课件20张PPT。第三章
圆圆周角和圆心角的关系
（第1课时）
北师大版数学九年级下册学习目标1.利用圆周角的定义判断一个角是否是圆周角.
2.理解并掌握圆周角与圆心角的关系. 当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC,仅从射门角度大小考虑，谁相对于球门的角度更好呢？情境导入观察图中的∠BAC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗?特征：①角的顶点在圆上.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.②角的两边都与圆相交.讲授新课1.判断下列各图形中的角是不是圆周角.图１图２图３图４图５2.指出图中的圆周角∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠BAC ∠OAC ∠CBO ∠ABC××√××【学以致用】∠ACB ∠BAC ∠ABC
合作竞学议一议：
1.在⊙O上画出几个AC弧所对的圆周角，这些圆周角与圆心角∠AOC的大小有什么关系？
2.改变∠ABC的度数，你得到的结论还成立吗？
3.圆周角与圆心有几种不同的位置关系呢？
请同学们大胆的提出你的猜想！猜想:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半圆周角和圆心角的关系议一议：圆心在圆周角的边上圆心在圆周角内圆心在圆周角外解:∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.你能写出这个命题吗?圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:你能写出这个命题吗?圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:你能写出这个命题吗?圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半ABC3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?●
O圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
例1 求圆中角x的度数.AOx120° C C D B例2 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆
心，C，D为半圆上的两点，∠COD=50°，
则∠CAD=_______.25o答案：35° 120°例题讲解 当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC,这三个角的大小有什么关系?解决问题【规律方法】
解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC =70°，则∠AOC的度数等于（ ）
A.140° B.130°
C.120° D.110°答案:A 课堂检测2.如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠C=15°,则∠BOC的度数为（ ）
A.15° B. 30°
C. 45° D.60° 答案:B BCAO3.如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ ）答案:D A.60°B.50°C.40°D.30°4.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°答案:A 学而不思则罔，思而不学则殆！希望同学们每天都能有所思、有所想，在学思中前行，在前行中享受幸福！【教师寄语】谢谢！课件25张PPT。第三章
圆圆周角和圆心角的关系
（第2课时）
北师大版数学九年级下册学习目标1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识.
2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用. (重点)复习引入问题1 什么是圆周角？ 特征：① 角的顶点在圆上.② 角的两边都与圆相交. 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.问题2 什么是圆周角定理？ 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.讲授新课思考：如图，AC是圆O的直径，则∠ADC= ，
∠ABC= .90°90° 推论：直径所对的圆周角是直角.反之，90°的圆周角所对的弦是直径.问题 你能确定圆形笑脸的圆心吗？利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到
两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心. 例1 如图，⊙O的直径AC为10 cm，弦AD为6 cm.
（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB，BC的长．B例题讲解在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(2)∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°.
∵BD平∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.C练一练 四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么，像这样的四边形叫作圆内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆.思考：圆内接四边形有什么特殊的性质吗？如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆. (2)当ABCD为一般四边形时，
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 . ∠A+∠C=180o，∠B+∠D=180o(1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 . ∠A+∠C=180o，∠B+∠D=180o性质探究证明：圆内接四边形的对角互补.已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆. 求证∠BAD+∠BCD=180°.证明：连接OB，OD.根据圆周角定理，可知由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°.试一试圆内接四边形的对角互补.要点归纳CODBA∵∠A＋∠DCB＝180°，E∠DCB＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有何关系？想一想1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= .
2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= . 70o100o90o练一练3. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是( )
A．120° B．100°
C．80° D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，
∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.A例2 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.例题讲解1.如图，AB是⊙O的直径, C ，D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.50°2.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于 （ ）
A.70° B.110°
C.90° D.120°B随堂练习3.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°，
∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°，
∴∠A=180°-∠C=50°. （圆内接四边形对角互补）变式：已知∠OAB等于40°,求∠C 的度数. ABCOD4.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（ ）A．3 B． C． D．2A5.如图，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
(1)试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明.解：(1)AB＝AC.
证明如下：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC.
∵BD＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC.(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．
理由如下：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.
∵△ABC为正三角形，
∴AE＝EC，
即E是AC的中点．圆周角定理推论2推论3圆内接四边形的对角互补.直径所所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径课堂小结谢谢！
