2019-2020学年江西省赣州市高二（下）3月月考数学（理）（Word版含答案）

2019-2020学年江西省赣州市高二（下）3月月考
数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．（5分）设集合，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（　　）
A．A∩B＝{x|﹣1＜x＜2} B．A∪B＝{x|0≤x＜4}
C．A∩B＝{x|0≤x＜2} D．A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}
2．（5分）已知“x＞k”是“”的充分不必要条件，则k的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．[1，+∞） C．[2，+∞） D．（2，+∞）
3．（5分）函数f（x）＝（x+1）ex的图象在点（0，f（0））处的切线方程为（　　）
A．x﹣y+1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x﹣y﹣1＝0
4．（5分）下列函数求导运算正确的个数为（　　）
①（3x）′＝3xlog3e；
②（log2x）′＝
③（ex）′＝ex；
④（）′＝x；
⑤（x?ex）′＝ex+1．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5分）等差数列{an}中，a4+a10+a16＝30，则a18﹣2a14的值为（　　）
A．20 B．﹣20 C．10 D．﹣10
6．（5分）若函数f（x）＝sinωx+cosωx（x∈R），又f（α）＝﹣2，f（β）＝0，且|α﹣β|的最小值为，则正数ω的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0关于直线x﹣y＝1对称的圆的方程为x2+y2＝1，则实数a的值为（　　）
A．0 B．1 C．±2 D．2
8．（5分）已知焦点在y轴的椭圆的离心率为，则m＝（　　）
A．3或 B．3 C． D．
9．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为60°，且一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则C的方程为（　　）
A．﹣y2＝1 B．﹣＝1
C．x2﹣＝1 D．﹣＝1
10．（5分）已知f（）＝，则f′（1）等于（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
11．（5分）设曲线在点处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直，则实数a等于（　　）
A．﹣1 B． C．﹣2 D．2
12．（5分）抛物线C：y＝ax2（a＞0）的焦点F是双曲线2y2﹣2x2＝1的一个焦点，过F且倾斜角为60°的直线l交C于A，B，则|AB|＝（　　）
A． B． C． D．16
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，8），若A、B、C三点共线，则k＝　 　．
14．（5分）已知Sn是数列{an}的前n项和，若，则S2019的值为　 　．
15．（5分）若对于曲线f（x）＝﹣ex﹣x上任意点处的切线l1，总存在g（x）＝2ax+sinx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是　 　．
16．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为　 　．
三．解答题（本题6小题，共70分）
17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若
（1）求角A；
（2）若4（b+c）＝3bc，，求△ABC的面积S．
18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝15，a3和a5的等差中项为9
（1）求an及Sn
（2）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△DAP为直角三角形且DA＝DP，△ABP是等边三角形．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若BA＝BD＝2，求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．

20．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣bx2，a，b∈R，函数f（x）在x＝1处与直线相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f（x）在上的单调性．
21．（12分）己知直线l：x﹣y﹣2＝0与抛物线E：y2＝2px（p＞0）相交于A、B两点．
（Ⅰ）若抛物线的焦点在直线l上，求抛物线的方程；
（Ⅱ）若以|AB|为直径的圆经过坐标原点，求抛物线方程．
22．（12分）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，若PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，△F1PF2的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F2的直线l与C交于A，B两点，设O为坐标原点，若＝，求四边形AOBE面积的最大值．


2019-2020学年江西省赣州市高二（下）3月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．【分析】可以求出集合A，然后进行交集、并集的运算即可．
【解答】解：A＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴A∩B＝{x|0≤x＜2}，A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}．
