2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修1学案：第3章3.23.2.1 　对数的概念Word版含解析

3.2　对数函数
3.2.1　对　数
第1课时　对数的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数的概念．(重点)
2.能熟练地进行指数式与对数式的互化．(重点)
3.掌握常用对数与自然对数的定义.
通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理和数学运算的数学核心素养.
1．对数
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数
通常将以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log10N，简记为lg_N.
3．自然对数
以e为底的对数称为自然对数．其中e＝2.718 28…是一个无理数，正数N的自然对数logeN，一般简记为ln_N.
4．几个特殊对数值
(1)loga1＝0，logaa＝1，loga＝－1.(其中a＞0且a≠1)．
(2)对数恒等式：a＝N(a>0，a≠1，N>0)．
(3)零和负数没有对数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(　　)
(2)对数式log32与log23的意义一样． (　　)
(3)对数的运算实质是求幂指数． (　　)
(4)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立． (　　)
(5)lg 10＝ln e＝1.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
[提示]　(1)－2不能作底数；(2)log2 3与log3 2底数和真数均不同，意义不一样；(4)a>0且a≠1.
2．计算：log3 9＝________，2＝________.
2　3　[log3 9＝2,2＝3.]
3．(1)将log2 32＝5化成指数式，将3－3＝化成对数式；
(2)已知log4x＝－，求x；
(3)已知log2(log3x)＝1，求x；
(4)求log(3＋2)．
[解]　(1)25＝32，log3＝－3.
(2)∵log4x＝－，∴x＝4－＝2－3＝.
(3)∵log2(log3x)＝1，∴log3x＝21＝2，∴x＝32＝9.
(4)设y＝log(3＋2)，则(－1)y＝3＋2＝(＋1)2＝(－1)－2，则y＝－2，即log(3＋2)＝－2.
对数的概念
【例1】　使对数log2a－2(10－4a)有意义的a的取值范围是________．
思路点拨：根据对数中底数和真数的取值范围求解．
∪　[要使log2a－2(10－4a)有意义，则?1根据对数的定义，应满足底数大于0且不为1，真数大于0，列不等式组即可.
1．(1)使loga (3a－2)有意义的a的取值范围是________．
(2)使log(－3x＋6)有意义的x的取值范围是________．
(1)　(2){x|x<2且x≠0}　[(1)令?a>且a≠1.
(2)令?x<2且x≠0.]
指数式与对数式的互化
【例2】　(1)将下列各指数式改写成对数式：
①24＝16；②3－3＝；③5a＝20；④＝0.45.
(2)将下列各对数式改写成指数式：
①log16＝－4；②log2128＝7；
③lg 0.01＝－2；④ln 10＝2.303.
思路点拨：利用ax＝N?x＝loga N(a>0且a≠1)进行互化．
[解]　(1)①24＝16?log216＝4.
②3－3＝?log3＝－3.
③5a＝20?log520＝a.
④＝0.45?log0.45＝b.
(2)①＝16.
②27＝128.
③10－2＝0.01.
④e2.303＝10.
1．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a>0，a≠1，N>0时，才有ax＝N?x＝logaN.
2．对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：
2．下列指数式与对数式的互化正确的序号是________．
①N＝a2与logNa＝2；
②log4＝4与()4＝4；
③＝64与log64＝－；
④logx＝z与xz＝y.
②④　[①N＝a2?loga N＝2(a>0且a≠1)；
③＝64?log64＝－3.]
3．设a＝log3 7，b＝log3 28，则32a－b＝________.
　[由题知3a＝7,3b＝28，
∴32a－b＝＝＝＝.]
解指数、对数方程
[探究问题]
1．方程x＝42，x＝33的解是什么？如何解x＝ab型的方程．
[提示]　x＝42＝16，x＝33＝27，
解x＝ab时按幂的运算法则计算即可．
2．方程x2＝4(x>0)，x3＝64的解是什么？如何解xk＝b(k∈Z)．
[提示]　x2＝4，∴x＝＝2，
x3＝64，∴x＝＝4，
xk＝b，∴x＝
即可通过开方运算求解．
3．方程2x＝8的解是什么？2x＝7呢？如何解ax＝b(a>0，a≠1)．
[提示]　∵23＝8，∴2x＝8的解为x＝3，
2x＝7，∴x＝log2 7，
ax＝b，x＝loga b即将指数式化为对数式，将问题转化为计算对数值．
【例3】　解方程：
(1)9x＝27；(2)ex＝e2；(3)5＝25；
(4)log2(log3(log4x))＝0；(5)logx16＝－4；
(6)x＝－ln e－3.
思路点拨：利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解．
[解]　(1)9x＝27，∴(32)x＝33，即32x＝33，
∴2x＝3，∴x＝.
(2)∵ex＝e2，∴x＝2.
(3)5＝2x－1＝25，∴x＝13.
(4)∵log2(log3(log4 x))＝0，∴log3(log4 x)＝20＝1，
∴log4 x＝31＝3，∴x＝43＝64.
(5)∵x－4＝16，∴＝16＝24，∴＝±2，∴x＝±.
又x>0，∴x＝.
(6)x＝－ln e－3，∴－x＝ln e－3，∴e－x＝e－3，
∴－x＝－3，∴x＝3.
解指数、对数方程时应注意：
(1)将对数式转化为指数式，构建方程转化为指数问题．
(2)利用幂的运算性质和指数函数的性质计算求解．
(3)x的取值范围是否在指对数式的互化中发生了改变．
4．求下列各式中的x值．
(1)log (3x2＋2x－1)＝1；(2)lg 0.001＝x；(3)logx 8＝3；(4)2＝.
[解]　(1)由题知2x2－1＝3x2＋2x－1，得x＝0或x＝－2，
当x＝0时，2x2－1＝－1<0，∴x≠0，
当x＝－2时，符合题意，∴x＝－2.
(2)10x＝0.001＝10－3，∴x＝－3.
(3)x3＝8，∴x＝＝2.
(4)2＝x2＝，∴x＝±.
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)a＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
C　[①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．]
2．在N＝log(10－b)(b－2)中，实数b的取值范围是________．
(2,9)∪(9,10)　[令∴23．已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.
12　[∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3.
∴a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12.]
4．求值：
(1)23－log2 3；(2)eln 2＋ln 5；
(3)3＋3；(4)()．
[解]　(1)原式＝23÷2＝8÷3＝.
(2)原式＝eln 2·eln 5＝2×5＝10.
(3)∵3＝，3＝，
∴原式＝＋＝.
(4)原式＝(()2)＝2
＝＝＝3.