路：(1)设未知数；(2)找相等关系；(3)列方程组；(4)检验作答．
如图，一种方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE＝xm，BE＝ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组：
解这个方程组得
即
过长方形土地的长边上离一端约106m处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．
你还能设计别的种植方案吗？用类似的方法，可沿平行于线段AB的方向分割长方形．
教师巡视、指导，师生共同讲评．
设计意图：对应练习是对学生学习效果的检验，也进一步培养学生分析解决问题的能力．
师用投影出示问题：如图，某单位为美化环境，准备将一块周长为76m的长方形草地，设计分成长和宽分别相等的9块小长方形，种上各色花卉，经市场预测，绿化每平方米造价为108元．
①求出每个小长方形的长和宽；
②计算完成每次绿化工程预计投入多少资金？
四、拓展探究，综合应用
设计意图：以学生学习生活中遇到的问题展开讨论，巩固用二元一次方程组解决实际问题的一般过程，并不断提高分析问题的能力．安排开放题，以利于培养学生探索精神和创新意识．
学生在手工实践课中，遇到这样一个问题：要用20张白卡纸制作包装纸盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个，如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装盒，那么能否将这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请你设计一种分法．
按以下步骤展开问题的讨论：(1)学生独立思考，构建数学模型；(2)小组讨论达成共识；(3)学生板书讲解；(4)对方程组的解进行探究和讨论，从而得到实际问题的结果；(5)针对以上结论，你能再提出几个探索性问题吗？
五、小结提高，布置作业
设计意图：分层次布置作业，其中“必做题”面向全体学生，巩固知识，方法，加深理解，而“选做题”面向部分学有余力的学生，给他们一定的时间和空间，相互合作，自主探究，增强实践能力．
师提问：通过本节课的讨论，你对用方程解决实际问题的方法又有何新的认识？
学生思考后回答，整理．
必做题：教材第41页习题7.3第1题．
选做题：教材第41页习题7.3第2题．
设计意图：让学生结合自己的学习情况进行概括整理，帮助理解，培养模型化的思想和应用数学于现实生活的意识．
在用二元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数，可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节学习了二元一次方程来解决实际问题，是一节实践探索课，学生们学会夺取在实际应用中认真审题，探索未知量与已知量之间的数量关系，列出方程，形成二元一次方程组，经历了用方程组解决实际问题过程．体会方程组是刻画世界有效数字模型，培养分析抽象的求解能力．
第8章 一元一次不等式
8．1 认识不等式教学目标
?知识与技能
让学生充分感受生活中存在着大量不等关系，了解不等式的意义，初步体会不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系，都是研究量与量之间关系的重要模型，进一步培养符号感．
?过程与方法
经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想．
?情感、态度与价值观
通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识，让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域．
重点难点
?重点
理解并会用不等式表达数学量之间的关系，不等式解的意义．
?难点
不等号的准确应用；不等式的解．
教学过程
一、提出问题
设计意图：通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，培养学生的观察能力，激发他们的学习兴趣．
多媒体演示：1.两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏，现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法进行下去了，这是什么原因呢？
2．一辆匀速行驶的汽车在11∶20时距离A地50千米，要在12∶00以前驶过A地，车速应该具备什么条件？若设车速为每小时x千米，能用一个式子表示吗？
二、探究新知
设计意图：在鉴别不等式的过程中，加深对不等式意义的理解，引出不等式解的意义以及不等式的解与方程解的不同之处；遵循学生的认知规律，有意识、有计划、有条理地设计一些引人人胜的问题，可让学生始终处在积极的思维状态．
(一)不等式的概念
1．在学生充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳得出：用“>”“<”号表示大小关系的式子叫做不等式；用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
2．下列式子中哪些是不等式？
(1)a＋b＝b＋a；(2)－3>－5；(3)x≠1；
(4)x＋3>6；(5)2m3．小组交流：说说生活中的不等关系
分组活动：先独立思考，然后小组内互相交流并做记录，最后各组选派代表发言．在此基础上引出不等号“≥”和“≤”．补充说明：用“≥”和“≤”表示不等式关系的式子也是不等式．
(二)不等式的解
[问题1]要使汽车在12：00以前驶过A地，你认为车速应该为多少呢？
[问题2]车速可以是每小时85千米吗？每小时82千米呢？每小时75.1千米呢？每小时74千米呢？
[问题3]我们曾经学过“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解”．我们也可以把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．刚才同学们所说的这些数，哪些是不等式x>50的解？
[问题4]以下各数中哪些是不等式x>50的解？
76，73，79，80，74.9，75.1，90，60.
你能找出这个不等式其他的解吗？它到底有多少个解？你从中发现了什么规律？
讨论后得出：当x>75时，不等式x>50成立；当x<75或x＝75时，不等式x>50不成立，这就是说，任何一个大于75的数都是不等式x>50的解，这样的解有无数个．因此，x>75表示了能使不等式x>50成立的“x”的取值范围．
回到前面的问题，要使汽车在12∶00以前驶过A地，车速必须大于每小时75千米．
三、巩固新知，解决问题
设计意图：巩固对不等式解的概念的理解，巩固对不等式解集概念的理解，并能进一步巩固所学知识，感受新知识．
1．下列数值哪些是不等式x＋3>6的解？哪些不是？
－4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12.
2．用不等式表示：(1)a是正数；(2)a是负数；(3)a与5的和小于7；(4)a与2的差大于－1；(5)a的4倍大于8；(6)a的一半小于3.
四、小结与作业
设计意图：通过总结归纳，完善学生已有的知识结构．
小结：不等式的概念，不等式的解．
作业：见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节课学习不等式的概念，让学生从等式概念思想转变到不等式的概念的思想，从中体会到不等式存在同样重要，重点是让学生学会并理解不等式表达数量之间的关系，了解不等式的解的意义，还掌握用不等号表达每一种不等量关系．
8．2 解一元一次不等式
8．2.1 不等式的解集
教学目标
?知识与技能
正确理解不等式的解，不等式的解集的意义．
?过程与方法
知道什么是解不等式，会将不等式的解集在数轴上直观地表示出来，体会数形结合的思想．
?情感、态度与价值观
体会无限的思想和数轴直观性的特点．
重点难点
?重点
不等式解集的意义，在数轴上表示不等式的解集．
?难点
在数轴上表示不等式的解集．
教学过程
一、出示学习目标
设计意图：有了明确的目标才能激起学生的学习热情，才能充分调动学生的学习积极性．
学习目标：1.知道不等式的解集，解不等式等相关概念．
2．初步学会在数轴上表示不等式的解集．
教师出示学习目标，学生观察学习目标．
二、自主探究
设计意图：本次任务为本节课的核心任务，其目的是通过学生的自主学习，理解概念，并通过学生的举例回答，从具体的实例中去掌握这几个概念．让学生自己来讲解，有利于提高语言表达能力，学生用语言来概括这些概念，培养学生的数学语言表达能力及抽象概括能力．
学习任务：
1．什么是不等式的解集？
2．如何在数轴上表示不等式的解集？
3．什么叫做解不等式？
教师利用投影布置教学任务，要求达到的学习效果为学生能够准确地回答出以上几个问题，并且能用具体的例子来说明这几个问题．
学生分小组进行自主探究活动，同学间进行合作交流，教师巡视指导，观察学生的探究方法，并倾听学生的讨论．
学生自主探究完成以后，教师安排学生解答几个问题，并要求学生用具体的例子来说明这几个问题，过程中要注意在数轴上表示不等式的解集这个问题的解决．最好让学生上台画一画，讲一讲，然后教师针对每一问题进行点评．
三、练习反馈
设计意图：由浅人深的练习，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间，激发学生的学习积极性，建立学好数学的信心．展示学生的成果，让学生在学习过程中感受学习的乐趣和成功的喜悦，增强学生的学习兴趣．
学习任务：练习巩固．
练习：1.把下列解集在数轴上表示出来：(1)x>－2；(2)x<5；(3)x≤4；(4)x≥5.
2．不等式的解集x<3与x≤3有什么不同？在数轴上表示它们是怎样区别的？分别在数轴上把这两个解集表示出来．
3．用不等式表示图中所示的解集：
教师布置学生独立完成练习，然后让学生口答．最后教师安排学生板演练习第1题，并请该同学给其他同学说明为什么那样表示．
第2题另安排学生板演．在这一过程中，教师要巡视下面同学的完成情况，是不是所有的同学都能准确地在数轴上表示不等式的解集．
四、课堂小结与布置作业
设计意图：归纳本节课的主要内容，交流心得，不断积累学习经验．
小结：谈谈本节课的收获．
教师引导学生从概念、解集表示方法等方面进行小结．
布置作业：见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节课学习不等式的解，不等式的解集的意义以及用数轴来表达不等式的解集，让学生学会并理解了什么叫解不等式，而且也体会到在用数轴来表达不等式的解集的直观性和准确性，更体会到了学习数字的乐趣，增加了对学习数学的信心．
8．2.2 不等式的简单变形
教学目标
?知识与技能
联系方程的基本变形，通过直观的试验与归纳，自主探索得到不等式的基本性质．
?过程与方法
在不等式的变形中探索求不等式的解集方法．
?情感、态度与价值观
体会求不等式的解与求方程的解的联系与区别，重视数学学习中类比与转化思想的运用．
重点难点
?重点
理解并掌握不等式的性质．
?难点
正确运用不等式的性质进行不等式的简单变形，特别是性质3的应用．
教学过程
一、提出问题
设计意图：通过天平演示，结合自己的观察和思考，让学生感受生活中的不等关系．教师出示天平，并请学生仔细观察老师的操作过程，回答下列问题：
1．天平被调整到什么状态？
2．给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？
3．不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？
4．如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？
二、探究新知
设计意图：通过动手、动口、动脑，引导学生运用类比、归纳的数学思想去探究问题，在品尝成功的喜悦中激发出学习数学的兴趣，渗透类比思想．
1．用“>”或“<”填空．
(1)5>3，5＋2________3＋2，5－2________3－2；
(2)－1<3，－1＋2______3＋2，－1－3______3－3；
(3)6>2，6×5____2×5，6×(－5)____2×(－5)；
(4)－2<3，(－2)×6________3×6，
(－2)×(－6)________3×(－6)；
(5)－4>－6，(－4)÷2________(－6)÷2，
(－4)＋(－2)________(－6)＋(－2)．
2．从以上练习中，你发现了什么？请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流．
3．让学生充分发表“发现”，师生共同归纳得出：
不等式性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
不等式性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
不等式性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4．你能说出不等式性质与等式性质的相同之处与不同之处吗？
三、巩固新知
设计意图：设置这几个练习，既可以培养学生独立思考的能力，又可强化对概念的理解，使学生真正认识不等式的性质．
1．判断
(1)因为a(2)因为a(3)因为a(4)因为－2a>0，所以a>0；
(5)因为－a<0，所以a<3.
2．填空
(1)因为2a>3a，所以a是________数；
(2)因为<，所以a是________数；
(3)因为ax1，所以a是________数．
3．根据下列已知条件，说出a与b的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质．
(1)a－3＞b－3；(2)<；(3)－4a＞－4b.
四、小结与作业
设计意图：学生通过总结，可以帮助自己从整体上把握本节课所学知识，培养良好的学习习惯，也为下节课学好解不等式打下基础．
在学生自己总结的基础上，教师应强调两点：
1．等式性质与不等式性质的不同之处．
2．在运用“不等式性质3”时应注意的问题．
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节课学习了不等式的性质①②③，它们是解不等式的基本思想，也是解题的灵魂，本节通过学习让学生理解并掌握不等式的变形的依据，尤其是不等式的性质③要特别注意，在 代为1时，需要同时改变不等号的方向，本节也让学生体会到不等式与方程区别之处，更进一步重视学习中类比思想．
8．2.3 解一元一次不等式
第1课时 解一元一次不等式
教学目标
?知识与技能
会根据“不等式的性质”解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集．
?过程与方法
让学生通过联系方程的基本变形，结合直观的实验与归纳，自主探索解一元一次不等式的一般步骤．体会数学学习中比较和转化的作用，加深对数形结合的思想方法的理解．
?情感、态度与价值观
在积极参与数学活动的过程中，培养学生大胆猜想，勇于发言和合作交流的意识和实事求是的态度以及独立思考的习惯．
重点难点
?重点
利用不等式的性质正确求一元一次不等式的解集．
?难点
引导学生探索一元一次不等式的一般解法，不等号方向改变问题．
教学过程
一、提出问题
设计意图：设计一个学生很熟悉的问题情境，增强亲和力，经历由具体的实例建立不等式模型的过程，既可让学生感受不等式在实际生活中的应用，又非常自然地引入新课．
小希就读的学校上午第一节课上课时间是8点开始．小希家距学校有2千米，而他的步行速度为每小时10千米．那么，小希上午几点从家里出发才能保证不迟到？
若设小希上午x点从家里出发才能不迟到，则x应满足怎样的关系式？
二、探究新知
设计意图：通过问题的引入，引出一元一次不等式的概念，同时培养学生主动参与、合作交流的意识，提高学生的观察、分析、概括和抽象能力．同时类比解方程的方法，让学生初步感觉不等式与方程的关系．
1．分组探讨：对上述问题，你是如何考虑的？先独立思考然后组内交流，作出记录，最后各组派代表发言．
2．在学生充分讨论的基础上，师生共同归纳得出：x应满足的关系是：x＋≤8.
