2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修2学案：第2章2.32.3.1　空间直角坐标系Word版含解析

2.3　空间直角坐标系
2.3.1　空间直角坐标系
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解空间直角坐标系的建系方式．(难点)
2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点)
通过学习本节内容提升学生的直观想象、数学抽象核心素养.
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系的概念
从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴和z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
思考：如何画空间直角坐标系？
提示：(1)x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)．
(2)y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的.
2．空间点的坐标表示
对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R.点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记为A(x，y，z)．
1.思考辨析
(1)在空间直角坐标系中，x轴上点的坐标满足x＝0，z＝0. (　　)
(2)在空间直角坐标系中，xOz平面上点的坐标满足z＝0. (　　)
(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反． (　　)
(4)在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于z轴的对称点为P′(－x，－y，z)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．在空间直角坐标系中，点P(2，－4，6)关于y轴对称点P′的坐标为____________．
(－2，－4，－6)　[点P(2，－4，6)关于y轴对称点P′的坐标为(－2，－4，－6)．]
3．如图，三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，CA＝4，CB＝3，CC1＝5，且∠C＝90°，试在图中建立一个空间直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．
[解]　以C为坐标原点，以CB所在直线为x轴，以CA所在直线为y轴，以CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图．则A(0，4，0)，B(3，0，0)，C(0，0，0)，A1(0，4，5)，B1(3，0，5)，C1(0，0，5)．
空间中点的坐标的确定
【例1】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．
思路探究：可选取A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．
[解]　以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
分别设AB＝1，AD＝2，AA1＝4，
则CF＝AB＝1，CE＝AB＝，
所以BE＝BC－CE＝2－＝.
所以点E的坐标为，点F的坐标为(1，2，1)．
1．建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点M的坐标的方法
过点M分别作三个坐标平面的平行平面(或垂面)，分别交坐标轴于A，B，C三点，确定x，y，z.具体理解，可以以长方体为模型，要掌握一些特殊点(落在坐标轴上的点和落在坐标平面上的点)的坐标表示的特征．
1．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是BB′，D′B′的中点，棱长为1，求E，F点的坐标．
[解]　建立如图空间直角坐标系，
E点在xDy面上的射影为B，
B(1，1，0)，竖坐标为，
∴E.
F在xDy面上的射影为BD的中点G，竖坐标为1，
∴F.
空间中点的对称问题
[探究问题]
1．在空间坐标系中，点(1，1，1)关于原点对称的坐标是什么？
[提示]　(－1，－1，－1)．
2．在空间坐标系中，点(a，b，c)关于x轴对称的点的坐标是什么？
[提示]　(a，－b，－c)．
3．在空间坐标系中，点(a，b，c)关于xOy平面对称的点的坐标是什么？
[提示]　(a，b，－c)．
【例2】　求点M(2，－1，3)关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标．
思路探究：利用图象对称的思想找准对称点．
[解]　点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为(2，－1，－3)，
关于xOz平面的对称点M2的坐标为(2，1，3)，
关于yOz平面的对称点M3的坐标为(－2，－1，3)，
关于x轴的对称点M4的坐标为(2，1，－3)，
关于y轴的对称点M5的坐标为(－2，－1，－3)，
关于z轴的对称点M6的坐标为(－2，1，3)，
关于原点的对称点M7的坐标为(－2，1，－3)．
平面直角坐标系中的对称性可以推广到空间直角坐标系中．在空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊的对称点的坐标如下：
①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；
②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；
③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；
④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；
⑤关于xOy平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；
⑥关于yOz平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；
⑦关于xOz平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．
2．在空间直角坐标系中，点P(－1，1，2)关于y轴对称的点的坐标为________，关于坐标平面yOz对称的点的坐标为________．
(1，1，－2)　(1，1，2)　[由对称知识可知，P关于y轴对称的点为(1，1，－2)，关于平面yOz对称的点为(1，1，2)．]
1．本节课的重点是了解右手直角坐标系及有关概念，掌握空间直角坐标系中任意一点的坐标的含义，会建立空间直角坐标系，并能求出点的坐标，难点是空间直角坐标系的建立及求相关点的坐标．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)空间直角坐标系中点的坐标确定方法．
(2)求空间对称点坐标的规律．
3．本节课的易错点是空间点的坐标确定．
1．点P(－1，0，4)位于(　　)
A．x轴上　　　　 B．xOz平面内
C．xOy平面内 D．yOz平面内
B　[点P(－1，0，4)的y轴坐标为0，
∴点P(－1，0，4)在xOz平面内．]
2．点P(1，2，－1)在yOz平面内的垂足为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________．
1　[点P(1，2，－1)在yOz平面内的垂足B(0，2，－1)，故x＋y＋z＝1.]
3．在空间直角坐标系中，点P(－2，4，4)关于x轴的对称点的坐标是________．
(－2，－4，－4)　[因为点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点P′的坐标为(－2，－4，－4)．]
4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝4，A1C1与B1D1相交于点P，建立适当的坐标系，求点C，B1，P的坐标．(写出符合题意的一种情况即可)
[解]　如图，分别以AD，AB和AA1所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系．
∵AB＝5，AD＝4，AA1＝4，
∴B(0，5，0)，D(4，0，0)，A1(0，0，4)，从而C(4，5，0)，B1(0，5，4)．又D1(4，0，4)，
P为B1D1的中点，
∴P.