第三章 三角恒等变换 1. 同角三角函数的基本关系
学习目标
1.知识与技能
（1）理解并掌握同角三角函数的基本关系.
（2）会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值．
2.过程与方法
进一步运用数形结合的思想解决有关求值问题.
3.情感、态度与价值观
在解决三角函数化简问题的过程中，注意培养思维的灵活性；在恒等式证明的过程中，注意培养分析问题的能力.
学习重点：同角三角函数的基本关系
学习难点：（1）已知某角的一个三角函数值，求他的其余各三角函数值时正负号的选择；
（2）三角函数式的化简；（3）证明三角恒等式
学习方法：以讲学稿为依托的多媒体辅助教学方式。
学习过程
一、课前预习指导：仔细阅读课本111----114页内容，完成以下预习检测
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：____________________.
(2)商数关系：____________________________．
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：
sin2α＝__________；cos2α＝__________；
(2)tan α＝的变形公式：
sin α＝___________；cos α＝________.
二、新课学习
问题探究一 利用任意角三角函数的概念推导平方关系和商数关系
问题探究二 已知一个角的三角函数值求其余两个三角函数值
例1 已知cos α＝，且α是第四象限角，求和tan α.
1.如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么只有一组解．
变式 （1）已知，则 α＝_______，tan α＝_____.
（2）已知tan α＝-2，则 α＝_______， α＝_____.
2.如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值的正负确定角可能在的象限，然后求解，这种情况一般有两组解．
例2 已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)； (2) sin2α-3sin αcos α-5cos2α.
变式 已知tan α＝3，求下列各式的值．
(1)；(2)2sin2α－3sin αcos α.
例3 证明三角恒等式化简与证明
＝
例4 三角函数式求值
已知－π＜x＜0，sinx＋cosx＝.
(1)求sinxcosx的值并指出角x所处的象限；
(2)求tanx的值．
三、当堂检测
1．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________.
2．若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝________.
3．已知sin α＝，求cos α，tan α.
4．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是________．
四、课堂小结
五、课后作业
六．板书设计
七．教（学）后反思
(共55张PPT)
说课稿
同角三角函数的基本关系是北师大版必修4第三章第一节，本节课主要是对同角三角函数基本关系研究以及相关方法、思想的渗透学习,是求三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，起承上启下的作用，同时，它体现的数学思想方法在整个中学学习中起重要作用。
单位圆三角函数线
同角三角函数基本关系
应用角度
基本关系式
解决数学问题的常用工具
培养学生恒等变形能力和渗透数形结合思想的重要素材
学习和差公式、二倍角公式等其它数学知识的重要基础
学生的认知情况
很有好奇心,跃跃欲试,学习热情高涨
恒等式证明思路固化,缺乏多样性
学生基础薄弱,自悟能力相对差
能根据三角函数定义，利用单位圆，导出同角三角函数基本关系。
通过自主合作学习，熟练选取同角三角函数的两种关系的不同变形进行三角函数化简、求值与证明。
培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式，培养学生逻辑推理能力，提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力。
让学生亲身经历数学的研究过程，以培养其的自主学习、合作学习意识，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
同角三角函数基本关系 的推导
及应用。
三角函数式的熟练转化,灵活选取。
*
学生
教师
开放式教学
启发式教学
引导教学法
自主学习法
合作学习法
探究学习法
教学手段
阅读教材
粉笔书写
板书布局
类比
多媒体投影
计算机辅助
快捷、形象、生动
完整、清晰
小组合作
及时训练
总结反思
提高认识
自主学习
推导公式
典例分析
巩固练习
激发兴趣
感知公式
约15分钟
约20分钟
约5分钟
约5分钟
创设情境