3．观察方程的特点：含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式．
4．你能再举出其他几个一元一次不等式吗？(学生举例回答)．
5．你会解这个不等式吗？请说说解的过程．
(根据不等式性质，在不等式的两边减去，得：x＋－≤8－，即x≤7)
6．你能把这个不等式的解集在数轴上表示出来吗？
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
，我们在表示7的点上画实心圆点，意思是取值范围包括这个数．
7．例题
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)2x－1＜4x＋13；(2)2(5x＋3)≤x－3(1－2x)；
(3)当x取何值时，代数式与的值的差小于1?
师生共同探讨后得出：解一元一次不等式的步骤与一元一次方程的步骤类似：(1)有分母先去分母；(2)有括号再去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)把未知数的系数化为1.强调在去分母或未知数的系数化为1时，应用不等式的性质3时要注意变号或不变号．
最后由教师完整地板书解题过程，并在数轴上表示解集．
三、巩固新知
设计意图：进一步巩固所学知识，检验学生对解一元一次不等式的掌握情况，进一步巩固一元一次不等式的解法.
教师布置学生独立完成教材第54页练习第1题，并安排学生板演．
四、小结与作业
设计意图：帮助学生形成知识体系，进一步巩固利用不等式性质解决问题.
师生共同归纳本节课所学内容，通过学习，我们学会了简单的一元一次不等式的解法，还明白了生活中的许多实际问题都是可以用不等式的知识去解决的．
作业：见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节学习了用不长远等式的基本性质来解不等式，让学生理解并掌握解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一．重点是在去分母或未知数的系数化为1时，应用不等式性质3时要改变号的问题，培养了学生大胆猜想，积极探索的合作交流思想．
第2课时 一元一次不等式的应用
教学目标
?知识与技能
使学生熟练掌握一元一次不等式的解法，初步认识一元一次不等式的应用价值．
?过程与方法
体会应用一元一次不等式的知识解决实际问题，让学生经历从实际问题中抽象出数量关系的过程，体会建模思想；培养学生运用数学知识分析问题、解决实际问题的意识与能力．
?情感、态度与价值观
让学生在分组活动和交流的过程中，积累数学活动的经验并感受成功的喜悦，从而增强学习数学的自信心．
重点难点
?重点
求一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式在实际问题中的初步应用．
?难点
一元一次不等式的应用．
教学过程
一、情境导入
你知道吗？最小的正整数是________，最大的负整数是________，最小的非负整数是________，最小的自然数是________，绝对值最小的整数是________，小于5的非负数是________，大于－7.5的最小整数是________．
二、探究新知
你一定会解不等式≥，那么你会求此不等式的负整数解吗？
师引导思路：先求出不等式的所有的解，即不等式的解集，再从中找出符合题意的特殊解．
三、知识应用
例：一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了120m3(这个速度是否合理)？由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务，问以后6天内平均每天至少要挖土多少m3？(1)试解决这个问题(不限定方法)，你是用什么方法解决的？有没有其他方法？
(2)如果你是利用不等式的知识解决这个问题的，在得到不等式的解集以后，如何给出原问题的答案？
在解决以上问题后教师出示教材60页问题．
问题2有多种解法：
①可以设答对了x题，根据题意，可得不等式：
10x－5(20－x)≥80，解得x≥12.
②若设至多答错或不答x道题，可得：
15x≤200－80，解得x≤8.即至少答对12题．
③可以从全错得－100分考虑问题，每答对一题可加上15分，则15x≥180.
四、回顾反思
学生回顾本堂内容，是否还存在问题、疑惑？希望以后在问题解决中进一步体会不等式这一数学模型及其应用．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
在本教案的设计中，首先使学生熟练掌握一元一次不等式的解法，进而会求一些特殊解，教学中教师通过观察学生，发现典型问题，及时讨论、交流、纠正；在学习不等式的应用中，主要让学生进一步体会不等式这一数学模型，用不等式准确地表达题意，在注意基于学生现有理解的基础上，针对性地点拨、引导、补充．这样的设计，学习线索、层次、环节清晰明确，学生的学习才不会负担太重，数学学习才会变得轻松、深刻．
8．3 一元一次不等式组
教学目标
?知识与技能
了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义，掌握求一元一次不等式组的解集的常规方法，会用数轴求出不等式组的解集．
?过程与方法
经历知识的拓展过程，感受学习一元一次不等式组的必要性，逐步熟悉数形结合的思想方法，感受类比与化归的思想．
?情感、态度与价值观
通过活动，激发学生的学习热情，培养学生的学习兴趣．
重点难点
?重点
不等式组的解法与步骤．
?难点
确定两个不等式解集的公共部分．
教学过程
一、情境引入
教材第62页的问题，通过引导学生注意“在……之间”的意义，体会其中隐含着的两个约束条件，即两个不等关系．
二、探索新知
1．引导学生明白，在这个实际问题中，未知量x应同时满足两个条件，从而引入一元一次不等式组的定义．
2．让学生自己在练习本上试着解出此一元一次不等式组的解集，通过同学间相互交流初步得出解集的定义，并通过讨论加以完善．
3．引人数轴后，数与形(数轴上的点)建立了一种对应关系，引导学生重视数轴的作用．
三、知识应用
1．解不等式组
解：解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x＞4.
在数轴上表示不等式①、②的解集如图所示，可知所求不等式组的解集是x＞4.
2．解下列不等式组：
解：解不等式①得x＜1；解不等式②得x＞2.
所以不等式组无解．教师板书，规范解题步骤．
四、讨论交流
1．解不等式组：
2．若不等式组的解集为－1教师可对此题做如下分析：此题应从解集入手，解出不等式的解集后与－1五、回顾反思
如图，根据下面给出的四张图，在每张图下的横线上写出恰当的不等式，并写出这个一元一次不等式组的解集．
解集： 解集：
解集： 解集：
六、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
引人数轴后，数与形(数轴上的点)建立了一种对应关系，运用这种联系正是“数形结合”思想的出发点，正确实现“数与形”的转化是解一元一次不等式组的关键．鼓励学生通过实践讨论来解决问题，培养学生归纳总结的能力．提倡借助数轴表示，直观地理解和应用，防止死记硬背，使教与学在和谐、愉悦的氛围中进行．
第9章 多边形
9．1 三角形
9．1.1 认识三角形
教学目标
?知识与技能
1．感受三角形是最基本的几何图形，体会数学在生活中的广泛应用性．会用符号，字母表示三角形，并了解按边的相等关系对三角形进行分类．
2．掌握三角形的高、中线、角平分线的定义中体现出来的性质．
3．会画三角形的高、中线、角平分线．
?过程与方法
1．理解与三角形有关的概念，培养学生的空间观念和推理能力．
2．经历画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线．
?情感、态度与价值观
1．感悟数学分类讨论的思想，培养严谨的数学态度．
2．培养学生乐于动手，肯于实践的精神．
重点难点
?重点
1．与三角形的概念及对三角形的分类．
2．了解三角形的高、中线、角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线．
?难点
1．三角形外角的概念．
2．钝角三角形高的画法．
教学过程
一、创设情境，引入新课
设计意图：通过小学知识，引入新的知识，温故而知新，通过教具观察，引起学生的注意，引发学生的学习兴趣．
教师出示一个用硬纸板剪好的三角形，并提出问题：
小学中我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个定义？学生观察教师出示的教具，然后给出三角形的定义．
师生总结归纳：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
二、探究三角形的有关概念
设计意图：学生能自己学会的知识，教师一定不要讲，要发挥学生的主观能动性，让学生自己动起来，变要我学为我要学，通过学生的自主探究，培养学生的自主学习能力，安排问题则是为了巩固和反馈．
教师布置学生按下面的问题进行自学：(1)三角形的顶点及表示方法；(2)三角形的内角和外角；(3)三角形的边．
之后让学生完成下面的问题：如图中的三角形可表示________它的三边分别是________，顶点A的对边还可以表示为________．
教师关注学生的表示是否规范，正确；然后出示另外已剪好的三角形，各顶点字母与原来不同，通过新三角形让学生巩固刚才的有关概念．
三、探究三角形的分类
设计意图：通过学生的讨论，交流，使学生体验分类方法的原则，不重不漏，标准统一，在学习过程中进一步培养学生的独立学习能力，并培养学生的归纳概括能力．
[问题1]小学中已经学过，如何将三角形进行分类？
[问题2]如何将三角形按边分类？
教师提问题，学生举手回答．教师提示：分类的标准是什么？ 学生回答：按角分类，师生共同概括得出：三角形
教师进一步提出新的问题，让学生学习有关的概念，如：等边三角形，等腰三角形等，然后给出三角形按边分类的方法．
三角形
在这一过程中，教师要注意点拨分类的思想和原则．
四 、探究高的概念及画法
设计意图：通过三角形的面积自然引入高的概念，然后步步紧扣提出如何画高的问题，过程显得自然，紧凑．指出直角三角形的高与画钝角三角形的高是难点，通过学生的动手操作，交流探讨，使学生掌握高的画法，尤其是钝角三角形高的画法．
[问题1]如何求三角形的面积？
[问题2]什么是三角形的高，怎样画三角形的高？教师首先提出问题1，学生举手回答，然后教师进一步提出问题2，引入本节课的第一个概念．
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，如上图：AD是△ABC的BC上的高线．
想一想，一个三角形有几条高？
然后教师要求学生动手画三个不同的三角形，即锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，之后要求学生做出它们的高，然后同学间进行交流．
观察，每一个三角形的三条高有什么位置关系？(三条高交于一点)
教师提出问题：各种三角形的高都分别交于一点吗？学生讨论，交流，然后归纳结果．
二、探究三角形的中线与角平分线的概念及画法
设计意图：将三角形的中线，角平分线与高类比来学习，有助于提高学生对这三个概念的认识与掌握，便于学生理解概念，掌握性质．通过归纳总结，认识高、中线、角平分线间的相同与不同之处．
1．三角形的中线及其画法．
2．三角形的角平分线及其画法．
教师指出三角形中线的定义及角平分线的定义，然后仿照三角形的高的教学过程，安排学生画一画，并相应地提出类似的问题．
学生动手操作，然后交流探讨，师生共同归纳总结：三角形的三条中线都在三角形的内部，且它们交于一点，三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且它们交于一点，三角形的三条高线不一定在三角形的内部，它们也相交于一点．三角形的高、中线、角平分线都是线段．
五、练习巩固
设计意图：补充练习的安排是为了检测学生对本课知识的掌握情况，同时达到应用巩固知识的目的．
(1)将一个三角形纸片剪一刀分成两个三角形，能否使这两个三角形：①都是直角三角形；②都是钝角三角形；③都是锐角三角形．
(2)已知等腰三角形的周长是40cm，且一边长是腰长的倍，求这个等腰三角形的各边长．
六、小结与作业
设计意图：回顾反思，找出差距与不足，形成知识体系．
小结：谈谈你对三角形的认识，通过练习，使学生在图形中认识中线和角平分线的定义，并从中认识相关线段，角之间的关系，拓展学生对中线的认识．
教师引导学生主要从三角形的相关概念和分类方法进行小结．
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节学习了三角形的概念，以及三角形按角和边的分类，让学生学会了用字母去表示三角形，弄清了三角形的各部分名称，利用分类的思想让学生理解三角形的两种分类会举一反三，感悟数学分类讨论的思想，培养严谨的数学态度．
9．1.2 三角形的内角和与外角和
教学目标
?知识与技能
1．了解三角形的外角性质及外角和．
2．学会运用简单的说理来计算三角形相关的角．
?过程与方法
培养学生的实践能力和观察总结能力．
?情感、态度与价值观
在学习过程中，体验主动探究的成功与快乐．
重点难点
?重点
三角形外角的性质与外角和．
?难点
探究三角形的外角性质及外角和．
教学过程
一、复习引入
设计意图：为本节课进一步学习与三角形有关的角作准备，激发学生的学习热情．
什么是三角形的内角？它是由谁组成的？三角形的内角和定理的内容是什么？
教师提出问题，学生举手回答问题．
二、探究三角形外角的性质
设计意图：三角形外角的性质是在三角形内角和定理的基础上得出的，根据教材中的提示，学生能够发现它们之间的关系，学生能学会的教师可以少讲，要充分调动学生的学习主动性；进而进一步提出要求，让学生用证明的方法说明，培养学生的推理论证能力，同时要更严谨的说明三角形外角的性质．
1．教师布置学生自学教材76～78页内容，然后同学间进行交流，讨论，并归纳三角形的外角有什么性质，提出以下问题：你能否归纳一下你发现的性质？你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？
让学生自己先尝试说一说，互相讨论交流，然后安排学生当堂发言，师生共同纠正过程中的不当之处，完成后，师生共同归纳，得出结论：
(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
归纳总结的过程就是让学生说理证明的过程，教师可让学生进一步回答．
2．由以上的证明推理，得出：三角形的外角和等于360°.