故选：C．
2．【分析】求解分式不等式可得的解集，再由“x＞k”是“”的充分不必要条件求得k的取值范围，
【解答】解：由，得，即＞0，解得x＜﹣1或x＞2．
∵“x＞k”是“”的充分不必要条件，
∴k≥2．
即k的取值范围为[2，+∞）．
故选：C．
3．【分析】求出原函数的导函数，得到f′（0）＝2，再求出f（0），由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由f（x）＝（x+1）ex得
f′（x）＝（x+1）ex+ex＝ex（x+2），
∴f′（0）＝2，
又f（0）＝1，
∴函数f（x）＝（x+1）ex图象在点（0，f（0））处的切线方程是y﹣1＝2（x﹣0），
即y＝2x+1．
故选：C．
4．【分析】根据（ax）′＝axlna，（logax）′＝，（lnx）'＝即可作出判断．
【解答】解：①（3x）′＝3xln3，故错误；
②（log2x）′＝，故正确；
③（ex）'＝ex，故正确；
④（）′＝﹣，故错误；
⑤（x?ex）′＝ex+x?ex，故错误．
故选：B．
5．【分析】由已知中等差数列{an}中，a4+a10+a16＝30，等差数列的性质，我们可以求出a10的值，根据等差数列的通项公式，我们即可求出a18﹣2a14的值．
【解答】解：∵a4+a10+a16＝30，
∴3a10＝30，
∴a10＝10，
又∵a18﹣2a14＝4d﹣a14＝﹣a10＝﹣10
故选：D．
6．【分析】先化简f（x），分别有f（α）＝﹣2，f（β）＝0解出α，β，由此可表示出|α﹣β|的最小值，令其等于，可求得正数ω的值．
【解答】解：f（x）＝2sin（ωx+），
由f（α）＝﹣2，得ωα+＝，∴，
由f（β）＝0，得ωβ+＝k2π，k2∈Z，∴，
则α﹣β＝＝＝，
当k＝0时|α﹣β|取得最小值，则＝，解得ω＝，
故选：C．
7．【分析】先求出两圆的圆心坐标，再利用两圆关于某直线对称时，两圆圆心的连线和对称轴垂直，斜率之积等于﹣1，求出实数a的值．
【解答】解：圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0 即（x﹣）2（y+1）2＝，表示以A（，﹣1）为圆心，以||为半径的圆．
关于直线x﹣y﹣1＝0对称的圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），
故有×1＝﹣1，解得 a＝2，
故选：D．
8．【分析】根据椭圆的方程表示焦点在y轴上的椭圆，得到a2＝m+9，b2＝9，从而得到c2＝a2﹣b2＝m．再利用离心率为＝，建立关于m的等式，解之可得m的值．
【解答】解：∵椭圆的焦点在y轴，
∴a2＝m+9，b2＝9，可得c2＝a2﹣b2＝m，
又∵椭圆的离心率等于
∴?
∴m＝3
故选：B．
9．【分析】求出双曲线的渐近线方程和抛物线的焦点坐标，可得a，b的方程组，解方程可得双曲线的方程．
【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，
由题意可得＝tan60°＝，
抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），可得双曲线的c＝2，
即有a2+b2＝4，
可得b＝，a＝1，即有双曲线的方程为x2﹣＝1．
故选：C．
10．【分析】利用换元法求出函数的解析式，再求导，代值计算即可．
【解答】解：令，则，f（t）＝＝，
因此f（x）＝，则根据求导公式有f′（x）＝﹣，所以f′（1）＝．
故选：C．
11．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝处的导数，再由斜率之积为﹣1求得a值．
【解答】解：由，得f′（x）＝＝．
∴f′（）＝．
直线x﹣ay+1＝0的斜率为．
∵曲线在点处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直，
∴﹣2，即a＝2．
故选：D．
12．【分析】由双曲线方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，写出直线l的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的弦长公式可得|AB|．
【解答】解：由双曲线2y2﹣2x2＝1，得，则，
∴双曲线的上焦点坐标为（0，1），即抛物线C：y＝ax2（a＞0）的焦点F是（0，1），
化抛物线C：y＝ax2（a＞0）为，则2p＝，，得，即a＝．
∴抛物线方程为x2＝4y．
直线l的方程为，
联立，得y2﹣14y+1＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2＝14，y1y2＝1．
∴|AB|＝y1+y2+p＝14+2＝16．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．【分析】求出的坐标，利用共线列方程解出k．
【解答】解：＝（6，3），
＝（10﹣k，﹣4）．
∵A，B，C三点共线，
∴，
∴﹣24﹣3（10﹣k）＝0，
解得k＝18．
故答案为18．
14．【分析】直接利用数列的通项公式和数列的周期求出结果．
【解答】解：由于数列的通项公式为：，
当n＝1时，，
当n＝2时，．
当n＝3时，，
当n＝4时，，
当n＝5时，，
…
所以：数列的周期为4，
故：a1+a2+a3+a4＝1+0﹣1+0＝0，
所以：S2019＝504×0+a2017+a2018+a2019＝1+0﹣1＝0．
故答案为：0．
15．【分析】求得f（x）的导数，设（x1，y1）为f（x）上的任一点，可得切线的斜率k1，求得g（x）的导数，设g（x）图象上一点（x2，y2）可得切线l2的斜率为k2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，分别求y1＝2a+cosx2的值域A，y2═值域B，由题意可得B?A，可得a的不等式，可得a的范围．
【解答】解：f（x）＝﹣ex﹣x的导数为f′（x）＝﹣ex﹣1，