引入课题
总结反思
布置作业
探究新知
得到公式
本阶段通过研究有关锐角三角函数例子，引导学生用特殊到一般的思维来处理问题，通过观察思考，感知同角三角函数的基本关系。并能同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神．
2、思考：
问题1：从以上的过程中，你能发现什么一般规律？
问题2：你能否用代数式表示这两个规律？
引导学生用特殊到一般的思维来处理问题，
通过观察思考，感知同角三角函数的基本关系
设计意图
在本阶段中，引导学生由已知知识解决未知知识，为使学生充分感受数学知识的发生过程.我设计了三个环节, 分别完成对同角三角函数基本关系的三次认识。
回忆任意角三角函数的定义？
学生回答：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）则：
sin =y；cos =x，
引导学生注意：单位圆中
所以： sin? +cos? = ； =
引导学生运用已知知识解决未知知识，
体会数学知识的形成过程。
设计意图
注意“同角”与
角的形式无关重要
突破难点
设计意图
辨析 判断下列等式是否成立：
思考：你能将两个公式变形么？
（师生活动：对于公式变式的认识，
强调灵活运用公式的几大要点。）：
对这些关系式
不仅要牢固掌握，
还要能灵活运用
（正用、反用、变形用）
设计意图
本阶段的教学主要是通过小组学习对例题和练习思考交流。为了使学生达到对知识的深化理解和巩固提高的效果，我特地设计了一组即时训练题，并且把课本的例题熔入题中，通过学生的观察尝试，讨论研究，教师引导来巩固新知识。
例1
设计意图
变式2
变式3
设计意图
.已知tan
=2，求
的值
设计意图
设计意图
本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈，深化对数学思想方法的认识，为后续学习打好基础．
能力层面
设计意图：巩固所学公式，并灵活运用；分层设计，题1是在课堂例题的延伸，题2是在课堂上没讲的题型，检测学生对知识的迁移能力。
1、已知
，求
、
2、
3、
板书设计
同角三角函数基本关系式
一、公式 二、例题 例2
1、 例1
2、 变式1 例3
公式变形：
练习
变式2
变式3 三：总结
教学建议
（一）教学中应注意的问题
1、教学中，教师要放下架子，蹲下身子；要用新的理念活化自己的角色。
2、实施新课程前要做到六有：①有个人学习义务教育阶段《数学课程标准》和初中数学教材的体会。②要了解中外数学课程改革的有关情况，有个人读书笔记。③有课改实验研究计划，有课改实验操作的方法和步骤，有综合课的教学活动计划。④有课改案例分析报告，⑤有学生成长评价卡。⑥有课改建议。
3、注意小学到初中的过渡。
4、备课中，教师不要被一家教材束缚，要结合学生实际，吸取多家教材之长，把教材使用校本化。
5、教学中，教师要低起点，小梯度，密台阶，分层次，多训练，勤总结。将知识进行转化，变化，深化，分化，类化，用活课本。做好知识的反馈、矫正和落实。
同角三角函数
基本关系
新旧知识的联系
课后安排
教师引导学生主体
公式开方符号
检测反馈
例题练习
结束语
教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导
——陶行知
各位专家、老师，以上我仅从说教材，说教法，说学法，说教学过程上,说明了“教什么”和“怎么教”，阐明了“为什么这样教”。希望各位专家领导对本堂说课提出宝贵意见,不吝指教.
(共30张PPT)
思考：
问题1：从以上的过程中，你能发现什么一般规律？
问题2：你能否用代数式表示这两个规律？
引导学生用特殊到一般的思维来处理问题，
通过观察思考，感知同角三角函数的基本关系
设计意图
回忆任意角三角函数的定义？
学生回答：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）则：
sin =y；cos =x，
引导学生注意：单位圆中
所以： sin? +cos? = ； =
引导学生运用已知知识解决未知知识，
体会数学知识的形成过程。
设计意图
注意“同角”与
角的形式无关重要
突破难点
设计意图
辨析 判断下列等式是否成立：
思考：你能将两个公式变形么？
（师生活动：对于公式变式的认识，
强调灵活运用公式的几大要点。）：
对这些关系式
不仅要牢固掌握，
还要能灵活运用
（正用、反用、变形用）
设计意图
例1
设计意图
.已知tan
=2，求
的值
设计意图
设计意图：巩固所学公式，并灵活运用；分层设计，题1是在课堂例题的延伸，题2是在课堂上没讲的题型，检测学生对知识的迁移能力。
1、已知
，求
、
2、
3、
板书设计
同角三角函数基本关系式
一、公式 二、例题 例2
1、 例1
2、 变式1 例3
公式变形：
练习
变式2
变式3 三：总结
能力层面
结束语
教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导
——陶行知
各位专家、老师，以上我仅从说教材，说教法，说学法，说教学过程上,说明了“教什么”和“怎么教”，阐明了“为什么这样教”。希望各位专家领导对本堂说课提出宝贵意见,不吝指教.