三、巩固应用
设计意图：先让学生分析，培养学生的分析图形能力，然后师生共同解决，规范学生的解答过程．继续提出问题，有助于培养学生的发散思维和创新能力．
教师出示教材第78页例1，先让学生进行分析，教师可适当引导学生，应用三角形外角的性质，然后师生共同写出规范的解答过程．
思考：还有没有其他的方法可证明？
四、练习与小结
设计意图：通过练习，有助于学生形成技能，也有助于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况，也有利于培养学生独立自主的学习能力．通过小结，使学生对本节课与上节课的知识相互联系，形成知识体系．
练习：1.三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
2．如果α、β、γ分别是△ABC的∠A、∠B、∠C相邻的外角，α∶β∶γ＝4∶3∶2，则∠BAC的度数为( )
A．20° B．40° C．60° D．80°
3．在一个三角形中，有两个内角相等：①有一个外角等于50°，求这个三角形各内角的度数；②有一个外角等于100°，求这个三角形各内角度数．
教师出示练习，学生完成后举手回答反馈，教师注意对方法思路进行点拨．
小结：谈谈本节课的收获：
教师引导学生从三角形外角的性质以及解决问题的方法思路等方面进行小结．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
板书设计
一、复习引入
二、探究三角形外角的性质
三、巩固应用
四、练习与小结
五、布置作业
教学反思
本节学习了三角形的内角和与外角和定理．通过学习让学生认真探索到三角形内角和转化成了一个平角，利用平角的意义，得出三角形内角和等于180°，它在以后的几何应用中非常广泛，难点在于理解外角和定理，而且这个定理在应用中有一定的隐含性，学生熟练之后为后面做题带来极大的方便．
9．1.3 三角形的三边关系
教学目标
?知识与技能
通过实践操作，发现三角形的三边关系“三角形任何两边之和大于第三边”的性质，并会利用三角形三边关系解决有关问题，了解三角形的稳定性．
?过程与方法
在探索三角形三边关系的过程中，让学生经历观察、实验、推理、交流等活动，培养学生的推理能力．
?情感、态度与价值观
在学习过程中，培养学生的学习兴趣和良好的与他人沟通能力．
重点难点
?重点
三角形三边关系的应用．
?难点
已知三角形的两边求第三边的范围．
教学过程
一、创设情景，引入新课
设计意图：借助旧的知识，解决新的问题，从学生的探究入手，引起学生的注意，引发学生的学习兴趣．
教师出示探究：画出一个△ABC，假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C，它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？
二、探究三角形三边的关系
设计意图：通过学生的动手操作、交流、讨论，培养学生的合作意识，以及良好的沟通能力．问题的解题思路，一方面涉及方程思想的运用，另一方面涉及分类讨论的思想，教给学生解决问题的技能是教学过程中更应该关注的问题．
1．教师提出问题，学生先画图然后进行讨论，并思考问题，然后教师指定学生回答问题．
(1)小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线：a，从B→C；b，从B→A→C
(2)从B→C路线短．
然后教师进一步提出问题：这条路径为什么是短的？学生举手回答：两点之间，线段最短，然后师生共同归纳得出：AC＋BC>AB，AB＋AC>BC，AB＋BC>AC；即：三角形的两边之和大于第三边，然后教师进一步提出问题：猜一猜：三角形的两边之差与第三边之间还有什么关系？
学生讨论归纳结果：三角形的两边之差小于第三边．
2．三角形三边关系的应用
教师出例题：用一根长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边长是多少？(2)能围成有一边长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
教师利用投影出示例题，然后师生共同分析，教师应当着重从题意和方法两个角度进行分析，然后规范地写出结果，过程中教师应当向学生渗透方程思想和分类讨论的思想方法．
3．了解三角形的稳定性
教师利用折尺让学生折成三角形的样子，然后折成四边形的样子，认识三角形的稳定性．学生认识到三角形的稳定性以后，让学生找出几个生活中利用三角形稳定性的例子．
三、小结反思，巩固练习
设计意图：回顾本节课的知识，形成知识网络，便于学生整合本节课的内容．通过练习巩固本节所学知识，达到掌握知识的目的．
小结：谈谈本节课的收获是什么？
教师引导学
6．1 从实际问题到方程
教学目标
?知识与技能
使学生会列一元一次方程解决实际问题，能判断一个数是否为某个方程的解．
?过程与方法
通过对实际问题的分析，体会一元一次方程为从实际问题中建立的数学模型所带来的方便．
?情感、态度与价值观
感受数学源于生活实际，又应用于生活实际，进一步认识数学中方程与现实世界的密切联系．
重点难点
?重点
列一元一次方程解决实际问题．
?难点
审清题意，找出题目中“相等关系”．
教学过程
一、情境导入
1．教师用投影仪投影：一本笔记本1.2元，小红有6元钱，那么她最多能买到几本这样的笔记本？
问题：此题可以有几种解法？分别解答出来．
2．卡片显示，观察卡片上的式子，你能填上适当的数吗？(卡片上式子分别为：3＋□＝8，○－2＝7，5×？＝1，△÷2＝3，＝)
如果将这5张卡片中未知的数均用字母x表示，它们将如何表现呢？
3＋x＝8；x－2＝7；5x＝1；x÷2＝3；＝
3．观察问题1、2中的式子有何共同特点？
4．教师点评：通过设未知数，列方程，将实际问题转化为数学中的方程问题来解决．
板书：从实际问题到方程
二、探究交流
1．某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？
[问题1]你有几种方法解答？
列方程解：设租44座客车x辆，有44x＋64＝328.算术法解：(328－64)÷44.
[问题2]这个方程你能解吗？你是怎样解的？
依据是什么？
想一想：列方程求解具有什么样的优点？很容易将实际问题转化为一个数学中的方程问题，然后只需解方程即可．
2．教师给出方程解的定义．
3．习题巩固
检验下列各括号里的数是不是它前面方程的解：
(1)6(x＋3)＝30 (x＝5，x＝2)；
(2)3y－1＝2y＋1 (y＝4，y＝2)；
(3)(x－2)(x－3)＝0 (x＝0，x＝2，x＝3)．
4．思考：将教材中第2页问题2中的“三分之一”改为“三分之二”，试着用刚才的两种方法求解．
5．问题：教材第5页中的“思考”．
教师小结：方程能让我们很容易地将实际问题转化为方程问题，至于方程的求解我们学到后面就很容易解决了．
三、巩固练习
1．方程12(x－3)＝2x＋4的解是( )
A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝－4 D．x＝4
2．已知x＝2是方程2(x－3)＋1＝x＋m的解，则m等于( )
A．3 B．2 C．－3 D．－2
3．某长方形球场周长为310米，长和宽之差为35米，这个球场的长和宽分别是多少米？
四、课时小结
1．本节课我们主要学习了怎样用列方程来解实际问题的办法，体会到列方程的优点．
2．在列方程解决问题时，应分析题意中数量关系，找出所蕴含的等量关系，列出方程．
3．检验一个数是不是方程的解，应代入方程中，检验式子是否成立．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
板书设计
一、情境导入
二、探究交流
三、巩固练习
四、课堂小结
五、布置作业
教学反思
本节课在设计上重点体现学生的自主探究，首先在引入时，问题设计体现出教师的教学活动是建立在学生认识发展水平和已有的知识经验的基础上，承接以前的算术法为基础的方程意识，探究过程在对教材例题的处理上，让学生探究方程解法与算术解法的优劣，从而让学生在自主探索中进行比较，自己得出结论．较之传统的教学活动而言，体现了学生的主体地位，着重于学生的探索活动，强调了学生的自我发现在方程的解的概念这部分的处理上的重要性，继续强化了学生的探索活动．
6．2 解一元一次方程
6．2.1 等式的性质与方程的简单变形
第1课时 等式的基本性质教学目标
?知识与技能
1．掌握等式的基本性质．
2．会利用等式的基本性质解简单的一元一次方程．
重点难点
?重点
等式的两个基本性质．
?难点
利用等式的两个性质解一元一次方程．
教学过程
一、创设情境 明确目标
小明和王力在玩跷跷板，当他们位于跷跷板两端的时候，恰好处于平衡的位置．这时，李强和小丽也来了，如果他们二人的体重相等，他们这时也分别坐在跷跷板的两端，这时候跷跷板是否仍然平衡？
二、合作探究 达成目标
探究点一 等式的基本性质
活动一：观察下面的天平变化，你可以得出与等式有关的什么性质？
【展示点评】等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式．
【小组讨论】若ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是( )
A．a＝b
B．ma－6＝mb－6
C．－ma＝－mb
D．ma＋8＝mb＋8
(提示：要特别注意两边都除以同一个数时，除数不能为0.)
【反思小结】仔细观察分析原等式与各选项中的等式的结构、系数有何变化，从而确定是应用了等式的哪条性质．
【反思小结】见学生用书“当堂练习”相应部分．
探究点二 利用等式的基本性质解方程
活动二：阅读教材第133页例1、例2，解下列方程：
(1)x＋2＝7
解：方程两边________，得________．
(2)4＝x－5
解：方程两边________，得________．
(提示：把求出的解代入原方程，就可以知道求得的解对不对哈！)
(3)－3x＝15
解：方程两边________，得________．
【展示点评】利用等式性质解一元一次方程，就是利用等式性质把方程ax＋b＝0(a≠0)变开，最终化为x＝－的形式，x＝叫一元一次方程ax＋b＝0的解，求方程解的过程，叫做解方程．
【小组讨论】利用等式的基本性质解方程，通常有哪些步骤？需要注意哪些问题？
【反思小结】利用等式的基本性质解方程的一般步骤：(1)利用等式的基本性质1，在方程的两边都加上或减去同一个代数式，使方程左边只含有未知数，右边只含有常数；(2)利用等式的基本性质2，在方程的两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解．运用性质1时，一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个代数式，才能保证所得结果乃是等式，这里要特别注意“同时”和“同一个”．运用性质2时，除了要注意等式两边同时乘(或除以)同一个数，才能保证所得结果乃是等式以外，还必须注意等式两边不能都除以0，因为0不能做除数．
【反思小结】见学生用书“当堂练习”相应部分．
三、总结梳理 达成目标
1．本课知识点：
(1)等式的基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．可以用符号表示为：若A＝B，则A±C＝B±C.
(2)等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式．可以用符号表示为：若A＝B，且C≠0，则A×C＝B×C，＝.
2．应用性质时注意：
运用性质1时，一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，才能保证所得结果乃是等式，这里要特别注意同时和同一个．
运用性质2时，除了要注意等式两边同时乘(或除以)同一个数，才能保证所得结果乃是等式以外，还必须注意等式两边不能都除以0，因为0不能做除数．
3．我的困惑：
四、达标检测 反思目标
1．下列变形正确的是( )
A．如果2x－3＝7，那么2x＝7－3
B．如果3x－2＝x＋1，那么3x－x＝1－2
C．如果－2x＝5，那么x＝5＋2
D．如果－x＝1，那么x＝－3
2．在方程6x－1＝1，2x＝，7x－1＝x＋1，5x＝2－x中，与方程6x＝2的解相同的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，下列四个天平中，相同形状的物体的质量是相等的，其中第①个天平是平衡的，根据第①个天平，后三个天平仍然平衡的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．解方程2x－4＝1时，先在方程的两边都________，得到________，然后在方程的两边都________，得到x＝________．
5．利用等式的基本性质解方程．
(1)－x＋3＝2； (2)3x－3＝x＋1.
五、作业
课后作业见学生用书的“课后作业”部分．
教学反思
本节课采用从生活中的跷跷板引入学习，激发学生学习兴趣，采用类比等式性质创设问题情景的方法，引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想验证等研究问题的方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯．利用学生的好奇心设疑、解疑，让学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容．在整个探究学习的过程中充满师生之间、学生之间的交流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体.
第2课时 方程的简单变形
教学目标
?知识与技能
1．通过实践以及日常生活中的问题，直观感受方程的简单变形．
2．在观察思考的基础上，体会方程的两种变形及解方程的两个基本步骤．
3．进一步熟悉方程的两个变形及解方程的两个重要步骤．
?过程与方法
1．让学生经历知识的形成过程，培养学生自主探索和相互合作的能力．
2．引导学生自主探索复杂方程的解法，体会方程不同解法中所蕴含的转化思想．
?情感、态度与价值观
1．激发学生浓厚的学习兴趣，使学生有独立思考，勇于创新的精神，养成按客观规律办事的良好习惯．
2．使学生掌握解方程的基本方法，体验方法的多样性，培养学生的实践能力和创新精神，领悟数学来源于生活的宗旨，养成独立思考和合作交流的能力．
重点难点
?重点
1．移项法则及其应用．
2．让学生经历自主探索解方程的每一步变形依据，归纳解方程的一般步骤．
?难点
1．从具体实例中抽象出方程的两种变形．
2．方法的灵活应用与多样性．
教学过程
一、情境导入
设计意图：通过学生自主探究和演示实验，让学生直观感受方程的两个变形，进而激发他们的学习兴趣和探究欲望，从而更容易理解和接受这两条性质．
教师先提出实验的要求：请同学们仔细观察实验的过程，思考能否从中发现规律，再用自己的语言叙述发现的规律．
分组实验(时间约10分钟)：每小组准备天平一架、砝码和等质量小木块若干．教师引导学生进行以下操作．
操作(1)
1．先在托盘中放入一小木块，然后在另一个托盘中加入砝码，使天平平衡．
2．然后在天平中放入等质量的小木块各一块，观察此时天平是否平衡，可以重复此步．
操作(2)
1．在两个托盘中放入等质量的木块各一块，观察此时天平是否平衡．
2．在两个托盘中放入等质量的木块各相等的数量，观察此时天平是否平衡，可以重复此步．
思考，这其中包含的数学道理是什么？
学生讨论后交流，然后师生共同归纳出方程变形的两条性质：
变形1：方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变．
变形2：方程的两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变．
1．方程的两个变形是什么？
2．解方程进行移项时应注意哪些问题？
3．解方程的最后一步是什么？
4．解方程：2x＋3＝1.
教师尽量让后进生板演，并对出现的问题进行讨论、分析．
二、探究新知
设计意图：进一步渗透模型化的思想，引发学生认知上的冲突，寻求解决途径，感受解决问题的方法与思路．
1．出示教材第6页例1：解下列方程：(1)x－5＝7；(2)4x＝3x－4.
