2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修2学案：第1章1.31.3.1　空间几何体的表面积Word版含解析

1.3　空间几何体的表面积和体积
1.3.1　空间几何体的表面积
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的几何特征．(重点)
2.了解柱、锥、台的表面积的计算公式(不要求记忆公式)．(易错点)
3.会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积．(重点、难点)
通过学习本节内容来提升学生的直观想象、数学运算核心素养.
1．几种特殊的多面体
(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．
(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
(3)正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．
(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．
2．几种简单几何体的侧面展开图与侧面积
几何体
直观图
侧面展开图
侧面积
直(正)棱柱
S直(正)棱柱侧＝ch
正棱锥
S正棱锥侧＝ch′
正棱台
S正棱台侧＝(c＋c′)h′
圆柱
S圆柱侧＝cl＝2πrl
圆锥
S圆锥侧＝cl＝πrl
圆台
S圆台侧＝(c＋c′)l＝π(r＋r′)l
思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？
提示：S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl.
1.思考辨析
(1)棱长都相等的长方体是正方体． (　　)
(2)有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱． (　　)
(3)有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱． (　　)
(4)底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积为________．
a2　[如图，在正三棱锥S-ABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连结AO并延长与BC相交于点M，连结SM，SM即为斜高h′，在Rt△SMO中，h′＝ ＝a，所以侧面积S＝3××a×a＝a2.]
3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于__________．
2π　[以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r＝1，高h＝1，所以侧面积S＝2πrh＝2π.]
4．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为__________．
6π　[S＝2π×1×2＋2π×12＝6π.]
棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积
【例1】　正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积．
思路探究：由S侧与S底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
[解]　如图，设PO＝3，PE是斜高，
∵S侧＝2S底，
∴4··BC·PE＝2BC2.
∴BC＝PE.
在Rt△POE中，PO＝3，OE＝BC＝PE.
∴9＋＝PE2，
∴PE＝2.
∴S底＝BC2＝PE2＝(2)2＝12.
S侧＝2S底＝2×12＝24.
∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.
求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．
1．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高．
[解]　如图所示，在三棱台ABC-A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，
所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′.
又A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．
由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，
所以DD′＝(cm)，
又因为O′D′＝×20＝(cm)，
OD＝×30＝5(cm)，
所以棱台的高h＝O′O＝
＝
＝4(cm).
圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积
【例2】　已知圆锥的底面半径为R，高为3R.若它的内接圆柱的底面半径为R，求该圆柱的全面积．
思路探究：作出轴截面，转化为平面问题，利用比例关系找出高与半径的函数关系．
[解]　设圆柱底面半径为r，高为h，
由题意知r＝R，∴＝，∴h＝R，
∴S圆柱全＝2πr2＋2πrh＝2π＋2π＝πR2.
1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键．
2.解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题，通常是作出轴截面，转化为平面问题来求解．
2．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？
[解]　如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
所以S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2.
几何体侧面积和全面积的实际应用
[探究问题]
如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积与正方体的表面积之比为多少？
(1)　　　　　　　　　(2)
[提示]　由已知可得正方体的边长为a，新几何体的表面积为S表(2)＝2×a×a＋4×＝(2＋)a2.
S表(2)∶S表(1)＝(2＋)a2∶6×
＝(2＋)∶3.
【例3】　用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂)，桶口直径为30 cm，桶底直径为25 cm，母线长是27.5 cm，已知每平方米需要油漆150 g，共需要多少油漆？(精确到0.1 kg)
思路探究：求水桶的表面积→计算总油漆量．
[解]　每个水桶需要涂油漆的面积为S＝(S桶底＋S侧)×2
＝π×2
＝0.182 5π(m2)，
因此100个水桶需要油漆100×0.182 5π×0.15≈8.6(kg)．
对于有关几何体侧面积和全面积的实际问题，求解的关键是把题设信息数学化，然后借助数学知识解决该问题．
3．一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m、高为3 m的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1)?
[解]　圆柱形物体的侧面面积S1≈3.1×1×3＝9.3(m2)，半球形物体的表面积为S2≈2×3.1×≈1.6(m2)，所以S1＋S2≈9.3＋1.6＝10.9(m2)，
即10.9×150≈1 635(朵)．
答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花．
1．本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体的表面积求法，难点是求组合体的表面积．
2．本节课要掌握的规律方法
(1)求简单空间几何体侧面积、表面积的方法技巧．
(2)求组合体的表面积方法．
3．本节课易错点是求几何体表面积时弄错数据和运算错误．
1．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于(　　)
A．42π　　　　　 B．51π
C．58π D．67π
D　[S圆台表＝S圆台侧＋S上底＋S下底＝π(3＋4)×6＋π×32＋π×42＝67π.]
2．一个正六棱柱的侧面都是正方形，底面边长为a，则它的表面积是________．
6a2＋3a2　[正六棱柱的表面积为6a2＋3a2.]
3．一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________．
4πS　[设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，R＝，底面周长c＝2πR.故圆柱的侧面积为S圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2＝4πS.]
4．一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？(精确到0.1 m2)
[解]　如图所示，设SE是侧面三角形ABS的高，则SE就是正四棱锥的斜高．
在Rt△SAE中，SA＝2.3 m，AE＝1.35 m，
所以SE＝≈1.86(m)，
而底面周长＝4×2.7＝10.8(m)，
所以S棱锥侧≈×10.8×1.86≈10.0(m2)．
故需要油毡纸约10.0 m2.