课件35张PPT。第一章
直角三角形的边角关系1 锐角三角函数
（第1课时）1.经历探索刻画梯子倾斜程度的过程，理解正切的概念.
2.了解坡度、坡角的概念，并能用正切进行简单的计算.学习目标重点难点重点：理解正切的概念.
难点：理解正切为什么能够刻画梯子的倾斜程度.生活中的梯子梯子是我们日常生活中常见的物体.情境导入 你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 实例1:如图①②，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？图①图② 实例2:如图③④，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？梯子的铅直高度与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡.比值大的梯子陡.你能设法验证这个结论吗？图③图④ 如图，小明想通过测量AC1及B1C1，算出他们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量AC2及B2C2，算出他们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？
A C2 C1 B2 B1 1知识点正切感悟新知 C2(1)直角三角形A B1C1和直角三角形A B2C2有什么关系?(2) 和 有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?由感性到理性 C2 C1 A B2 B1 A C2 C1 B2 B1 ∵∠A=∠A ，∠AC1B1=∠AC2B2，
∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2. A C2 C1 B2 B1 在直角三角形中，若一个锐角确定,那么这个角对边与邻边的比值也是确定的.归 纳 AB C∠A的对边∠A的邻边tan A∠A的正切在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比随之确定,这个比叫作∠A的正切.记作:tan A.读？思考 梯子的倾斜程度与tan A有关系吗？
（1）tan A是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角（注意构造直角三角形）.
（2）tan A是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.
注意：（3）tan A是一个比值（直角边之比，注意比的顺序）；且tan A ﹥0，无单位.（4）tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的大小无关.议一议：
梯子的倾斜程度与tan B有什么关系？ tan B的值越大，梯子越陡，∠B越大.归 纳(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾
斜角较大的物体，就说它放得更“陡”．
(2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程
度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放
置得越“陡”．例１ 如图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？解：甲梯中，
tan α= . 乙梯中，
tan β＝ .
因为tan β＞tan α，所以乙梯更陡.例2 在△ABC中，∠C=90°，BC=12 cm，AB=20 cm，求tan A和tan B的值.. 解：在△ABC中，∠C＝90°，所以AC= =16(cm),解题小结直角三角形中求锐角正切值的方法：
(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；
(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利
用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义
求解．例3（桂林中考）如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝________．根据题意得∠BCD＝∠CAB，
所以tan ∠BCD＝tan ∠CAB＝解析：答案：解题小结 直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑利
用中间量进行转化，可以是相等的角作为中间量，还
可以利用相似，得到相等的比作为中间量．2知识点坡度和坡角探究如图是某一大坝的横断面.
坡面AB的垂直高度与水平宽度AE的长度之比与α有什么关系？坡面AB与水平面的夹角叫作坡角.正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度：铅直高度与水平宽度的比，记作 i ，也称为坡比.
ABC50 m60 mtan A=5/6例4 以下对坡度的描述正确的是( )
A．坡度是指倾斜角的度数
B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比
C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比
D．坡度是指斜坡的高度与斜坡长度的比
错解分析：概念不清，误以为坡度是一个角度，而猜测
坡度即为倾斜角的度数．
B特别提醒：坡度的概念，一要记住是一个比值而不是角度，二要明确坡度其实就是坡角的正切．解：由勾股定理可知，
AC＝ ＝ ≈192.289(m)，
∴tan ∠BAC＝ ≈ ≈0.286.
所以，山的坡度大约是0.286.例5 如图，某人从山脚下的点A走了 200 m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的 垂直距离为55 m，求山的坡度（结果精确到0.001).
1.判断对错:(1)如图1， tan A= . （ ）(2)如图1， tan B = . （ ）
图1错错ABC随堂练习(４)如图2，tan B= . （ ） 图2(３)如图2，tan A=0.7 m. （ ）错对2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tan A的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定C3.如图，△ABC是等腰三角形，AB=BC,你能根据图中所给数据求出tan C吗？tan C=B AC D 4 1.54. 在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求tan B. tan B=12/55.如图，∠C=90°，CD⊥AB，则
tan B= .CDBDACBCADCD（1）正切的定义：∠A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作tan A，即tan A＝（2）正切与坡度（角）的关系：
坡度就是坡角的正切．
课堂小结（3）数形结合的方法；构造直角三角形的意识. 谢谢！课件20张PPT。第一章
直角三角形的边角关系1 锐角三角函数
（第2课时）北师大数学九年级下册锐角三角函数--正切函数在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比，叫作∠A的正切,记作tan A,即上节课我们学习直角三角形中边角关系的函数是什么?知识回顾如图,我们知道：当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.此时,其他边之间的比值也确定吗?结论:
在Rt△ABC中,如果锐角A确定时,那么∠A的对边与斜边的比,邻边与斜边的比也随之确定.情境引入在Rt△ABC中,锐角A对边与斜边的比叫作∠A的正弦,记作sin A,即 .在Rt△ABC中,锐角A邻边与斜边的比叫作∠A的余弦,记作cos A,即 .锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.感悟新知正弦、余弦、三角函数的定义结论:梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关:
sin A越大,梯子越陡;cos A越小,梯子越陡.如图,梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关吗?探究1.sin A, cos A, tan A是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sin A, cos A, tan A是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；
3.sin A, cos A, tan A是一个比值. 注意比的顺序, 且sin A, cos A, tan A均﹥0,无单位.
4.sin A, cos A, tan A的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.知识梳理例1 如图，在Rt△ABC，∠B=90°，AC=200，sin A=0.6.
求BC的长.老师期望:
请你求出cos A, tan A, sin C, cos C和tan C的值.你敢应战吗??例题探究老师期望:
注意到这里cos A=sin B,其中有没有什么内在的关系?请思考: 在Rt△ABC中, sin A和cos B有什么关系? 你知道吗？我们学习的锐角三角函数（直角三角形边角关系的函数）共有以下三个：
tan A=sin A=cos A=1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
求: sin B,cos B,tan B.本题没有直角三角形，你怎么办？
老师提示:过点A作AD⊥BC于D.
随堂练习随堂练习提示:分别求出AB,AC.3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sin A的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定4.已知∠A,∠B为锐角
(1)若∠A=∠B,则sin A sin B;
(2)若sin A=sin B,则∠A ∠B.C==5.如图, ∠C=90°，CD⊥AB.
sin B= —— = —— = —— .6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cos A的值.老师提示:
模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得？( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )CDBCACABADAC7.如图,根据图示数据求∠A的三角函数值.老师提示:
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.∵在Rt△ABC中，∵AC=4，BC=3，8.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知AC=3,AB=6,求sinA和cosB.老师期望:当再次注意到这里sin A=cos B,其中的内在联系你可否掌握?解：∵在Rt△ABC中，∵AB=6，AC=3，9.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin A= ,
求AC和BC.∵10.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10.
求sin B,cos B.老师提示:
（1）过点A作AD垂直于BC于点D.
（2）求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.1. 如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.2.在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高, AD=4.求:CD,sin C.3.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.
求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系?备用练习5. 在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)AC=25.AB=27.求sin A,cos A,tan A, 和sin B,cos B,tan B.
(2)BC=3,sinA=0.6,求AC 和AB.
(3)AC=4,cosA=0.8,求BC.6.在梯形ABCD中, AD//BC, AB=DC=13, AD=8, BC=18.
求:sin B,cos B,tan B.提示:作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以转化为直角三角形.备用练习谢谢！