问题：怎样解这个方程？如何利用方程的两个变形使它们向x＝a的形式转化呢？
学生思考：探索：对于方程(1)，可在方程两边同加上5；对于方程(2)，可在方程两边都减去3x，从而把两个方程的解求出来．
归纳：像上面这样，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项．
通过移项，含未知数的项和常数项分别位于方程的左右两边，使方程更接近于x＝a的形式．
2．出示例题，解方程：
(1)8x＝2x－7；
(2)6＝8＋2x.
师巡回观察．然后讲评：
①每一步是怎样变形的？变形的依据是什么？
②解方程的格式，提醒与计算题格式的不同点．
③揭示变形中可能的“多余步骤”，如移项中将含未知数的项移到方程右边；系数化为1时可能出现的错误．
3．“我来当老师”
解方程：(1)x－1＝；(2)3x＋2＝4x；
(3)5－3x＝7；(4)x＋＝0.
教师引导板演的学生逐一讲述每一步怎样变形．
4．分组对抗
每个学习小组在黑板上出一道解方程题，并在相邻的小组挑一位同学解答，且要求说出每一步是怎样变形的．
5．例题讲解
解方程：2y－＝y－3.
教师请不同解法的学生演示其解答过程．
师点评，并引导归纳解方程的一般步骤．
三、尝试运用、加深巩固
设计意图：通过对移项方法的尝试运用，加深对该方法的理解与掌握，使学生能够利用该种方法去解方程．
师出示教材第6页例2：解方程：(1)－5x＝2；(2)x＝.
两组学生板演，其余学生在练习本上完成．然后针对学生的完成情况进行点评，让学生进一步体会“系数化为1”的依据．
1．解下列方程，并说出每一步是怎样变形的：
(1)5x＝2x＋3；(2)2y＋1＝3y－4.
2．列方程求下列各数：
(1)x的等于x的与3的差．
(2)某数的3倍加上5，等于该数的4倍减去7.
师巡视指导．
四、小结与作业
设计意图：通过师生共同归纳本节所学的知识，进一步整合本节内容，使学习的知识更加有条理，更利于知识的巩固和消化．
1．小结：方程的两个变形是什么？移项中应注意哪些问题？
2．解方程的一般步骤，以及各步骤是怎样变形的？
3．各步骤的先后顺序不一，解法不唯一．
4．解方程的最后一步一定要化为形如“x＝a”的形式．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
通过学习让学生学会了方程简单变形，进一步熟悉了方程的两个变形及解方程的两个步骤，激发了学生浓厚的学习兴趣，养成独立思考和合作交流的能力．
6．2.2 解一元一次方程
第1课时 解含括号的一元一次方程教学目标
?知识与技能
感受一元一次方程的定义，进一步理解并掌握解一元一次方程的方法．
?过程与方法
经历含括号的一元一次方程求解过程，能用去括号、移项、系数化为1等步骤来解一元一次方程．
?情感、态度与价值观
通过解方程，体会转化思想在数学中的重要作用，培养学生自觉反思求解和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯．
重点难点
?重点
含括号的一元一次方程的解法．
?难点
括号前是负号的处理．
教学过程
一、情境导入
设计意图：通过学生的自主尝试、观察、归纳，有效地激发学生的参与欲望，培养学生的创新能力和分析解决问题的能力．
师用投影给出以下几个方程：－2x＝4，4x＝，44x＋64＝328，13＋x＝(45＋x)．
提出问题：这些方程有什么共同特点？
学生思考后，分小组进行交流，归纳．
师最后概括：(1)只含有一个未知数；(2)含有未知数的式子是整式；(3)未知数的次数是1.
具备以上特点的方程叫一元一次方程．
这节课我们就来学习怎样解一元一次方程(师板书)．
二、尝试探究
设计意图：通过学生的探究活动，让学生感受解一元一次方程的步骤，会使用其步骤去尝试解一元一次方程，从而达到熟练掌握的目的，培养学生解决问题的能力．
1．解方程：3(x－2)＋1＝x－(2x－1)．
[注意](1)在学生自主探索的基础上，教师可有针对性地引导利用前面所学过的相关知识(如怎样去括号，去括号应注意什么等)进行解答；
(2)让学生自觉理解每一步解答的依据．
2．师板书解方程的步骤：
解：去括号得：3x－6＋1＝x－2x＋1，
即：3x－5＝－x＋1，
移项得：3x＋x＝1＋5，
即：4x＝6.
系数化为1得：x＝.
(通过板书解题步骤，渗透解方程的一般步骤，使解题规范化，让学生养成良好的解题习惯)．
3．尝试练习：解下列方程：(1)－5(x－1)＝1；(2)2－(1－x)＝2.
三、巩固练习，深化认识
设计意图：通过练习，使学生进一步巩固解一元一次方程的方法；通过对不同解法的探讨，开拓学生的思维，提高他们分析问题和解决问题的能力．
1．解方程：－2(x－1)＝4.
[注意](1)学生中可能出现不同的解法，如：①－2x＋2＝4；②x－1＝－2，应给予他们讲清思路的机会，教师作适当的引导；(2)如果学生不能利用不同的解法，教师可适时提出指导建议，从而形成两种解法．
2．议一议
组织学生比较两种不同的解法，在独立思考的基础上，进行交流．
3．练一练
解下列方程：(1)－3(x－5)＝6；(2)2(3－x)＝9.
四、回顾反思
设计意图：通过回顾反思，进一步整合本节课所学的知识，使所学知识更有条理性，解题方法更加明确，有利于学生知识的形成、深化．
师：1.你能识别怎样的方程是一元一次方程？(从概念上进行概括)
2．你认为含括号的一元一次方程应如何解？(去括号，移项，合并同类项，系数化为1.)
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节通过学习一元一次方程的定义及其解法，让学生掌握了如何判断方程是一元一次 方程和一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1.通过解方程让学生体会到了转化的思想在数学中的重要作用．
第2课时 解含分母的一元一次方程
教学目标
?知识与技能
经历解方程基本思路是把“复杂”转化为“简单”，把“新”转化为“旧”的过程，进一步理解并掌握如何去分母的解题方法．
?过程与方法
1．通过解方程去分母的过程，体会转化思想．
2．进一步体会解方程方法的灵活多样性，培养解决不同问题的能力．
?情感、态度与价值观
培养学生自觉反思求解和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯，养成团队合作的精神．
重点难点
?重点
运用去分母解方程．
?难点
去分母时需解决的几个问题．
教学过程
一、创设情境，导入新课
设计意图：能够创设问题情境，发展学生用方程解决问题的能力，感受方程是刻画客观世界量与量之间关系的重要工具，激发学生的学习热情；同时也从简单到复杂，巩固所学的解方程的知识，为去分母做铺垫．
教师出示一组解方程的练习题：解方程：①7x＝6x－4；②8＝7－2y；③5x＋2＝7x－8；④8－2(x－7)＝x－(x－4)．
鼓励四名学生板演，其余学生在练习本上自主完成解题，看哪组同学全对的人数最多．
教师巡视，学生完成后点评，并让学生回忆解一元一次方程的基本程序(板书)：
①去括号；②移项；③合并同类项；④两边同除以未知数的系数．
二、探究新知
设计意图：任何未知的探求都希望通过已知来解决，这是数学中“化归”思想的核心问题，必须寻找以往的经验进行解决，通过学生的观察与比较，尝试与探索，可知如何去分母成为主题．
师：根据以上解方程的基本程序，你能解下面的方程吗？
(x＋14)＝(x＋20)．
根据“旧”知识，学生会作如下解答．
解法一：去括号，得：x＋2＝x＋5，
移项得：x－x＝5－2，
合并同类项，得：－x＝3，
两边同除以－得x＝－28.
师：该方程与前面讲过的方程有什么不同？
生：以前学过的方程的系数都为整数，而这一题目中出现了分数．
师：能否把分数系数化为整数？
生：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数28即可．
师：这样使解方程避免“计算”分数的复杂性，使解方程过程简单．
解法二：方程两边同乘以28得：
4(x＋14)＝7(x＋20)，
去括号得：4x＋56＝7x＋140，
移项得：4x－7x＝140－56，
合并同类项得：－3x＝84.
两边同除以－3得：x＝－28.
师：去分母，方程两边同乘以一个什么数合适呢？
生：分组讨论后得出：方程两边都乘以所有分母的最小公倍数，从而去掉分母．于是解方程的基本程序中又多了一步“去分母”，教师添上“去分母”这一步骤，完整得出解一元一次方程的基本程序．
三、体验成功
设计意图：通过及时巩固，反馈学习的效果，使学生进一步熟练掌握解一元一次方程的步骤，进一步体验化归思想，也同时通过解方程中组内的交流、合作，达到团结协作的目的，体验成功的快乐．
解方程：－＝x.
让学生自主完成解题，然后组内互相交流自己的结论，并自觉检验方程的解是否正确，若发现错误，让同伴帮助出错的同学找原因，及时纠正．
教师强调：①不能漏乘不含分母的项；②注意给分子添括号．
练习：教材第10页练习第1题，学生口答．
四、小结
设计意图：用表格的形式，比较系统地总结本节所学内容，让学生更容易掌握；也同时在让学生完成填表的过程中，培养他们的语言表达能力．
师：今天我们学习了哪些新知识？你有什么收获？你能填写下列表格吗？
步骤 根据 注意事项
去分母
去括号
移项
合并同类项
未知数的系数化为1
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节课讲述如解带有分母的一元一次方程．在上一节课的基础上进一步完整了解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数转化为1.重点让学生掌握了在去分母时应该注意利用等式的基本性质②在方程两边都乘以某个数，不能漏掉每一项，否则题目将发生的变化得到就是一个错误的结论．
第3课时 一元一次方程的应用
教学目标
?知识与技能
体会用方程来解决问题的便捷与直观，培养运用数学建模思想解决问题的能力．
?过程与方法
经历探究用一元一次方程解决简单实际问题的一般方法与基本过程，会列出一元一次方程解简单的应用题．
?情感、态度与价值观
培养学生乐于思考，不怕困难的精神．
重点难点
?重点
探究用方程来解决实际问题的一般步骤与方法．
?难点
找出并根据题目中的等量关系列出方程．
教学过程
一、创设情境，导入新课
设计意图：通过练习，使学生熟悉巩固解一元一次方程的过程中合并同类项和移项的方法，为进一步学习方程的应用作准备．
师：练习解方程：(1)－4x＋0.5x＝6；
(2)7x＋5＝4.5x＋7.5；
(3)4x－7＝6x－5；
(4)x－3＝x.
学生独立完成，然后互相交流．
二、探究新知
设计意图：通过观察、讨论、比较，让学生体验列方程解应用题的过程，培养学生分析解决问题的能力，激发学生不怕困难，勇于探索的精神．
1．教师出示教材第11页例6.
引导学生根据教材中出示的表格进行分析．
学生分组进行讨论交流，教师巡视，也可以参与到讨论中去，和大家交流看法．从而归纳出怎样设未知数，如何找等量关系，最终列出方程51－x＝45＋x.达到求解的目的．
2．教师出示教材第12页例7.
师：此题中应设什么为未知数？(新团员为x名)
可以用x表示的有哪些量？其中所涉及的等量关系是什么？
怎样列方程？
学生讨论交流后，由组内派代表回答问题，通过师生互动最终列出方程：
32x＋24(65－x)＝1800.
解方程让学生自主完成，集中反馈．
三、尝试运用
设计意图：通过对问题的解决，培养学生分析解决问题的能力，从而让学生学会用一元一次方程去分析和解决生活中的问题，增强数学的应用意识．
师出示问题：
1．甲队原有a人，乙队原有b人，现从甲队抽调x人去乙队，则现在甲队有________人，乙队有________人．
2．买4本练习本与3支铅笔一共用了1.24元，已知铅笔每支0.12元，则练习本每本多少元？
3．小红今年6岁，她的祖父72岁，几年后，小红的年龄是她祖父年龄的？
学生先独立完成，然后组内讨论交流，最后教师引导集中反馈．
四、小结
设计意图：通过小结，让学生进一步了解列方程解应用题的步骤，便于他们形成一个完整的知识体系，更利于他们对列方程解决实际问题的全面认识．
列方程解决实际问题的步骤：(1)弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数；(2)找出问题所给出的有关数量的相等关系，它反映了未知量和已知量之间的关系；(3)对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系得到方程．
在设未知数和作出解答时，应注意量的单位．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节学习了用方程解决简单实际问题，让学生认识并掌握了用一元一次方程解决实际问题的一般方法与基本过程，会通过审题列出一元一次方程解简单的应用问题，重点烛要弄清未知条件和已知条件之间的数量关系，培养学生乐于思考，不怕困难的精神．
6．3 实践与探索
第1课时 实践与探索(一)
教学目标
?知识与技能
1．通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题．
2．进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用．
?过程与方法
1．经历实践活动，感受具体问题中数量之间的关系和变化规律．
2．在动手探索活动中，初步体会数形结合思想在实践应用中的作用．
?情感、态度与价值观
培养学生敢于面对和克服数学活动中困难的能力，使他们拥有运用知识解决问题的成功体验，建立学好数学的自信心．
重点难点
?重点
应用方程解决具体的实际问题．
?难点
在实践活动中借助直观的图形来列方程．
教学过程
一、创设情境，引入新课
设计意图：通过学生小时候玩过的“捏橡皮泥”的游戏引入课题，让学生看到自己所学知识与现实世界息息相关，学习会更主动，由此激发学生的学习兴趣与学习热情．
师：小时候，大家玩过橡皮泥吗？(展示准备好的模型)这是用橡皮泥捏成的高为10厘米的圆柱，现在要将它改成高为3厘米的圆柱，但不能剩余橡皮泥，哪位同学愿意试试？你能描述一下它的外形变化吗？在这个过程中，圆柱的体积是否发生变化？学生积极思考，踊跃参与问题的回答．
二、探究新知
设计意图：在引例的基础上，将具体问题呈现给学生，然后师生共同讨论解决问题的方法，使学生感受数学在实际生活中的应用，培养学生解决问题的能力．
1．(师出示投影)将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的圆柱体改造为底面直径为20厘米的圆柱，高变成了多少？
(1)你能分析题目中的已知条件和未知量吗？
(2)改造前后圆柱的什么量是相等的？
(板书)相等关系：改造前的体积＝改造后的体积．
(3)要求的未知数是什么？如何设？你能用所设的“x”表示改造后的体积吗？
学生在充分思考后，可适当交流，在教师的引导下设出未知数，从而列出方程．
设高变成x厘米，则π·36＝π··x.
