课件15张PPT。第二章
二次函数5 二次函数与一元二次方程
（第1课时）北师大版数学九年级下册学习目标1.理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数的关系；
2.会利用二次函数图象与x轴的交点横坐标解方程.重点难点重点：理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数的关系；
难点：理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.一般式：y=ax2+bx+c (a≠ 0)
顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠ 0)
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠ 0)1.二次函数的形式有哪些？2.一元二次方程的一般形式是什么样的？ 一般形式：ax2+bx+c =0(a≠ 0)
知识回顾(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流. 我们知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h= -5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40 m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么①图象法 8秒落地②解方程-5t2+40t=0(1) h和t的关系式是什么？h=-5t2+40t学习新知(1)每个图象与x轴有几个交点？画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.二次函数与一元二次方程 2个，1个，0个(2) 一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.二次函数与一元二次方程 y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+22个不等实根，2个相等实根，无实数根(3) 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有什么关系?二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.二次函数与一元二次方程 y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1，x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标
分别是 A（ ）
B（ ）x1，0 x2 ，0结论1有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：结论2（1）已知二次函数y=x2-x-6的图象如图所示.图象与x轴有 个交点，交点的横坐标是 ,则方程x2-x-6=0有 个根，方程的根是 .
（2）方程x2-5x+6=0有 个根，它们是 .所以,函数y= x2-5x+6的图象与x轴有 个交点,其交点坐标为 . 2-2和32x=-2和x=32x=2和x=32（2，0）和（3，0） 例题讲解 在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60 m?你是如何知道的?思考能否达到80米？100米呢？1.已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 .9a<92.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x轴下方的条件是（ ）
A.a＜0 b2-4ac≤0 B.a＜0 b2-4ac＞0
C.a＞0 b2-4ac＞0 D.a＜0 b2-4ac＜0D随堂练习一个关系：二次函数图象与一元二次方程根的关系:两种思想：函数与方程互相转化的思想；数形结合思想. 函数
y=ax2+bx+c(a≠0)方程
ax2+bx+c=0(a ≠0)图象与x轴交点根个数横坐标的值课堂小结课本P53页习题2.10
第3，4题课后作业谢谢！课件25张PPT。第二章
二次函数5 二次函数与一元二次方程
（第2课时）北师大版数学九年级下册学习目标1.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集； （重点）
2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.（难点）问题：上节课我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)之间的关系，那么如何利用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢?回顾与思考例1：求一元二次方程 的近似根（精确到0.1）. 分析：一元二次方程 x2-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x2-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.讲授新课解：画出函数 y=x2-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间. 先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
同理可得另一近似值为x2≈2.4.(1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象；(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；(可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值)(3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根.利用图象法求一元二次方程的近似根例1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( )
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1B例题讲解 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．例2 求一元二次方程 的近似根（精确到0.1）. 分析：令y=x2-2x-1-3=x2-2x-4，则x2-2x-1=3的根就是抛物线 y=x2-2x-4 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标. 解：y=x2-2x-4的图象如图所示.由图象可知方程的一根在3到
4之间，另一根在-1到-2之间.
(1)先求3到4之间的根.利用计算器进行探索：因此，x=3.2是方程的一个近似根.
(2)可类似地求出另一个根为x=-1.2.例2变式：你还能利用y=x2-2x-1 的图象求一元二次方程
的近似根吗（精确到0.1）？ 分析：在y=x2-2x-1的图象中作直线y=3，再用图象法求出直线与抛物线交点的横坐标，则横坐标的近似值即为所求方程的近似根.y=3 一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标 . 既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=0的根是 ___________;
不等式ax2+bx+c>0的解集是___________;
不等式ax2+bx+c<0的解集是_________.
yx1=-1， x2=3x<-1或x>3-1方程ax2+bx+c=2的根是 ______________;
不等式ax2+bx+c>2的解集是___________;
不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.
3-1Ox2(4,2)(-2,2)x1=-2， x2=4x<-2或x>4-20（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______.
1(2,0)x=2问题3 如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么
函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个交点；
不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？0解：(1)当a>0时, ax2+bx+c<0无解；(2)当a＜0时, ax2+bx+c<0的解集是一切实数.试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:
(1) ①-x2+x+2=0;
②-x2+x+2>0;
③-x2+x+2<0.
(2) ①x2-4x+4=0;
②x2-4x+4>0;
③x2-4x+4<0.
(3) ①-x2+x-2=0;
②-x2+x-2>0;
③-x2+x-2<0.x1=-1 , x2=2-1 ＜ x＜2x1＜-1 , x2＞2y=x2-4x+4 x=2 x≠2的一切实数 x无解y=-x2+x-2 x无解 x无解 x为全体实数要点归纳有两个交点x1,x2 (x1＜x2)有一个交点x0没有交点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系y＜0，x1＜x＜x2；
y＞0，x2＜x或x＜x1 y＞0，x1＜x＜x2；
y＜0，x2＜x或x＜x1y＞0,x0之外的所有实数；y＜0，无解
y＜0,x0之外的所有实数；y＞0，无解
y＞0，所有实数；
y＜0，无解
y＜0，所有实数；
y＞0，无解
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4D3.用图象法求一元二次方程 的近似根（精确到0.1）. 解：画出x2+x-1=0的图象，如图所示，由图象知，方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在0到1之间.通过计算器估算，可得到抛物线与x轴交点的横坐标大约为
-1.6和0.6.即一元二次方程的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6.解：（1）x1=2,x2=4;（2）x<2或x>4;（3）2判断方程根的近似值一元二次方程的根一元二次不等式的解集课堂小结谢谢！