《同角三角函数的基本关系》说课稿
今天我说课的题目是《同角三角函数的基本关系》，下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教法与学法、教学过程设计和教学效果反思这几个方面来阐述我的设计与想法。
一、教材分析
教材的地位与作用《同角三角函数的基本关系》是学习三角函数定义后安排的一节继续深入学习的内容,是求三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，起承上启下的作用，同时，它体现的数学思想方法在整个中学学习中起重要作用。
二、教学目标的及重难点
1．教学目标
知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）证明简单的三角恒等式。
过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生用旧知识解决新问题的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
2.教学重点和难点
重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。
难点： 同角三角函数函数基本关系在解题中的灵活选取及使用公式时由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论。
三、学情分析
学生刚开始接触三角函数的内容，学习了任意角的三角函数，对这一方面的内容既感到新鲜又感到陌生，很有好奇心，跃跃欲试，学习热情高涨。
四、教法分析与学法分析
1．教法分析：采取诱思探究性教学方法，在教学中提出问题，创设情景引导学生主动观察、思考、类比、讨论、总结、证明，让学生做学习的主人，在主动探究中汲取知识，提高能力。2．学法分析：从学生原有的知识和能力出发,在教师的带领下，通过合作交流,共同探索,逐步解决问题.数学学习必须注重概念、原理、公式、法则的形成过程，突出数学本质。
五、教学过程设计
(一)创设情境 引入课题
本阶段通过研究有关锐角三角函数例子，引导学生用特殊到一般的思维来处理问题，通过观察思考，感知同角三角函数的基本关系。并能同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神．
设计意图：从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换
2.思考：
问题1：从以上的过程中，你能发现什么一般规律？
问题2：你能否用代数式表示这两个规律？
引导学生用特殊到一般的思维来处理问题，通过观察思考，感知同角三角函数的基本关系
设计意图：引导学生用特殊到一般的思维来处理问题，通过观察思考，感知同角三角函数的基本关系。
(二)自主学习 推导公式
1．证明公式：（同角三角函数基本关系）
平方关系
商数关系
回忆：任意角三角函数的定义？
学生回答：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）则：回忆任意角三角函数的定义？
学生回答：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）则：
引导学生注意：单位圆中
所以：
在本阶段中，引导学生由已知知识解决未知知识，为使学生充分感受数学知识的发生过程.我设计了三个环节, 分别完成对同角三角函数基本关系的三次认识。
借助定义，直观感知。本环节从学生熟悉的三角函数的定义出发,引导学生的直观感知，完成对同角三角基本关系的第一次认识.
辨析讨论，深化认识。
本环节将同角三角函数基本关系研究从研究推导过渡到研究公式的本质，由感性认识上升到理性认识,完成对公式的第二次认识．辨析 判断下列等式是否成立
设计意图：注意“同角”与角的形式无关重要，突破难点
公式变形灵活运用
本环节引导学生归纳出同角三角函数基本关系的变形，使学生经历从抽象到抽象,从一般到一般的转化过程,完成对公式的第三次认识.
设计意图：
对这些关系式，不仅要牢固掌握， 还要能灵活运用（正用、反用、变形用
(三) 小组合作、及时训练
本阶段的教学主要是通过小组学习对例题和练习思考交流。为了使学生达到对知识的深化理解和巩固提高的效果，我特地设计了一组即时训练题，并且把课本的例题熔入题中，通过学生的观察尝试，讨论研究，教师引导来巩固新知识。
例1
思考1：条件“α是第四象限的角”有什么作用？
思考2：如何建立cosα与sinα的联系？
如何建立他们与tanα的联系？
思考：本题与例1的主要区别在哪儿？如何解决这个问题？
设计意图：通过例题与变式使学生掌握基本关系式的应用
已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值，并在求三角函数值的过程中注意由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论，
培养学生分类讨论思想。
关于sinα，cosα的齐次式的求值问题
例2 已知tanα＝2，则
(1)＝__________；
(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝__________.