然后学生完成求解过程．
2．(出示铁丝)问：这根铁丝围成长方形，能围出多少个不同的长方形？这些长方形的周长有什么关系？
学生思考后回答．
[问题1](出示投影)用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形，(1)使得长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽？
(2)使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积；
(3)当长方形的长与宽相等时，即围成一个正方形，它的边长是多少？面积呢？
问：此问题中的相等关系是什么？(1)中有几个未知数？如何设？
(避免出现多个未知数同时设为x)
三个同学上黑板解答，教师巡视下面学生的解答情况，个别指导．
(讲评后可让不同解法的学生发言，百花齐放)
问：观察这三个同学的解答结果，你有什么发现？
三、解决问题
设计意图：通过探究可使学生明白在解决问题的过程中体会到解决问题是可以有不同策略的，每个人都应有自己对问题的理解，并在此基础上形成自己解决问题的基本策略．
师提出问题：如果将以上问题中的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘米、0厘米，长方形的面积有什么变化？
学生动手计算、讨论、归纳．教师最后点评总结．
四、反思与提高
设计意图：在反思中梳理知识脉络，从而让学生对列方程解决实际问题有一个全面认识．
(议一议)你认为利用方程解决问题的关键是什么？在寻找图表问题中的等量关系时，你有什么秘决？
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节课为实践操作课，更进一步让学生了解用一元一次方程来解决有关图形的问题，既让学生动手进行实践操作，又把数的知识运用在实践中初步体会了数形结合思想在实践应用中的作用．
第2课时 实践与探索(二)
教学目标
?知识与技能
通过学生调查现行的利率问题，经历运用方程解决实际问题的过程，感受到方程是刻画现实问题的有效数学模型．
?过程与方法
在经历用方程解决利率等实际问题的过程中，培养学生学习的兴趣和主动探索的习惯．
?情感、态度与价值观
培养学生对数学的热情，实事求是的态度以及与他人合作、交流的能力．
重点难点
?重点
培养学生通过实践去探索数学问题的意识．
?难点
有关利率、利润率等相关问题的理解．
教学过程
一、创设问题情境
设计意图：从生活中引入问题，激发学生的学习兴趣，自发地启动思维机制，快速地进入问题情境．
1．提出问题
师：(出示一张取款单)这是老师昨天在银行取款时得到的，谁能给同学们讲一讲每一项的含义？(给学生一定的思考、交流时间)
生：本金就是开始老师存入银行的钱，利息是银行给的，本息和是本金和利息的总和，利率就是利息与本金的比，利息税不知道．
师：我国从1999年11月1日起开始对储蓄存款利息征收个人所得税，期间利息税由20%调到5%，现在由于金融危机，暂停征收利息税，教育储蓄和购买国库券一直不收利息税；每个期数内的利息与本金比叫利率．(根据学生情况讲解有关储蓄的知识)
2．点题
师：根据存款的方式、时间不同，银行所给的利率也不同，今天我们来研究储蓄的问题．
二、自主探究
设计意图：通过实际生活中的实例，用问题的形式来探究新课内容，使学生感受数学来源于生活，生活中需要数学．
师：我们大家都是七年级同学，六年后将走进大学校门，假设上大学需要5000元学费，你的爸爸妈妈现在就参加教育储蓄，下面有两种储蓄方式：(1)先存一个3年期的，年利率为2.7%；(2)直接存一个6年期的年利率为2.88%.你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？
教师指导学生自主学习．
1．独立思考阶段：给学生充分的独立思考、探究时间，使学生对新问题．能结合自己已有的知识，寻求新的问题解决方法．教师巡视，了解学生的探究情况，随时调节教学环节．
2．小组讨论交流阶段：学生有了自己的想法后，可与小组内的同学展开交流，从而体现数学教学是数学思维过程的教学，学数学的过程是学生头脑中构建数学认知结构的过程，是学生的一种自主性行为，用自身的创造活动去感受数学是做出来的，不是教出来的．
3．成果展示阶段：[生1]设开始存入x元，若按第一种方式，则1.081x(1＋2.7%×3)＝5000，1.168561x＝5000，x≈4279(元)．
[师]谈谈你的想法．
[生1]我是这样想的，第一个3年期，本金为x元，利息为x×2.7%×3，本息和为x(1＋2.7%×3)＝1.081x；第二个三年期，本金为1.081x，利息为1.081x×2.7%×3，本息和要达到5000元．就是说，开始大约存入4280元，3年期满后将本息和再存入一个3年期，6年后能达到5000元．
[生1]若按第二种储蓄，则x(1＋2.88%×6)＝5000，x＝4263(元)，如果直接存一个6年期的，开始只需存入4263元．
[师]通过学习，你们选择哪一种储蓄方式呢？学生齐声说第二种．
三、试一试
设计意图：通过练习，使学生感受数学与生活的联系，激发学生热情，巩固本节所学的知识．
师：出示教材第17页中的问题2.
学生讨论解决，然后师生共同写出解答．
四、小结
设计意图：通过小结，回顾和梳理本节所学知识，便于让学生识记，更好地掌握和理解本节所学的内容．
师：通过探究学习，你有什么收获？
生：这节课我们了解了有关储蓄的一些知识，理解了利息、利息税、利率等知识；还体会到在生活中要有一定的经济计划，要学会理财．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节课学习了用一元一次方程来解决利率和利润的实际问题．通过学习上学生亲身体会到在实践生活中的利润，利率是如何利用一元一次方程解决问题的，体会到了用建立数字模型解决实际问题的乐趣，增强他们对学习数学的兴趣.
第7章 一次方程组
7．1 二元一次方程组和它的解
教学目标
?知识与技能
弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会体验一对数是不是某个二元一次方程组的解．
?过程与方法
学会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性．
?情感、态度与价值观
经历对二元一次方程(组)的概念的学习，感受数学与生活的联系，感受数学的乐趣．
重点难点
?重点
二元一次方程及二元一次方程组概念的理解．
?难点
用二元一次方程或二元一次方程组来刻画实际问题．
教学过程
一、情境导入
1．什么叫一元一次方程？什么是一元一次方程的解？
2．(投影)教材第24页问题1.
(1)请用算术方法解答．
平均场数：[(9－2)×3－17]÷(3－1)．
(2)请用一元一次方程解答：若设这个队胜x场，则有：3x＋(9－2－x)×1＝17.
(3)试比较以上两种解法，判断用算术方法与方程方法来刻画实际问题中的数量关系，哪一种较简便？
(4)此题中有两个问题，如果分别设为x、y，怎样列式呢？是不是更容易表示题目中的数量关系呢？
二、探究交流
1．(投影)教材第25页的表格
教师巡回指导．
2．对于方程：x＋y＝7①，3x＋y＝17②，思考问题：
①它们是一元一次方程吗？
②这两个方程有无共同特点？
③类比一元一次方程的概念，能否确定这两个方程的概念？
教师巡回指导．
教师引导学生得出概念．
含有两个未知数，并且未知数的次数为1的整式方程叫二元一次方程，两个二元一次方程合在一起就组成了二元一次方程组．
教师板书课题：二元一次方程组和它的解．
3．巩固
下面是二元一次方程的有________．
a．4x－2y＝13；b.3x－5＝2；c.－＝；d.x2－x＋y2＋y＝5；e.x2－5x－6＝0；f.3x－4y.
教师巡回指导．
4．观察用算术法或一元一次方程求出的答案，然后确定x、y的值．
[思考]：(1)x＝5与y＝2是否满足方程①？
(2)x＝5与y＝2是否满足方程②？
(3)类比一元一次方程解的概念，能否确定二元一次方程组的解的概念？
5．二元一次方程组解的检验练习：
已知下面三对数值：(1)
(2) (3)
哪一对数是方程组的解？
教师指导学生进行探索．
三、应用迁移
(1)根据下列语句，分别设出适当未知数，列出二元一次方程或二元一次方程组．
①甲数的比乙数的4倍多8；
②某种时装的价格是某种皮装价格的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元．
(2)(投影)教材第26页问题2
[问题]①计算校园总面积有几种表示方法？
②题目中能找出哪两种等量关系？
③能否只用一个未知数，列出一元一次方程？
④列出方程．
教师点评学生的回答状况．
四、小结
1．二元一次方程的概念．
2．二元一次方程组的概念．
3．二元一次方程组解的概念及注意事项．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
板书设计
一、情境导入
二、探究交流
三、应用迁移
四、小结
五、布置作业
教学反思
本节课最大的特点是：概念多，在处理上渗透类比的思想，让学生通过探索、交流，类比一元一次方程的有关概念，自行归纳出相关概念，着眼于学生的归纳能力，对类比思想的感悟．通过类比，体会到从算术方法到一元一次方程到二元一次方程组的演化过程，感受到数学建模思想在实际问题应用中所带来的便捷，同时，通过例题、习题对概念进行巩固，建立起完整的概念体系．
7．2 二元一次方程组的解法
第1课时 用代入法解二元一次方程组
教学目标
?知识与技能
通过探索二元一次方程组的解法，通过化二元一次方程组为一元一次方程的过程，体会消元的思想，掌握直接代入法解二元一次方程组．
?过程与方法
理解代入消元法的基本思想体现的化未知数为已知的化归思想方法．
?情感、态度与价值观
在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心．
重点难点
?重点
用代入法解二元一次方程组．
?难点
体会用一个未知数表示另一个未知数进行代入消元．
教学过程
一、回顾
1．什么叫二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解？
2．把3x＋y＝7改写成用x的代数式表示y的形式．
二、导入
1．再次回顾教材第26页问题2.
设应拆除旧校舍xm2，建造新校舍ym2，依题意可列方程组：
思考：怎样解这个方程组？
2．问题导引：
(1)我们解一元一次方程的步骤是什么？
(2)回顾上节课，解决此题所列的一元一次方程，二者有什么关系？
(3)能否把二元一次方程变为一元一次方程？其关键是什么？把“二元”变为“一元”．
(4)怎样做才能比较容易让某个未知数消去呢？
三、探索
1．教师小结，选二元一次方程组中一个方程，用一个未知数去表示另一个未知数，然后代入一个方程中消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，从而求出二元一次方程组解的方法称为代入消元法．
2．例题探究
解方程组：
问题：此方程组与上一个方程组有何区别，不能直接将一个方程代入另一个方程，怎么办？
解：由①得：y＝7－x③
将③代入②得：3x＋7－x＝17，即x＝5，
将x＝5代入③，得y＝2，所以
想一想，除了以上几种办法外，还有没有其他办法？
(1)方法①中能否改为用y表示x?
(2)方程②能否用x表示y?
(3)方程②能否用y表示x?
探究：将几种表示方法都解答出来，相互比较．
教师点评．
归纳：在代入消元时，可选取二元一次方程组中有未知数系数为1的二元一次方程，将其变形为用一个未知数去表示另一个未知数的形式，再代入另一个二元一次方程求解．
四、巩固
解方程组
教师巡回指导，对学习有困难的学生加以引导．
1．选取一个方程(观察有无系数为1的未知数)，将其改写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③.
2．把方程③代入另一个方程，得到一个一元一次方程．
3．解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．
4．把这个未知数的值代入③，求出另一个未知数的值从而得到方程组的解．
解：由②得：x＝－15－4y③，把③代入①得，3(－15－4y)－5y＝6，解得：y＝－3，把y＝－3代入③得：x＝－3，所以
教师引导学生检验．
五、小结
1．解二元一次方程组的思路：将二元一次方程组通过代入消元的方法达到消元的目的，转化为一元一次方程求解．
2．代入消元法解二元一次方程的一般步骤．
六、布置作业
见学生用书课后作业部分．
板书设计
一、回顾
二、导入
三、探索
四、巩固
五、小结
六、布置作业
教学反思
本教案在设计上做到了如下两点：1.在知识的前后衔接上，做到过渡自然．在前一节的学习中，问题2的处理上，不仅列二元一次方程组来表示，还列出一元一次方程来表示．因此，在本课引导学生探索二元一次方程组的解答上，易于联想转化为一元一次方程来解答，对消元的思想接受上比较容易.2.注意对学生思维的发散训练及归纳能力的培养，在处理例题时，不仅仅以顺利解答为目标，继续探索了多种代入方式，并且着重引导学生归纳代入的简洁方式．
第2课时 用加减法解二元一次方程组
教学目标
?知识与技能
掌握用加减法解二元一次方程组．
?过程与方法
使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法．
?情感、态度与价值观
体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心．
重点难点
?重点
用加减法解二元一次方程组．
?难点
两个方程组相加减消元时符号的问题．
教学过程
一、情境导入
王阿姨昨天在水果批发市场买了4千克苹果和4千克梨共花了14元，陈老师也以同样的价格买了4千克苹果和3千克梨，共花了12元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快．
教师让解答最快的学生起来说出解答思路，抵消掉相同部分，王阿姨比陈老师多了1千克梨，多花了2元，所以每千克梨的售价为2元．
二、探究新知
1．解方程组
教师在学生解答中巡回指导，总结归纳两种不同的解法．
解法1：由①得：x＝，代入方程②消去x.
