诸暨市2019-2020学年第一学期期末考试试题
高三数学
注意:1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页满分150分,考试时间120分钟
2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上
球的表面积公式
锥体的体积公式
=42
其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高
其中R表示球的半径
柱体的体积公式
F=(+√+s)
其中S,S分别表示台体的上、下底面积
其中S表示柱体的底面积,表示柱体的高
表示台体的高
第I卷(选择题部分共40分)
选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有
项是符合题目要求的
若P={(x<1},g={xx>0,全集为R,则(▲)
Pco
OcP
双曲线x2
A.(±√2,0)
(±2,0)
±2
3.已知a,b是实数,i是虚数单位
b,则b可取的值为(
C.1或-1
任意实数
等比数列{an}的首项a>0,则“>1”是“4>a3”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
式题第1页(共4页)
5.已知0<02·随机变量的分布列如右图:则当a增大时,占的期望E(5)变化情况是(▲)
E()增大
0
(5)先增后减
B()先减后增
6.若函数
6p<)图象的经过
则要得到函数8(x)=2 sinor的图象,只需把f(x)的图象(
A.向左平移个单位B.向左平移个单位
D.向右平移个单位
7.某几何体的正视图与侧视图如右图所示:则下列
正视图
侧视图
两个图形①②中,可能是其俯视图的是(▲
A.①②都可能
D.①②都不可能
则+,的最小值是(
D.1
9.正四面体A-BCD中,BCD在平面a内,点E在线段AC上,AE=2EC,/是平面a的
垂线,在该四面体绕CD旋转的过程中,直线BE与
所成角为θ,则sinO的最小值是(
√3
10.已知函数f(x)=-x2+x+b的定义域为[01],值域包含于区间[01,且存在实数
0≤x0<%≤满足:/(2x)=1,/(21)=x,则实数b的取值范围是(▲)
B
44
164
高三数学试题第
第Ⅱ卷(非选择题部分共110分)
、填空题:本题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分
11.已知函数f(x)
2x+1,x<1
则f(()=▲:若f(a)=1,则a=
12.若二项式(3x-—)"展开式各项系数和为64,则n=
常数项为
x+2y-4≤0
3.若实数xy满足约束条件{x-y≤1
则2x+y的最大值是▲;若0
且ax+y的最大值为3,则a=
4.在△ABC中,角ABC所对的边ab,c,点D为边AC上的中点,已知a=5b=7,c=8
则cosB
15.用0,1,2,3,4组成没有重复数字的四位数,其中奇数有
16已知ab是不共线的两个向量,若对任意的m∈R,1a+mb的最小值为1,(1-m)+n
的最小值为1,若ab=4,则a,b所成角的余弦值
17已知AB分别是椭圆2+y2=1的右顶点,上顶点,P是椭圆在第三象限一段弧上的点
P交y轴与M点,PB交x轴于N点,若 MNlLAB,则P点坐标为
三、解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
18.(本题满分14分)已知函数f(x)=2 e sin rcos x-23sin2x+√3
(1)求函数(在区间0三上的值域
(2)设a∈(n,m),f()
求sina的值
高三数学试题第3页(共4页)
1
诸暨市 2019--2020学年第一学期期末考试
高三数学参考答案
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分）
1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．D 7．A 8．A 9．A 10．D
二、填空题（本题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分．）
11． 4 , 0 1或 12． 6， 135 13． 5， 1
4
14.
1 129,
2 2
15．36 16． 3
2
17．
21,
2
? ?
? ?? ?
? ?
三、解答题（本大题共 5小题，共 74分．）
18. 解：（1） ( ) sin2 3cos2f x x x? ? ……2′
2sin(2 )
3
x ?? ? ……2′
当 0,
2
x ?? ?? ? ?? ?
时，
42
3 3 3
x? ? ?? ? ? ……1′
所以，此时 ( )f x 的值域为 3,2? ??? ? ……2′
（2）因为
10( ) 2sin( )
2 3 13
f ? ??? ? ? ，所以 5sin( )
3 13
?? ? ? ……1′
5 4
6 3 3
? ? ??? ? ? ，所以 12cos( )
3 13
?? ? ? ? ……2′
sin sin ( ) sin( )cos cos( )sin
3 3 3 3 3 3
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ?
……1+2′
5 12 3
26
?
? ……1′
19. 解：（1）证明：取PC中点G ，连 ,EG FG，
则
1/ / / / ,
2
EG DC AF EG DC AF? ? ……3′
所以 AEGF 是平行四边形， / /AE FG
从而 / /AE 平面 AFC ……3′
（2）法一：因为 / /AF 平面 PDC，所以点 ,A F 到平面PDC的距离相等，……1′
2
由 ,CD AD PAD ABCD? ? 知CD AE?
由E是 PD中点， AE PD? 得 AE ?平面 PDC ……4′
设 2AB a? ，则所求线面角的正弦值
2
3 6 , 2
44
AE a
CF a
? ? ? ?
?