思维启迪：(1)由于分式的分子和分母均是关于sinα，cosα的一次齐次式，所以可将分子和分母同除以cosα(因为cosα≠0)，然后将tanα＝2代入求解即可．(2)将已知式视为分母为1＝sin2α＋cos2α的分式，于是分子和分母均为关于sinα，cosα的二次齐次式．由于cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，化为只含tanα和tan2α的式子即可求值．
3．总结反思、提高认识。本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈，深化对数学思想方法的认识，为后续学习打好基础
4．
作业布置
设计意图：巩固所学公式，并灵活运用；分层设计，题1是在课堂例题的延伸，题2是在课堂上没讲的题型，检测学生对知
识的迁移能力。
5板书设计：采用简明式板书设计，突出应用
同角三角函数基本关系式
一、公式 二、例题 例2
1、 例1
2、 变式1 例3
公式变形：
练习
变式2
变式3 三：总结
课时提升作业
同角三角函数的基本关系
[来源:学科网ZXXK]
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2014·南昌高一检测)若sinα=,则sin4α-cos4α的值为 ( )
A.- B.- C. D.
【解析】选B.由sinα=,得sin2α=,cos2α=,
sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)
=sin2α-cos2α=-=-.
2.(2014·咸阳高一检测)已知tanα=-,则= ( )
A.9 B.10 C. D.
【解析】选D.因为tanα==-,
所以sinα=-cosα.
又由sin2α+cos2α=1知cos2α=1,
cos2α=,所以=.
【一题多解】==tan2α+1=+1=.
3.(2014·黄山高一检测)已知<θ<π,sin=-,则tan(π-θ)的值为
( )
A. B. C.- D.-
【解析】选B.sin=cosθ=-,
又<θ<π,所以sinθ==.
tan(π-θ)=-tanθ=-=-=.
4.(2013·潍坊高一检测)已知sinα,cosα是方程3x2-2x+a=0的两根,则实数a的值为 ( )
A. B.- C. D.
【解题指南】利用根与系数的关系可得:
因为求a的值,应根据sin2α+cos2α=1再结合以上两式,得到关于a的方程.但注意求出的a必须满足原方程有两个根,即方程的判别式Δ≥0.
【解析】选B.由Δ≥0知,a≤.结合选项,本题即可选B,若没有注意到选项,则继续以下解法:
又[来源:学科网ZXXK]
故sinαcosα=-=,
所以a=-.
5.(2014·重庆高一检测)已知sinθ=,cosθ=,则tanθ=
( )
A. B.±
C.- D.-或-
【解题指南】先由sin2θ+cos2θ=1求m的值,再求tanθ.
【解析】选C.由sin2θ+cos2θ=1,得m=8或0,
又θ∈,所以sinθ>0,cosθ<0,
因此m=8,此时sinθ=,cosθ=-,
所以tanθ==-.
【误区警示】本题易忽视θ∈从而得到m=8或0两个值,而误选D.
6.+-所有可能的值组成的集合为 ( )
A.{-3,1} B.{1,3}
C.{-3,-1,1} D.{-1,1,3}
【解题指南】考虑x所在的象限,把所有可能都要考虑到,进行分类讨论,求出所有的值.
【解析】选A.记f(x)=+-=+-,
(1)当x在第一象限时,
f(x)=+-=1.
(2)当x在第二象限时,
f(x)=+-=1.
(3)当x在第三象限时,
f(x)=+-=-3.
(4)当x在第四象限时,
f(x)=+-=1.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·安庆高一检测)已知α为第二象限的角,sinα=,则tan(3π+α)= .
【解析】由已知得cosα=-=-=-.
tan(3π+α)=tanα===-.
答案:-
8.已知tanα=2,则sin2α-sinαcosα= .
【解析】原式====.
答案:
【变式训练】已知tanα=,
(1)求的值.
(2)求2sin2α-3sinαcosα+5cos2α的值.[来源:Z|xx|k.Com]
【解析】(1)因为tanα=,所以cosα≠0,
将的分子和分母同时除以cosα,
则===0.