解法2：把3x看作一个整体，由①得：3x＝5－5y代入②，消去x.
2．问题导引：
[问题1]观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？
[问题2]联系前面求梨的单价问题，思考除了代入消元法，你还有别的办法消去x吗？
两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，得到一个一元一次方程．
[问题3]这样做的理论依据是什么？
解答①－②得：(3x＋5y)－(3x－4y)＝－18.
解得：y＝－2，把y＝－2代入①得x＝5，所以原方程组的解为
师述：在熟练以后，可以省掉两式相减的部分．
3．同类变式一：
解方程组：
二、探究新知
(互为相反数)
[问题2]除了代入消元法，你还有别的办法消去x吗？
教师活动：启发、小结．
4．教师概括：
对某些二元一次方程组可以通过两个方程的两边分别相加或相减，以达到消去一个未知数的目的，得到一元一次方程，从而求出它的解，这种解法叫加减消元法．
思考：能用加减消元法直接求解二元一次方程组的前提是什么？
(两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等)
三、巩固练习
解方程组：(1) (2)
四、小结
1．用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？
2．这种方法的适用条件是什么？
3．这种方法的步骤是什么？
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
解题方法以及消元思想的领悟只有自己经历探索、思考，才是真正属于自己的，印象也是最深刻．本教案没有直接给出加减消元法的概念以及解题的过程，而是通过导入的铺垫，探索的引导，习题的归纳等多方面自我探索，在观察方程组的结构特点的基础上，比较不同解法的优劣后，自己探索发现解题的技巧，这样使学生在积极参与的学习中感受学习的乐趣，品尝到成功的喜悦，提高自己的解题能力．
第3课时 一元一次方程的应用
教学目标
1．会解决有关配套问题．
2．会解决与工作效率有关的工程问题．
3．会从实际问题中抽象出数学模型，并体会其中蕴藏的等量关系．
教学重点
从题中找“配套问题”和“工程问题”的等量关系．
教学难点
在与工作效率有关的工程问题中建立等量关系，并根据题意列出方程．
一、创设情境 明确目标
解下列方程：
(1)＝；
(2)－1＝；
(3)＝2－.
二、自主学习 指向目标
自学教材100至101页，完成下列问题：
1．某车间生产螺钉和螺母，若1个螺钉需要配2个螺母，则m个螺钉与n个螺母之间的等量关系为__2m＝n__．
2．工作总量，工作效率，工作时间三者之间的关系为__工作总量＝工作效率×工作时间__．
3．一件工作，甲单独完成需要m天，则一天完成总量的____；乙单独完成需要y天，则乙一天完成总量的____；甲、乙合做，一天完成总量的__＋__，需要____天完成．
三、合作探究 达成目标
配套问题
活动一：阅读教材第100页，例1
分析：本题属于哪一类型的应用题？相等关系是什么？应怎样设未知数？
解答过程见教材第100页例1的解答过程．
【展示点评】如果设x名工人生产螺母，可以列方程：2000x＝2×1200(22－x)．
【小组讨论】列方程解配套类问题时，常用的相等关系是什么？
【反思小结】解决配套问题时，一般用“配套的物品之间具有一定的数量关系”作为列方程的依据．
【针对训练】见“学生用书”．
工程问题
活动二：阅读教材第100页例2，思考：
这里可以把总工作量看作单位1，人均效率(一个人做1 h完成的工作量)为________，由x人先做4 h，完成的工作量为________，再增加2人和前一部分人一起做8 h，完成任务的工作量为________________，这项工作分两段完成任务，两段完成任务的工作量之和为______________________．
【展示点评】这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量＝人均效率×人数×时间”的关系考虑问题．
【小组讨论】解决工程类问题常用的公式及相等关系是什么？
【反思小结】本题中计算工作量的基本公式：工作量＝人均效率×人数×时间，解决工程问题一般用“各部分工作量的和＝工作总量”这一等量关系．
【针对训练】见“学生用书”．
四、总结梳理 内化目标
1．在解决配套问题时的相等关系．
2．在解决工程问题时的相等关系．
3．用一元一次方程解决实际问题的基本过程．
五、达标检测 反思目标
1．一项工作，甲单独完成要12 h，乙单独完成要24 h，则甲工作1 h可完成这项工作的，乙工作1 h可完成这项工作的，甲乙合作__8__ h可完成这项工作．
2．理整一批图书，由一个人做要60 h完成．现在计划由一部分人先做3 h，再增加两人和他们一起做6 h，完成这项工作的一半．假设这些人的工作效率相同，具体应安排多少人工作？
解：设安排x个人先工作，列方程得：
＋＝ 解得：x＝2
答：应先安排2人工作3 h，再增加2人工作6 h.
3．要用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身两个，或者做盒底盖3个．如果一个盒身和两个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请设计一种分法．
解：设用x张白卡纸做盒身，列方程得：
3(20－x)＝4x 解得：x＝8
答：可用8张做盒身，11张做盒盖底，还有一张裁出一个盒身和一个盒底．
六、布置作业 巩固目标
课后作业 见“学生用书”．
教学反思
本节课以生活中常见的一个问题展开，提高学生的兴趣，让学生们认识到数学知识与我们的实际生活息息相关．然后通过例题教学，为学生提供了探索空间，通过猜测、验证、质疑、讨论、解疑等一系列活动， 充分调动学生学习的积极性．让学生在实践中获得解决问题的方法，得到学习的乐趣．
*7.3 三元一次方程组及其解法
教学目标
?知识与技能
1．知道什么是三元一次方程．
2．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二或一元的思路．
?过程与方法
1．培养学生分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法、消元对象．
2．培养学生的计算能力、训练解题技巧．
?情感、过程与价值观
1．渗透“消元”的思想，设法把未知数转化为已知．
2．通过本节课的学习，渗透方程恒等变形的数学美，以及方程组解的奇异美．
重点难点
?重点
使学生会解简单的三元一次方程组，经过本课教学进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法．
?难点
针对方程组的特点，选择最好的解法．
教学过程
一、创设情景
1．解二元一次方程组的基本方法有哪几种？
2．解二元一次方程组的基本思想是什么？
二、合作互动
教材37页问题
题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程？
学生活动：回答问题、设未知数、列方程．
这个问题必须三个条件都满足，因此，我们把三个方程合在一起，写成下面的形式：
这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学的三元一次方程组．
怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？
学生活动：思考、讨论后说出消元方案．
学生活动：在练习本上用代入消元法解方程组．
2．学生尝试解决例题
例1 解方程组
学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加减法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单．
概括：有了前例的基础，让学生独立尝试解题，可以培养他们分析问题、解决问题的能力；在解题后归纳题目的特点为点明消元方法和消元对象，更有助于学生探索方法、掌握技巧．
例2 解方程组(见课本39页例2)
将全班分成两个小组，一组用代入法，另一组用加减法，看谁做得快，最后教师归纳：本题方程中未知数的系数都不是1或－1，用加减法较好．
三、反馈训练
《名师学案》“合作互学”部分．
四、导学归纳
1．解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？
2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．
3．注意检验．
使学生在以后解题时有很强的针对性．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分
教学反思
本节学习了三元一次方程组的概念及其三元一次方程组的解法，让学生掌握解三元一次方程组的方法是化三元为二元或一元；认真体会到解方程组的灵魂是“消元”．培养了学习分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法，消元对象．通过本节课的学习，渗透方程恒等变形的数学差以及方程组垢解美妙之处．
7．4 实践与探索
教学目标
?知识与技能
1．通过思考、讨论、探索事物之间的数量关系，形成方程模型．
2．通过自主探究，相互交流，尝试用二元一次方程组解决与生活密切相关的问题．
?过程与方法
1．经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养分析、抽象、求解的能力．
2．进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．
?情感、态度与价值观
1．学会开放性地寻求设计方案，培养分析解决问题的能力，体会到用数学知识解决实际问题的应用性．
2．培养学生勤于思考，勇于探索的精神，感受到学习数学的目的是用数学知识解决实际问题．
重点难点
?重点
1．探索用二元一次方程组解决有关应用题．
2．探索用方程或方程组解决几何图形中的数量关系．
?难点
1．分析题目中所蕴含的数量关系．
2．分析图中的等量关系．
教学过程
一、创设情境
设计意图：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实世界的联系，培养学生用数学的意识．
师：前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决．
教师利用投影出示问题：据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5，现要在一块长200m，宽100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4(结果取整数)?
设计意图：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系，激发学生的学习兴趣．
师出示教材42页问题2：小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，如图(1)那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图(2)那样的正方形，怎么中间还留了一个洞，这个洞恰好是边长为2cm的小正方形．
你能帮他们解开其中的奥秘吗？ 二、探索分析，研究策略
设计意图：多角度分析问题，多策略解决问题，提高思维的发散性．
师：以上问题有哪些解法？
学生自主探索、合作交流，整理思路．
(1)先确定有两种方法分割长方形，再分别求出两个小长方形的面积，最后计算分割线的位置；
(2)先求两个小长方形的面积比，再计算分割线的位置；
(3)设未知数，列方程组求解……
学生经讨论后发现列方程组求解较为方便．
设计意图：引导学生探寻解题思路，培养学生有条理地思考、表达的习惯，从而学会从多角度考虑问题．
教师引导学生进行探究，可沿以下思路进行：①从图(1)中可以观察得出小长方形的长xcm与宽ycm之间的一种等量关系是什么？⑦从图(2)中能否得出x与y之间的另一种等量关系是什么？
学生可以思考，交流、讨论，从而得出①3x＝5y，②x＋2y＝2x＋2.
构成方程组解之得：
师问：请用以上的计算结果解释其中的奥秘．
学生交流讨论出问题的结论：8个小长方形的面积之和为：8×10×6＝480(cm2)．
大正方形的面积为(x＋2y)2＝484cm2，所以小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为2cm的小正方形．
三、合作交流，解决问题，巩固应用
设计意图：比较分析，加深对方程组的认识．画图、数形结合，辅助学生分析，进一步渗透模型化的思想．引发学生思考，寻求解决途径．
师：引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路：(1)设未知数；(2)找相等关系；(3)列方程组；(4)检验作答．
如图，一种方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE＝xm，BE＝ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组：
解这个方程组得
即
过长方形土地的长边上离一端约106m处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．
你还能设计别的种植方案吗？用类似的方法，可沿平行于线段AB的方向分割长方形．
教师巡视、指导，师生共同讲评．
设计意图：对应练习是对学生学习效果的检验，也进一步培养学生分析解决问题的能力．
师用投影出示问题：如图，某单位为美化环境，准备将一块周长为76m的长方形草地，设计分成长和宽分别相等的9块小长方形，种上各色花卉，经市场预测，绿化每平方米造价为108元．
①求出每个小长方形的长和宽；
②计算完成每次绿化工程预计投入多少资金？
四、拓展探究，综合应用
设计意图：以学生学习生活中遇到的问题展开讨论，巩固用二元一次方程组解决实际问题的一般过程，并不断提高分析问题的能力．安排开放题，以利于培养学生探索精神和创新意识．
学生在手工实践课中，遇到这样一个问题：要用20张白卡纸制作包装纸盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个，如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装盒，那么能否将这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请你设计一种分法．
按以下步骤展开问题的讨论：(1)学生独立思考，构建数学模型；(2)小组讨论达成共识；(3)学生板书讲解；(4)对方程组的解进行探究和讨论，从而得到实际问题的结果；(5)针对以上结论，你能再提出几个探索性问题吗？
五、小结提高，布置作业
设计意图：分层次布置作业，其中“必做题”面向全体学生，巩固知识，方法，加深理解，而“选做题”面向部分学有余力的学生，给他们一定的时间和空间，相互合作，自主探究，增强实践能力．
师提问：通过本节课的讨论，你对用方程解决实际问题的方法又有何新的认识？
学生思考后回答，整理．
必做题：教材第41页习题7.3第1题．
选做题：教材第41页习题7.3第2题．
设计意图：让学生结合自己的学习情况进行概括整理，帮助理解，培养模型化的思想和应用数学于现实生活的意识．
在用二元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数，可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节学习了二元一次方程来解决实际问题，是一节实践探索课，学生们学会夺取在实际应用中认真审题，探索未知量与已知量之间的数量关系，列出方程，形成二元一次方程组，经历了用方程组解决实际问题过程．体会方程组是刻画世界有效数字模型，培养分析抽象的求解能力．
第8章 一元一次不等式
8．1 认识不等式教学目标
?知识与技能
让学生充分感受生活中存在着大量不等关系，了解不等式的意义，初步体会不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系，都是研究量与量之间关系的重要模型，进一步培养符号感．
?过程与方法
经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想．
?情感、态度与价值观
通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识，让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域．
重点难点
?重点
理解并会用不等式表达数学量之间的关系，不等式解的意义．
?难点
不等号的准确应用；不等式的解．
教学过程
一、提出问题
设计意图：通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，培养学生的观察能力，激发他们的学习兴趣．
多媒体演示：1.两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏，现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法进行下去了，这是什么原因呢？
2．一辆匀速行驶的汽车在11∶20时距离A地50千米，要在12∶00以前驶过A地，车速应该具备什么条件？若设车速为每小时x千米，能用一个式子表示吗？
二、探究新知
设计意图：在鉴别不等式的过程中，加深对不等式意义的理解，引出不等式解的意义以及不等式的解与方程解的不同之处；遵循学生的认知规律，有意识、有计划、有条理地设计一些引人人胜的问题，可让学生始终处在积极的思维状态．
(一)不等式的概念
1．在学生充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳得出：用“>”“<”号表示大小关系的式子叫做不等式；用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
2．下列式子中哪些是不等式？
(1)a＋b＝b＋a；(2)－3>－5；(3)x≠1；
(4)x＋3>6；(5)2m
分组活动：先独立思考，然后小组内互相交流并做记录，最后各组选派代表发言．在此基础上引出不等号“≥”和“≤”．补充说明：用“≥”和“≤”表示不等式关系的式子也是不等式．
(二)不等式的解
[问题1]要使汽车在12：00以前驶过A地，你认为车速应该为多少呢？
[问题2]车速可以是每小时85千米吗？每小时82千米呢？每小时75.1千米呢？每小时74千米呢？
[问题3]我们曾经学过“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解”．我们也可以把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．刚才同学们所说的这些数，哪些是不等式x>50的解？
[问题4]以下各数中哪些是不等式x>50的解？
76，73，79，80，74.9，75.1，90，60.
