2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修2学案：第2章2.22.2.2　直线与圆的位置关系Word版含解析

2.2.2　直线与圆的位置关系
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握直线与圆的位置关系的两种判定方法．(重点)
2．能利用圆心到直线的距离、半弦长、圆的半径三者之间的关系，解有关弦长的问题．(重点)
3．理解一元二次方程根的判定及根与系数关系，并能利用它们解一些简单的直线与圆的关系问题．(难点)
通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
直线与圆的位置关系及判断方法
直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
一个
零个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离
d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由
消元得到一元二次方程，判别式为Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
图形
1.思考辨析
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交． (　　)
(2)若直线与圆相交，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解． (　　)
(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆联立消元后的一元二次方程无解． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．
相交　[由题意知点M(a，b)在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．]
3．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为________．
2　[由直线与圆的距离d＝＝，解得m＝2.]
4．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
4π　[圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝.|AB|＝2，
点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，由勾股定理得＋＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.]
直线与圆的位置关系的判断
【例1】　已知直线y＝2x＋1和圆x2＋y2＝4，试判断直线和圆的位置关系．
思路探究：法一：利用代数法；法二：利用几何法；法三：利用直线方程(此题直线过定点(0，1))．
[解]　法一：∵
∴5x2＋4x－3＝0.
判别式Δ＝42－4×5×(－3)＝76>0.
∴直线与圆相交．
法二：∵x2＋y2＝4，
∴圆心为(0，0)，半径r＝2.
又∵y＝2x＋1，
∴圆心到直线的距离d＝＝<2＝r.
∴直线与圆相交．
法三：由题意知，直线过定点(0，1)．
而02＋12＝1<4.
所以点(0，1)在圆内，从而直线与圆相交．
直线与圆位置关系的判定方法
1．已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
(1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0，即－法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2.
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝.
(1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2，即－直线与圆的相交弦问题
【例2】　(1)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是__________．
(2)已知过点(2，5)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为4，则直线l的方程为__________．
思路探究：(1)将圆的一般方程化为标准方程，利用弦心距、半弦长和半径构成直角三角形求解．(2)设出直线方程、利用弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形得关于斜率的方程求解，验证斜率不存在的情况．
(1)－4　(2)x－2＝0或4x－3y＋7＝0　[(1)将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.
(2)当直线斜率不存在时，x－2＝0满足题意；
当直线斜率存在时，设方程为y－5＝k(x－2)，
即kx－y－2k＋5＝0.
圆C：x2＋y2－2x－4y＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，因为直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为4，
所以2＝4，所以k＝，所以直线l的方程为4x－3y＋7＝0.
综上所述，直线l的方程为x－2＝0或4x－3y＋7＝0.]
解决与圆有关的弦长问题时，多采用几何法，即在弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形中求解．
2．过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短的弦长为________．
2　[最短的弦为过点(3，1)且与圆心(2，2)和点(3，1)连线的垂直的弦，
弦长l＝2＝2.]
圆的切线问题
[探究问题]
1．求过点P(3，4)的圆C：x2＋y2＝25的切线方程．
[提示]　∵点P(3，4)在圆上，∴切点为P，设切线斜率为k.
则k·kPC＝－1，∴k＝－＝－.
切线方程为y－4＝－(x－3)，即3x＋4y－25＝0.
2．求过点Q的圆x2＋y2＝25的切线方程．
[提示]　∵(－5)2＋>25，∴点Q在圆外．
若所求直线斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y－＝k[x－(－5)]，
即kx－y＋5k＋＝0.
因圆心C(0，0)到切线的距离等于半径5，
所以＝5，∴k＝.
故所求切线方程为x－y＋＋＝0，
即3x－4y＋25＝0.
若所求直线斜率不存在，
则直线方程为x＝－5，圆心C(0，0)到x＝－5的距离为5，符合题意．
综上，过点Q的切线方程为x＋5＝0或3x－4y＋25＝0.
【例3】　已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1.
(1)过点A(3，2)，求圆的切线方程；
(2)过点B(4，－3)，求圆的切线方程．
思路探究：(1)直线和圆相切，则过圆心和切点的直线与切线垂直．(2)直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于半径．
[解]　(1)∵(3－3)2＋(2－1)2＝1，
∴A在圆上．
由题意知圆心C(3，1)，直线CA无斜率，
∴切线斜率为0，
∴所求切线方程为y＝2.
(2)∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
∴点B在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)．
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，
解得k＝－.
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0；
②若切线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
过一点的圆的切线方程的求法
(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．对于填空题可以直接利用以下两个结论：(1)当点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上时，切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)当点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上时，切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．
3．已知圆的方程为x2＋y2＝13，它与斜率为－的直线相切，求该切线的方程．
[解]　设切线方程为y＝－x＋b，即2x＋3y－3b＝0，
依题意得：＝，
解得b＝±.
∴切线方程为2x＋3y＋13＝0或2x＋3y－13＝0.
1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)直线与圆位置关系的判断方法．
(2)求圆的切线的方法．
(3)求直线与圆相交时弦长的方法．
3．本节课的易错点是在解决直线与圆位置关系问题时易漏掉斜率不存在的情况．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)
A．相离　　　　 B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
D　[圆心(1，－1)到直线的距离为＝<3，
∴直线与圆相交．
又圆心(1，－1)不在直线上，故选D.]
2．由点P(1，3)引圆x2＋y2＝9的切线的长是________．
1　[点P到原点O的距离为PO＝，∵r＝3，
∴切线长为＝1.]
3．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．
2　[由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径长为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.]
4．已知圆x2＋y2＝8，定点P(4，0)，问过P点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相切，(2)相交，(3)相离？
[解]　设圆心到直线的距离为d，过P点的直线斜率为k，由题意，
知斜率k存在，则其方程为y＝k(x－4)，
则d＝＝.
(1)d＝r，即＝，∴k2＝1，∴k＝±1时，直线与圆相切．
(2)d∴k2<1，
即－1(3)d>r，即>，
∴k2>1，
即k<－1或k>1时，直线与圆相离．