(2)2sin2α-3sinαcosα+5cos2α
=
==.
9.若α∈[0,2π)且+=sinα-cosα,则α的取值范围是 .
【解析】因为+=|sinα|+|cosα|=sinα-cosα,所以故α∈.
答案:
【变式训练】(2012·辽宁高考改编)已知sinα-cosα=,α∈(0,π),则
tanα= .
【解析】将等式sinα-cosα=两边平方,得到2sinαcosα=-1,整理得1+
2sinαcosα=0?sin2α+cos2α+2sinαcosα=0,
所以(sinα+cosα)2=0,所以sinα+cosα=0.
由sinα-cosα=和sinα+cosα=0,
解得sinα=,cosα=-,
故tanα==-1.
答案:-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.求证:=.
【证明】左边===
==
==右边,
即原式成立.
11.(2014·西安高一检测)已知=2,求下列各式的值:
(1).(2)sin2α-2sinαcosα+1.
【解析】由=2,得sinα=3cosα.
所以tanα=3.
(1)方法一:原式===.
方法二:原式=
===.
(2)原式=+1
=+1=+1=.
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2014·安庆高一检测)若tanα=,则sinα·cosα的值为 ( )
A.± B. C. D.±
【解析】选B.原式====.
2.(2013·阜阳高一检测)若sinθ+cosθ=2(sinθ-cosθ),则sin(θ-π)sin= ( )
A. B.- C.- D.
【解析】选C.根据题意,由于sinθ+cosθ=2(sinθ-cosθ),所以=2,所以tanθ=3,
则sin(θ-π)sin=-sinθcosθ==-=-.
3.(2014·南昌高一检测)函数y=-sin2x-3cosx的最小值是 ( )
A.- B.-2 C. D.-
【解析】选A.y=-(1-cos2x)-3cosx=cos2x-3cosx+=-2,
又cosx∈[-1,1],
所以当cosx=1时,ymin=-2=-.
【变式训练】如果|x|≤,那么函数f(x)=cos2x+sinx最小值为 .
【解析】函数f(x)=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-+,
因为|x|≤,所以-≤x≤,
所以-≤sinx≤,
所以当sinx=-时,取最大值,
此时,函数f(x)有最小值.
答案:
4.(2014·鞍山高一检测)若cosα+2sinα=-,则tanα等于 ( )
A. B.2 C.- D.-2
【解析】选B.由cosα+2sinα=-,两边平方可得cos2α+4sinα·cosα+
4sin2α=5,那么cos2α+4sinα·cosα+4sin2α=
===5,
即tan2α-4tanα+4=(tanα-2)2=0,解得:tanα=2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2014·汉中高一检测)已知sinαcosα=,π<α<,则sinα+cosα= .
【解析】由π<α<π,得sinα<0,cosα<0,
所以sinα+cosα=-=-=-.[来源:学科网]
答案:-
6.(2014·淮南高一检测)已知f(x)=,若α∈,则f(cosα)+
f(-cosα)可化简为 .
【解析】因为α∈,所以f(cosα)+f(-cosα)=+=
+==.
答案:
【拓展延伸】化简的技巧与方法
(1)技巧:化简就是将表达式经过某种变形,从而使结果尽可能简单,也就是项数尽可能少,次数尽可能低,函数的种类尽可能少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定要求值.[来源:Zxxk.Com]
(2)方法:主要是公式的正用、逆用,所谓逆用公式sin2α+cos2α=1,实质就是“1”的三角代换“1=sin2α+cos2α”“1=tan”等,“1”的三角代换在三角函数式的恒等变形中有着广泛的应用.
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2014·南京高一检测)已知角θ的终边上有一点P(x,-1)(x≠0),且tanθ=-x.
(1)求sinθ,cosθ的值.
(2)求的值.
【解析】(1)因为θ的终边过点(x,-1)(x≠0),
所以tanθ=-,又tanθ=-x,
所以x2=1,所以x=±1.
当x=1时,sinθ=-,cosθ=;
当x=-1时,sinθ=-,cosθ=-.
(2)当x=1时,tanθ=-1,==-.
当x=-1时,tanθ=1,==.