你能找出这个不等式其他的解吗？它到底有多少个解？你从中发现了什么规律？
讨论后得出：当x>75时，不等式x>50成立；当x<75或x＝75时，不等式x>50不成立，这就是说，任何一个大于75的数都是不等式x>50的解，这样的解有无数个．因此，x>75表示了能使不等式x>50成立的“x”的取值范围．
回到前面的问题，要使汽车在12∶00以前驶过A地，车速必须大于每小时75千米．
三、巩固新知，解决问题
设计意图：巩固对不等式解的概念的理解，巩固对不等式解集概念的理解，并能进一步巩固所学知识，感受新知识．
1．下列数值哪些是不等式x＋3>6的解？哪些不是？
－4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12.
2．用不等式表示：(1)a是正数；(2)a是负数；(3)a与5的和小于7；(4)a与2的差大于－1；(5)a的4倍大于8；(6)a的一半小于3.
四、小结与作业
设计意图：通过总结归纳，完善学生已有的知识结构．
小结：不等式的概念，不等式的解．
作业：见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节课学习不等式的概念，让学生从等式概念思想转变到不等式的概念的思想，从中体会到不等式存在同样重要，重点是让学生学会并理解不等式表达数量之间的关系，了解不等式的解的意义，还掌握用不等号表达每一种不等量关系．
8．2 解一元一次不等式
8．2.1 不等式的解集
教学目标
?知识与技能
正确理解不等式的解，不等式的解集的意义．
?过程与方法
知道什么是解不等式，会将不等式的解集在数轴上直观地表示出来，体会数形结合的思想．
?情感、态度与价值观
体会无限的思想和数轴直观性的特点．
重点难点
?重点
不等式解集的意义，在数轴上表示不等式的解集．
?难点
在数轴上表示不等式的解集．
教学过程
一、出示学习目标
设计意图：有了明确的目标才能激起学生的学习热情，才能充分调动学生的学习积极性．
学习目标：1.知道不等式的解集，解不等式等相关概念．
2．初步学会在数轴上表示不等式的解集．
教师出示学习目标，学生观察学习目标．
二、自主探究
设计意图：本次任务为本节课的核心任务，其目的是通过学生的自主学习，理解概念，并通过学生的举例回答，从具体的实例中去掌握这几个概念．让学生自己来讲解，有利于提高语言表达能力，学生用语言来概括这些概念，培养学生的数学语言表达能力及抽象概括能力．
学习任务：
1．什么是不等式的解集？
2．如何在数轴上表示不等式的解集？
3．什么叫做解不等式？
教师利用投影布置教学任务，要求达到的学习效果为学生能够准确地回答出以上几个问题，并且能用具体的例子来说明这几个问题．
学生分小组进行自主探究活动，同学间进行合作交流，教师巡视指导，观察学生的探究方法，并倾听学生的讨论．
学生自主探究完成以后，教师安排学生解答几个问题，并要求学生用具体的例子来说明这几个问题，过程中要注意在数轴上表示不等式的解集这个问题的解决．最好让学生上台画一画，讲一讲，然后教师针对每一问题进行点评．
三、练习反馈
设计意图：由浅人深的练习，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间，激发学生的学习积极性，建立学好数学的信心．展示学生的成果，让学生在学习过程中感受学习的乐趣和成功的喜悦，增强学生的学习兴趣．
学习任务：练习巩固．
练习：1.把下列解集在数轴上表示出来：(1)x>－2；(2)x<5；(3)x≤4；(4)x≥5.
2．不等式的解集x<3与x≤3有什么不同？在数轴上表示它们是怎样区别的？分别在数轴上把这两个解集表示出来．
3．用不等式表示图中所示的解集：
教师布置学生独立完成练习，然后让学生口答．最后教师安排学生板演练习第1题，并请该同学给其他同学说明为什么那样表示．
第2题另安排学生板演．在这一过程中，教师要巡视下面同学的完成情况，是不是所有的同学都能准确地在数轴上表示不等式的解集．
四、课堂小结与布置作业
设计意图：归纳本节课的主要内容，交流心得，不断积累学习经验．
小结：谈谈本节课的收获．
教师引导学生从概念、解集表示方法等方面进行小结．
布置作业：见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节课学习不等式的解，不等式的解集的意义以及用数轴来表达不等式的解集，让学生学会并理解了什么叫解不等式，而且也体会到在用数轴来表达不等式的解集的直观性和准确性，更体会到了学习数字的乐趣，增加了对学习数学的信心．
8．2.2 不等式的简单变形
教学目标
?知识与技能
联系方程的基本变形，通过直观的试验与归纳，自主探索得到不等式的基本性质．
?过程与方法
在不等式的变形中探索求不等式的解集方法．
?情感、态度与价值观
体会求不等式的解与求方程的解的联系与区别，重视数学学习中类比与转化思想的运用．
重点难点
?重点
理解并掌握不等式的性质．
?难点
正确运用不等式的性质进行不等式的简单变形，特别是性质3的应用．
教学过程
一、提出问题
设计意图：通过天平演示，结合自己的观察和思考，让学生感受生活中的不等关系．教师出示天平，并请学生仔细观察老师的操作过程，回答下列问题：
1．天平被调整到什么状态？
2．给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？
3．不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？
4．如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？
二、探究新知
设计意图：通过动手、动口、动脑，引导学生运用类比、归纳的数学思想去探究问题，在品尝成功的喜悦中激发出学习数学的兴趣，渗透类比思想．
1．用“>”或“<”填空．
(1)5>3，5＋2________3＋2，5－2________3－2；
(2)－1<3，－1＋2______3＋2，－1－3______3－3；
(3)6>2，6×5____2×5，6×(－5)____2×(－5)；
(4)－2<3，(－2)×6________3×6，
(－2)×(－6)________3×(－6)；
(5)－4>－6，(－4)÷2________(－6)÷2，
(－4)＋(－2)________(－6)＋(－2)．
2．从以上练习中，你发现了什么？请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流．
3．让学生充分发表“发现”，师生共同归纳得出：
不等式性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
不等式性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
不等式性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4．你能说出不等式性质与等式性质的相同之处与不同之处吗？
三、巩固新知
设计意图：设置这几个练习，既可以培养学生独立思考的能力，又可强化对概念的理解，使学生真正认识不等式的性质．
1．判断
(1)因为a
(5)因为－a<0，所以a<3.
2．填空
(1)因为2a>3a，所以a是________数；
(2)因为<，所以a是________数；
(3)因为ax
3．根据下列已知条件，说出a与b的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质．
(1)a－3＞b－3；(2)<；(3)－4a＞－4b.
四、小结与作业
设计意图：学生通过总结，可以帮助自己从整体上把握本节课所学知识，培养良好的学习习惯，也为下节课学好解不等式打下基础．
在学生自己总结的基础上，教师应强调两点：
1．等式性质与不等式性质的不同之处．
2．在运用“不等式性质3”时应注意的问题．
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节课学习了不等式的性质①②③，它们是解不等式的基本思想，也是解题的灵魂，本节通过学习让学生理解并掌握不等式的变形的依据，尤其是不等式的性质③要特别注意，在 代为1时，需要同时改变不等号的方向，本节也让学生体会到不等式与方程区别之处，更进一步重视学习中类比思想．
8．2.3 解一元一次不等式
第1课时 解一元一次不等式
教学目标
?知识与技能
会根据“不等式的性质”解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集．
?过程与方法
让学生通过联系方程的基本变形，结合直观的实验与归纳，自主探索解一元一次不等式的一般步骤．体会数学学习中比较和转化的作用，加深对数形结合的思想方法的理解．
?情感、态度与价值观
在积极参与数学活动的过程中，培养学生大胆猜想，勇于发言和合作交流的意识和实事求是的态度以及独立思考的习惯．
重点难点
?重点
利用不等式的性质正确求一元一次不等式的解集．
?难点
引导学生探索一元一次不等式的一般解法，不等号方向改变问题．
教学过程
一、提出问题
设计意图：设计一个学生很熟悉的问题情境，增强亲和力，经历由具体的实例建立不等式模型的过程，既可让学生感受不等式在实际生活中的应用，又非常自然地引入新课．
小希就读的学校上午第一节课上课时间是8点开始．小希家距学校有2千米，而他的步行速度为每小时10千米．那么，小希上午几点从家里出发才能保证不迟到？
若设小希上午x点从家里出发才能不迟到，则x应满足怎样的关系式？
二、探究新知
设计意图：通过问题的引入，引出一元一次不等式的概念，同时培养学生主动参与、合作交流的意识，提高学生的观察、分析、概括和抽象能力．同时类比解方程的方法，让学生初步感觉不等式与方程的关系．
1．分组探讨：对上述问题，你是如何考虑的？先独立思考然后组内交流，作出记录，最后各组派代表发言．
2．在学生充分讨论的基础上，师生共同归纳得出：x应满足的关系是：x＋≤8.
3．观察方程的特点：含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式．
4．你能再举出其他几个一元一次不等式吗？(学生举例回答)．
5．你会解这个不等式吗？请说说解的过程．
(根据不等式性质，在不等式的两边减去，得：x＋－≤8－，即x≤7)
6．你能把这个不等式的解集在数轴上表示出来吗？
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
，我们在表示7的点上画实心圆点，意思是取值范围包括这个数．
7．例题
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)2x－1＜4x＋13；(2)2(5x＋3)≤x－3(1－2x)；
(3)当x取何值时，代数式与的值的差小于1?
师生共同探讨后得出：解一元一次不等式的步骤与一元一次方程的步骤类似：(1)有分母先去分母；(2)有括号再去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)把未知数的系数化为1.强调在去分母或未知数的系数化为1时，应用不等式的性质3时要注意变号或不变号．
最后由教师完整地板书解题过程，并在数轴上表示解集．
三、巩固新知
设计意图：进一步巩固所学知识，检验学生对解一元一次不等式的掌握情况，进一步巩固一元一次不等式的解法.
教师布置学生独立完成教材第54页练习第1题，并安排学生板演．
四、小结与作业
设计意图：帮助学生形成知识体系，进一步巩固利用不等式性质解决问题.
师生共同归纳本节课所学内容，通过学习，我们学会了简单的一元一次不等式的解法，还明白了生活中的许多实际问题都是可以用不等式的知识去解决的．
作业：见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节学习了用不长远等式的基本性质来解不等式，让学生理解并掌握解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一．重点是在去分母或未知数的系数化为1时，应用不等式性质3时要改变号的问题，培养了学生大胆猜想，积极探索的合作交流思想．
第2课时 一元一次不等式的应用
教学目标
?知识与技能
使学生熟练掌握一元一次不等式的解法，初步认识一元一次不等式的应用价值．
?过程与方法
体会应用一元一次不等式的知识解决实际问题，让学生经历从实际问题中抽象出数量关系的过程，体会建模思想；培养学生运用数学知识分析问题、解决实际问题的意识与能力．
?情感、态度与价值观
让学生在分组活动和交流的过程中，积累数学活动的经验并感受成功的喜悦，从而增强学习数学的自信心．
重点难点
?重点
求一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式在实际问题中的初步应用．
?难点
一元一次不等式的应用．
教学过程
一、情境导入
你知道吗？最小的正整数是________，最大的负整数是________，最小的非负整数是________，最小的自然数是________，绝对值最小的整数是________，小于5的非负数是________，大于－7.5的最小整数是________．
二、探究新知
你一定会解不等式≥，那么你会求此不等式的负整数解吗？
师引导思路：先求出不等式的所有的解，即不等式的解集，再从中找出符合题意的特殊解．
三、知识应用
例：一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了120m3(这个速度是否合理)？由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务，问以后6天内平均每天至少要挖土多少m3？(1)试解决这个问题(不限定方法)，你是用什么方法解决的？有没有其他方法？
(2)如果你是利用不等式的知识解决这个问题的，在得到不等式的解集以后，如何给出原问题的答案？
在解决以上问题后教师出示教材60页问题．
问题2有多种解法：
①可以设答对了x题，根据题意，可得不等式：
10x－5(20－x)≥80，解得x≥12.
②若设至多答错或不答x道题，可得：
15x≤200－80，解得x≤8.即至少答对12题．
③可以从全错得－100分考虑问题，每答对一题可加上15分，则15x≥180.