设（x1，y1）为f（x）上的任一点，
则过（x1，y1）处的切线l1的斜率为k1＝﹣ex1﹣1，
g（x）＝2ax+sinx的导数为g′（x）＝2a+cosx，
过g（x）图象上一点（x2，y2）处的切线l2的斜率为k2＝2a+cosx2．
由l1⊥l2，可得（﹣ex1﹣1）?（2a+cosx2）＝﹣1，
即2a+cosx2＝，
任意的x1∈R，总存在x2∈R使等式成立．
则有y1＝2a+cosx2的值域为A＝[2a﹣1，2a+1]．
y2＝的值域为B＝（0，1），
有B?A，即（0，1）?[2a﹣1，2a+1]．
即，
解得0≤a≤．
故答案为：[0，]．
16．【分析】设对称点为H，由中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得H的坐标，再由圆的定义，结合两点的距离公式，可得c＝2a，由离心率公式可得所求值．
【解答】解：双曲线中，右焦点F2（c，0）关于渐近线y＝x的对称点为H（m，n），
可得＝﹣，（m+c）?＝n，
可得H的坐标为（，），
由对称点H恰落在以F1为圆心|OF1|为半径的圆上，
可得＝c，
化为2a＝c，即有e＝＝2．
故答案为：2．
三．解答题（本题6小题，共70分）
17．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得：，结合三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得，结合A为内角，即可求A的值．
（2）由余弦定理及已知可解得：b+c＝6，从而可求bc＝8，根据三角形面积公式即可得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理得：…（2分）
又∵sinB＝sin（A+C）
∴
即 …（4分）
又∵sinC≠0
∴
又∵A是内角
∴A＝60°…（6分）
（2）由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc…（8分）
∴（b+c）2﹣4（b+c）＝12得：b+c＝6
∴bc＝8…（10分）
∴S＝…（12分）
18．【分析】（1）根据S3＝15，a3和a5的等差中项为9，列方程组解得：a1＝3，d＝2，写出通项公式an和前n项和Sn公式；
（2）由bn＝＝（﹣），采用裂项法求数列的前n项和Tn．
【解答】解：（1）∵数列{an}为等差数列，所以设其首项为a1，公差为d，
∵S3＝3a3，a3+a5＝18，
，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝2n+1，
an＝2n+1，
＝n2+2n；
（2）由（1）知an＝2n+1，
∴bn＝＝＝（﹣），（n∈N*），
数列{bn}的前n项和Tn，Tn＝b1+b2+b3+…+bn，
＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣），
＝1﹣，
＝．
19．【分析】（1）取AP中点M，连DM，BM，得到PA⊥DM，PA⊥BM，说明PA⊥平面DMB，证明PA⊥BD．
（2）以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面DPC的一个法向量，平面PCB的一个法向量利用空间向量的数量积求解即可．
【解答】（1）证明：取AP中点M，连DM，BM，
∵DA＝DP，△ABP为等边三角形，
∴PA⊥DM，PA⊥BM，又DM∩BM＝M，
∴PA⊥平面DMB，又∵BD?平面DMB，∴PA⊥BD．
（2）解：∵BA＝BD＝2，M为AP中点，结合题设条件可得，
∴BD2＝MB2+MD2，∴MD⊥MB．
如图，以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
得，，，
设平面DPC的一个法向量，

则即，∴．
设平面PCB的一个法向量，
由即，∴．
∴＝．
设二面角D﹣PC﹣B的平面角为α，则由图可知sinα＞0，
∴．
20．【分析】（1）利用导数的几何意义，列出方程组，即可解出a，b的值；
（2）先求出导函数f'（x），再根据导函数的正负即可得到函数f（x）的单调区间．
【解答】解：（1）f'（x）＝﹣2bx，
由题意，解得；
（2）由（1）f（x）＝lnx﹣x2，
∴f'（x）＝＝﹣，
∴当x时，f'（x）≥0，函数f（x）单调递增，当x∈[1，e]时，f'（x）≤0，函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）的增区间是[，1]，减区间是[1，e]．
21．【分析】（Ⅰ）由焦点在x轴上，又在直线l上，令y＝0，求出焦点F的坐标，进而求出p的值，求出抛物线的方程；
（Ⅱ）直线与抛物线联立求出两根之积，由题意可得OA⊥OB 即＝0，进而求出p的值，求出抛物线的方程．
【解答】解：（I）由抛物线焦点F 在l：x﹣y﹣2＝0上，
令y＝0 可得x＝2，所以焦点F（2，0），
即＝2，所以p＝4，．
于是抛物线E的方程为y2＝8x，
（Ⅱ）因为以|AB|为直径的圆经过坐标原点，所以OA⊥OB 即＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2＝0 （*）
联立直线与抛物线的方程：，整理可得：y2﹣2px﹣4p＝0，y1y2＝﹣4p，
而x1x2＝＝＝4，
代入（*）得：4+（﹣4p）＝0，解得p＝1，
故所求抛物线方程为：y2＝2x．
22．【分析】（1）由椭圆的定义及勾股定理可求出a，又c＝，可得b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理、向量加法的意义以及三角形的面积公式，结合基本不等式求解即可．
【解答】解：（1）由题设，|PF1||PF2|＝1，
∴＝．
又c＝1，∴．
∴C的方程为；
（2）由题设AB不平行于x轴，设AB：x＝my+1，
联立，得（m2+2）y2+2my﹣1＝0．
△＝8（m2+1）＞0，
解得．
∵＝，∴四边形AOBE为平行四边形，
四边形AOBE面积S＝2S△AOB＝|y1﹣y2|＝．
∵，当且仅当m＝0时取等号，
于是四边形AOBE面积的最大值为