，
4AB ? ……4′
法二：取 AD 中点 H ，以 H 为原点建立空间坐标系，设 2AB a? ，则
(1,0,0), ( 1,2 ,0), ( 1,0,0), (0,0, 3), (1, ,0)A C a D P F a? ? ……2′
求得平面PDC的法向量为 3 3,0,
2 2
EA
? ?
?? ?
? ?
……4′
所求线面角的正弦值为
2
3 6cos , , 2
43 4
EA CF a
a
? ? ?
?
???? ????
所以 4AB ? ……3′
20.（1）设等比数列? ?na 的公比为 q，则 21 1 12, 2, 2nna q a q q a? ? ? ? ……3′
1 31, 5b b? ? ……2′
法一：猜想 2 1( )nb n n N
?? ? ? ，用数学归纳法证明 ……1′
当 1n ? 时成立，假设当n k? 时结论成立，则由 ……1′
( 1),
2k k
kS b? ? 21 1 1 1
1( 1)
2k k k k k
kS b S b k b? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
2
1 1( 1) 2 1, 2 1 2( 1) 1k kk b k k b k k? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
即 1n k? ? 时结论也成立，综上 2 1nb n? ? ……2′
法二： ( 1),
2n n
nS b? ? 1 1
1( 1)
2n n
nS b? ?
?
? ? 得
1( 1) 1n nn b nb?? ? ? ……2′
同理 1( 2) ( 1) 1n nn b n b ?? ? ? ?
两式相减整理得 1 1 2n n nb b b? ?? ?
所以数列? ?nb 是公差为2的等差数列， 2 1nb n? ? ……2′
3
（2）设 21 1 2 2 3 3 2 1 2 3 2 (2 1)
n
n n nT a b a b a b a b n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
2 3 12 2 1 2 3 2 (2 3) 2 (2 1)n nnT n n
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ……1′
1 2 32 (2 1) 2(2 2 2 ) 2n nnT n
?? ? ? ? ? ? ?? ……3′
12 (2 3) 6n n?? ? ? ……2′
21. 解：（1） (0,1)F , (2,1), ( 2,1)A B ? ……2′
切线方程为
2 21 ( 2), 1 ( 2)
2 2
y x y x?? ? ? ? ? ?
即 1 0x y? ? ? 与 1 0x y? ? ? ……2′
所以 (0, 1)P ? ……1′
（2）设 l的方程为 1y kx? ? ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ……1′
则
2
1 2 1 24 4 0, 4, 4x kx x x x x k? ? ? ? ? ? ? ……1′
直线 PA方程为 11 1( )2
xy y x x? ? ? ，即
2
1 1
2 4
x xy x? ?
直线 PB方程为
2
2 2
2 4
x xy x? ? ……2′
联立解得 1 2( , 1)
2
x xP ? ? ……2′
法一：
2 22
1 2 1 221 2
21
2
2 2 2
21 2 1 2 1 2
2 2
1
( ) ( )( ) ( 1) 444
( ) ( ) ( )( 1)
4 4
x x x xx x y x
x x x x x xy
x
? ?? ?? ?
? ?
? ? ?
? ? ?
……2′
2 2
1 2 1 24 12, 4, 1x x x x? ? ? ? ? 或 1 24, 1x x? ? ?
直线 l的方程为 3 1
4
y x? ? ? ……2′
法二：设直线 PA的斜率为 1k ，则
2 21 2
1 1 1 2 1
11 1
2 2
x xPA k x k x x?? ? ? ? ? ?
4
类似可得
2
1 2 1
1
11
2
k x x
PB
k
? ?
? ……2′
所以 1 1 22, 4, 1k x x? ? ? ? ? ? ……1′
直线 l的方程为 3 1
4
y x? ? ? ……1′
22.解：（1） 1 1
1( ) ( ) ( 1)
2
x xg x f x e e ax? ??? ? ? ? ……2′
1 1( ) ( 1)x xg x e e ax a? ?? ? ? ? ? ……1′
由题意
1( ) 1 0xG x e ax a?? ? ? ? ? 恒成立 ……1′
由于 ( 1) 0G ? ? ，所以 ( 1) 0G? ? ? ，解得 1a ? （不验证不扣分） ……2′
（2） 1 1 1 1
1 7 1 1 7 3( ) ( ) ( ( 1) )
4 8 8 4 8 4
x x x xf x e e x e e x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
令 1 21 , 0,x t t t? ? ? ? ，不妨设 2 1 0t x? ? ? ，
1 7 3( ) ( )
4 8 4
t th t e e t? ? ?
令
1 7 3 1 7 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 8 4 4 8 4
t t t tH t h t h t e e t e e t? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
原题即证明当 0t ? 时， ( ) 2H t ? ……2′
1 7 1 1 7 1( ) ( ) ( )
2 8 8 2 8 8
t t t tH t e e t e e t? ?? ? ? ? ? ? ? ……1′
1 7 1( )( ) ( ) ( )
2 8 8
t t t t t t t te e e e t e e e e? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
7 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 0
8 2 16
t t t t t t t te e e e t e e e e? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?
……5′
其中
1 1( ) ( ) 1 0
2 2
t t t te e t e e? ?
?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?
因为 (0) 2H ? ，所以当 0t ? 时， ( ) 2H t ? ，得证 ……1′