四、回顾反思
学生回顾本堂内容，是否还存在问题、疑惑？希望以后在问题解决中进一步体会不等式这一数学模型及其应用．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
在本教案的设计中，首先使学生熟练掌握一元一次不等式的解法，进而会求一些特殊解，教学中教师通过观察学生，发现典型问题，及时讨论、交流、纠正；在学习不等式的应用中，主要让学生进一步体会不等式这一数学模型，用不等式准确地表达题意，在注意基于学生现有理解的基础上，针对性地点拨、引导、补充．这样的设计，学习线索、层次、环节清晰明确，学生的学习才不会负担太重，数学学习才会变得轻松、深刻．
8．3 一元一次不等式组
教学目标
?知识与技能
了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义，掌握求一元一次不等式组的解集的常规方法，会用数轴求出不等式组的解集．
?过程与方法
经历知识的拓展过程，感受学习一元一次不等式组的必要性，逐步熟悉数形结合的思想方法，感受类比与化归的思想．
?情感、态度与价值观
通过活动，激发学生的学习热情，培养学生的学习兴趣．
重点难点
?重点
不等式组的解法与步骤．
?难点
确定两个不等式解集的公共部分．
教学过程
一、情境引入
教材第62页的问题，通过引导学生注意“在……之间”的意义，体会其中隐含着的两个约束条件，即两个不等关系．
二、探索新知
1．引导学生明白，在这个实际问题中，未知量x应同时满足两个条件，从而引入一元一次不等式组的定义．
2．让学生自己在练习本上试着解出此一元一次不等式组的解集，通过同学间相互交流初步得出解集的定义，并通过讨论加以完善．
3．引人数轴后，数与形(数轴上的点)建立了一种对应关系，引导学生重视数轴的作用．
三、知识应用
1．解不等式组
解：解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x＞4.
在数轴上表示不等式①、②的解集如图所示，可知所求不等式组的解集是x＞4.
2．解下列不等式组：
解：解不等式①得x＜1；解不等式②得x＞2.
所以不等式组无解．教师板书，规范解题步骤．
四、讨论交流
1．解不等式组：
2．若不等式组的解集为－1
如图，根据下面给出的四张图，在每张图下的横线上写出恰当的不等式，并写出这个一元一次不等式组的解集．
解集： 解集：
解集： 解集：
六、布置作业
见学生用书课后作业部分．
教学反思
引人数轴后，数与形(数轴上的点)建立了一种对应关系，运用这种联系正是“数形结合”思想的出发点，正确实现“数与形”的转化是解一元一次不等式组的关键．鼓励学生通过实践讨论来解决问题，培养学生归纳总结的能力．提倡借助数轴表示，直观地理解和应用，防止死记硬背，使教与学在和谐、愉悦的氛围中进行．
第9章 多边形
9．1 三角形
9．1.1 认识三角形
教学目标
?知识与技能
1．感受三角形是最基本的几何图形，体会数学在生活中的广泛应用性．会用符号，字母表示三角形，并了解按边的相等关系对三角形进行分类．
2．掌握三角形的高、中线、角平分线的定义中体现出来的性质．
3．会画三角形的高、中线、角平分线．
?过程与方法
1．理解与三角形有关的概念，培养学生的空间观念和推理能力．
2．经历画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线．
?情感、态度与价值观
1．感悟数学分类讨论的思想，培养严谨的数学态度．
2．培养学生乐于动手，肯于实践的精神．
重点难点
?重点
1．与三角形的概念及对三角形的分类．
2．了解三角形的高、中线、角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线．
?难点
1．三角形外角的概念．
2．钝角三角形高的画法．
教学过程
一、创设情境，引入新课
设计意图：通过小学知识，引入新的知识，温故而知新，通过教具观察，引起学生的注意，引发学生的学习兴趣．
教师出示一个用硬纸板剪好的三角形，并提出问题：
小学中我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个定义？学生观察教师出示的教具，然后给出三角形的定义．
师生总结归纳：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
二、探究三角形的有关概念
设计意图：学生能自己学会的知识，教师一定不要讲，要发挥学生的主观能动性，让学生自己动起来，变要我学为我要学，通过学生的自主探究，培养学生的自主学习能力，安排问题则是为了巩固和反馈．
教师布置学生按下面的问题进行自学：(1)三角形的顶点及表示方法；(2)三角形的内角和外角；(3)三角形的边．
之后让学生完成下面的问题：如图中的三角形可表示________它的三边分别是________，顶点A的对边还可以表示为________．
教师关注学生的表示是否规范，正确；然后出示另外已剪好的三角形，各顶点字母与原来不同，通过新三角形让学生巩固刚才的有关概念．
三、探究三角形的分类
设计意图：通过学生的讨论，交流，使学生体验分类方法的原则，不重不漏，标准统一，在学习过程中进一步培养学生的独立学习能力，并培养学生的归纳概括能力．
[问题1]小学中已经学过，如何将三角形进行分类？
[问题2]如何将三角形按边分类？
教师提问题，学生举手回答．教师提示：分类的标准是什么？ 学生回答：按角分类，师生共同概括得出：三角形
教师进一步提出新的问题，让学生学习有关的概念，如：等边三角形，等腰三角形等，然后给出三角形按边分类的方法．
三角形
在这一过程中，教师要注意点拨分类的思想和原则．
四 、探究高的概念及画法
设计意图：通过三角形的面积自然引入高的概念，然后步步紧扣提出如何画高的问题，过程显得自然，紧凑．指出直角三角形的高与画钝角三角形的高是难点，通过学生的动手操作，交流探讨，使学生掌握高的画法，尤其是钝角三角形高的画法．
[问题1]如何求三角形的面积？
[问题2]什么是三角形的高，怎样画三角形的高？教师首先提出问题1，学生举手回答，然后教师进一步提出问题2，引入本节课的第一个概念．
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，如上图：AD是△ABC的BC上的高线．
想一想，一个三角形有几条高？
然后教师要求学生动手画三个不同的三角形，即锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，之后要求学生做出它们的高，然后同学间进行交流．
观察，每一个三角形的三条高有什么位置关系？(三条高交于一点)
教师提出问题：各种三角形的高都分别交于一点吗？学生讨论，交流，然后归纳结果．
二、探究三角形的中线与角平分线的概念及画法
设计意图：将三角形的中线，角平分线与高类比来学习，有助于提高学生对这三个概念的认识与掌握，便于学生理解概念，掌握性质．通过归纳总结，认识高、中线、角平分线间的相同与不同之处．
1．三角形的中线及其画法．
2．三角形的角平分线及其画法．
教师指出三角形中线的定义及角平分线的定义，然后仿照三角形的高的教学过程，安排学生画一画，并相应地提出类似的问题．
学生动手操作，然后交流探讨，师生共同归纳总结：三角形的三条中线都在三角形的内部，且它们交于一点，三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且它们交于一点，三角形的三条高线不一定在三角形的内部，它们也相交于一点．三角形的高、中线、角平分线都是线段．
五、练习巩固
设计意图：补充练习的安排是为了检测学生对本课知识的掌握情况，同时达到应用巩固知识的目的．
(1)将一个三角形纸片剪一刀分成两个三角形，能否使这两个三角形：①都是直角三角形；②都是钝角三角形；③都是锐角三角形．
(2)已知等腰三角形的周长是40cm，且一边长是腰长的倍，求这个等腰三角形的各边长．
六、小结与作业
设计意图：回顾反思，找出差距与不足，形成知识体系．
小结：谈谈你对三角形的认识，通过练习，使学生在图形中认识中线和角平分线的定义，并从中认识相关线段，角之间的关系，拓展学生对中线的认识．
教师引导学生主要从三角形的相关概念和分类方法进行小结．
见学生用书课后作业部分．
教学反思
本节学习了三角形的概念，以及三角形按角和边的分类，让学生学会了用字母去表示三角形，弄清了三角形的各部分名称，利用分类的思想让学生理解三角形的两种分类会举一反三，感悟数学分类讨论的思想，培养严谨的数学态度．
9．1.2 三角形的内角和与外角和
教学目标
?知识与技能
1．了解三角形的外角性质及外角和．
2．学会运用简单的说理来计算三角形相关的角．
?过程与方法
培养学生的实践能力和观察总结能力．
?情感、态度与价值观
在学习过程中，体验主动探究的成功与快乐．
重点难点
?重点
三角形外角的性质与外角和．
?难点
探究三角形的外角性质及外角和．
教学过程
一、复习引入
设计意图：为本节课进一步学习与三角形有关的角作准备，激发学生的学习热情．
什么是三角形的内角？它是由谁组成的？三角形的内角和定理的内容是什么？
教师提出问题，学生举手回答问题．
二、探究三角形外角的性质
设计意图：三角形外角的性质是在三角形内角和定理的基础上得出的，根据教材中的提示，学生能够发现它们之间的关系，学生能学会的教师可以少讲，要充分调动学生的学习主动性；进而进一步提出要求，让学生用证明的方法说明，培养学生的推理论证能力，同时要更严谨的说明三角形外角的性质．
1．教师布置学生自学教材76～78页内容，然后同学间进行交流，讨论，并归纳三角形的外角有什么性质，提出以下问题：你能否归纳一下你发现的性质？你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？
让学生自己先尝试说一说，互相讨论交流，然后安排学生当堂发言，师生共同纠正过程中的不当之处，完成后，师生共同归纳，得出结论：
(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
归纳总结的过程就是让学生说理证明的过程，教师可让学生进一步回答．
2．由以上的证明推理，得出：三角形的外角和等于360°.
三、巩固应用
设计意图：先让学生分析，培养学生的分析图形能力，然后师生共同解决，规范学生的解答过程．继续提出问题，有助于培养学生的发散思维和创新能力．
教师出示教材第78页例1，先让学生进行分析，教师可适当引导学生，应用三角形外角的性质，然后师生共同写出规范的解答过程．
思考：还有没有其他的方法可证明？
四、练习与小结
设计意图：通过练习，有助于学生形成技能，也有助于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况，也有利于培养学生独立自主的学习能力．通过小结，使学生对本节课与上节课的知识相互联系，形成知识体系．
练习：1.三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
2．如果α、β、γ分别是△ABC的∠A、∠B、∠C相邻的外角，α∶β∶γ＝4∶3∶2，则∠BAC的度数为( )
A．20° B．40° C．60° D．80°
3．在一个三角形中，有两个内角相等：①有一个外角等于50°，求这个三角形各内角的度数；②有一个外角等于100°，求这个三角形各内角度数．
教师出示练习，学生完成后举手回答反馈，教师注意对方法思路进行点拨．
小结：谈谈本节课的收获：
教师引导学生从三角形外角的性质以及解决问题的方法思路等方面进行小结．
五、布置作业
见学生用书课后作业部分．
板书设计
一、复习引入
二、探究三角形外角的性质
三、巩固应用
四、练习与小结
五、布置作业
教学反思
本节学习了三角形的内角和与外角和定理．通过学习让学生认真探索到三角形内角和转化成了一个平角，利用平角的意义，得出三角形内角和等于180°，它在以后的几何应用中非常广泛，难点在于理解外角和定理，而且这个定理在应用中有一定的隐含性，学生熟练之后为后面做题带来极大的方便．
9．1.3 三角形的三边关系
教学目标
?知识与技能
通过实践操作，发现三角形的三边关系“三角形任何两边之和大于第三边”的性质，并会利用三角形三边关系解决有关问题，了解三角形的稳定性．
?过程与方法
在探索三角形三边关系的过程中，让学生经历观察、实验、推理、交流等活动，培养学生的推理能力．
?情感、态度与价值观
在学习过程中，培养学生的学习兴趣和良好的与他人沟通能力．
重点难点
?重点
三角形三边关系的应用．
?难点
已知三角形的两边求第三边的范围．
教学过程
一、创设情景，引入新课
设计意图：借助旧的知识，解决新的问题，从学生的探究入手，引起学生的注意，引发学生的学习兴趣．
教师出示探究：画出一个△ABC，假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C，它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？
二、探究三角形三边的关系
设计意图：通过学生的动手操作、交流、讨论，培养学生的合作意识，以及良好的沟通能力．问题的解题思路，一方面涉及方程思想的运用，另一方面涉及分类讨论的思想，教给学生解决问题的技能是教学过程中更应该关注的问题．
1．教师提出问题，学生先画图然后进行讨论，并思考问题，然后教师指定学生回答问题．
(1)小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线：a，从B→C；b，从B→A→C
(2)从B→C路线短．
然后教师进一步提出问题：这条路径为什么是短的？学生举手回答：两点之间，线段最短，然后师生共同归纳得出：AC＋BC>AB，AB＋AC>BC，AB＋BC>AC；即：三角形的两边之和大于第三边，然后教师进一步提出问题：猜一猜：三角形的两边之差与第三边之间还有什么关系？
学生讨论归纳结果：三角形的两边之差小于第三边．
2．三角形三边关系的应用
教师出例题：用一根长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边长是多少？(2)能围成有一边长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
教师利用投影出示例题，然后师生共同分析，教师应当着重从题意和方法两个角度进行分析，然后规范地写出结果，过程中教师应当向学生渗透方程思想和分类讨论的思想方法．
3．了解三角形的稳定性
教师利用折尺让学生折成三角形的样子，然后折成四边形的样子，认识三角形的稳定性．学生认识到三角形的稳定性以后，让学生找出几个生活中利用三角形稳定性的例子．
三、小结反思，巩固练习
设计意图：回顾本节课的知识，形成知识网络，便于学生整合本节课的内容．通过练习巩固本节所学知识，达到掌握知识的目的．
小结：谈谈本节课的收获是什么？
教师引导学