2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修4学案：第2章2.22.2.2　向量的减法Word版含解析

2.2.2　向量的减法
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.理解向量减法的意义及减法法则．(重点)
2.掌握向量减法的几何意义．(难点)
3.能熟练地进行向量的加、减运算．(易混点)
通过学习本节内容提升学生的直观想象和数学运算核心素养.
向量的减法
(1)向量减法的定义
若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
(2)向量的减法法则
如图所示，以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a－b.
1．思考辨析
(1)－＝.(　　)
(2)若－b与a同向，则a－b与a同向．(　　)
(3)向量的减法不满足结合律．(　　)
[解析]　(1)×.－＝；
(2)√.－b与a同向，则a－b＝－b＋a与a同向．
(3)×.如(a－b)＋c＝a＋(c－b)．
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
2．化简－＋等于________．
0　[－＋
＝＋
＝0.]
3．化简－＋＋的结果等于________．
　[－＋＋＝＋＋－＝＋＝.]
向量减法的几何作图
【例1】　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
思路点拨：根据相反向量及三角形法则求作．
[解]　法一：先作a－b，再作(a－b)－c即可．
如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b，连结CB，得向量，再以C为起点作向量，使＝c，连结DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c.
法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.
(1)作＝－b和＝－c；
(2)作＝a，则＝a－b－c.
求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连结两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量.
1．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[解]　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
向量减法法则的应用
【例2】　(1)化简下列式子：
①－－－；
②(－)－(－)．
(2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
思路点拨：(1)充分利用减法的运算律求解．
(2)寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向量的加(减)法解决．
[解]　(1)①原式＝＋－(＋)＝－＝0.
②(－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
(2)因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c；
＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c.
?1?向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.
?2?用几个基本向量表示其他向量的技巧：
①观察待表示的向量位置；
②寻找相应的平行四边形或三角形；
③运用法则找关系，化简得结果.
2．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：
(1)－；(2)＋；(3)－.
[解]　(1)－＝＝－，
∵＝d，＝b，
∴－＝d－b.
(2)∵＋＝(－)＋(－)，
＝a，＝b，＝c，＝f，
∴＋＝b＋f－a－c.
(3)－＝＝－，
∵＝f，＝d，
∴－＝f－d.
|a－b|与a，b之间的关系
[探究问题]
1．若a与b共线，怎样作出a－b?
提示：①当a与b同向且|a|≥|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：
＝a，＝b，则＝a－b；
②当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：
＝a，＝b，则＝a－b；
③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b：
＝a，＝b，则B＝a－b.
2．结合探究问题1的图示及向量的减法法则，探究|a－b|与a，b之间的大小关系？
提示：当a与b不共线时，有：||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|；
当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a－b|＝|a|－|b|；
当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a－b|＝|b|－|a|.
【例3】　已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
思路点拨：|a＋b|＝|a－b|→判断a与b的位置关系→求|a－b|的值．
[解]　如图，设＝a，
＝b，以AB，AD为邻边作?ABCD.
则＝a＋b，＝a－b，
因为|a＋b|＝|a－b|，
所以||＝||.
又四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为矩形．
故AD⊥AB.
在Rt△DAB中，
||＝6，||＝8，
由勾股定理得||＝
＝＝10，
所以|a－b|＝10.
1．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．
2．正确理解向量加(减)法的几何意义，恰当构造几何图形，是求解此类问题的关键．
3．已知向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，求|a－b|.
[解]　在?ABCD中，使＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
由于|a|＝|b|＝1，所以ABCD为菱形，且AC⊥BD，交点为O，∴AO＝，AB＝1，OB＝＝，∴BD＝2BO＝1，即|a－b|＝1.
教师独具
1．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．
2．要掌握向量减法的三个问题
(1)向量的减法运算；
(2)向量减法及其几何意义；
(3)利用已知向量表示未知向量．
3．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤
第一步：观察各向量的位置；
第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；
第三步：运用法则找关系；
第四步：化简结果．
1．在平行四边形ABCD中，下列结论不正确的是(　　)
A.－＝　 B.－＝0
C.－＝ D.－＝
D　[∵ABCD是平行四边形，
∴＝，∴－＝＝，故A正确；
又－＝0，故B正确；
又＝，∴－＝－＝，
故C正确；
又－＝≠，故D错误．]
2．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
0　2　[若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0.
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1.
∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.]
3．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝________.
a＋c－b　[由三角形法则可知
＝－
＝(＋)－
＝a＋c－b.]
4．如图所示，?ABCD中，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，；
(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?
(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
[解]　(1)＝＋＝b＋a，＝－＝a－b.
(2)由(1)知，a＋b＝，a－b＝.
若a＋b与a－b所在直线垂直，
则AC⊥BD.又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，即应满足|a|＝|b|.
(3)假设|a＋b|＝|a－b|，
即||＝||.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，∴a⊥b，
∴当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|.
(4)不可能，∵?ABCD的两条对角线不可能平行，
∴a＋b与a－b不可能为共线向量，也就是不可能为相等向量．