7若用0,1,2,34,5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数,则这样的六位数共有
B.132
D.156
随机变量X的分布列如下
2
3
P
b
其中a,b,c成等差数列,则D(x)的最大值为(
D
9正四面体ABCD中,CD在平面a内,点E是线段AC的中点,在该四面体绕CD旋转的过程中,
直线BE与平面a所成角的余弦值不可能是()
D
C
1
6
10.已知数列{an}满足:a1=a,an1
1eN,若对任意的正整数n,都有an>3,则实数a
的取值范围
03)
34)
D.4,+
非选择题部分(共110分)
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分
1已知复数=(a∈R的实部为3,则a
,=
1.设函数x)
x2+x+1,x>0/(j=--:若方程/)=b有且仅有3个不同的实数
e2,x<0
根,则实数b的取值范围是
13(x+2)(x+的展开式中x项的系数为
:所有项系数的和为
(用数字作答)
高三数学试题第3页(共6页)
1BC中内角ABC的对边分别为ab,已知b=25,C=3,A+C=n,则csC=
△ABC
15线与抛物线y2=4x交于A,B两点,O为坐标原点,直线O,OB的斜率之积为-1,以线
段AB的中点为圆心,2为半径的圆与直线交于P,Q两点,则oP+的最小值为
16.在△ABC中,AC=BC=1,AB=√3,且CE=xCA,CF=yCB,其中x,y∈e(0),且x+4y=1
若M,N分别为线段EF,AB中点,当线段MN取最小值时x+y
17已知函数f(x)=x-+2x,若存在a∈(23],使得关于x的函数y=/x)-(a)有三个不同的零
点,则实数t的取值范围是
、解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
18.(本小题满分14分)已知函数f(x)=√3c0s2ax+ sin a. cos ax(o>0)的最小正周期为z
1)当x∈|0,时,求函数f(x)的值域
(2)已知△BC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,若fa=√3,且a=4,b+c=5
2
求△ABC的面积
高三数学试题第4页(共6而
19(本小题满分15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=1,CD=3,AP=2,DP=23,
∠PAD=60,AB⊥平面PAD,点M在棱PC上
(1)求证:平面PAB⊥平面PCD
(2)若直线PA∥平面MBD,求直线BP与平面MBD所成角的正弦值
P
20.(本小题满分15分)已知数列{an}是等差数列,Sn为其前n项和,且a5=3a2,S=14a2+7
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an+bn}是首项为1公比为2的等比数列,求数列{(n+bn)的前n项和Tn
高三数学试题第5页(共6页)
1
2019学年第一学期温州新力量联盟期末考试
高三数学参考答案
1.答案：D
解析： ? ?1| ?? xxN ? ?22| ???? xxM?
? ?21| ???? xxNM ? ，故选 D．
2.答案：A
解析：双曲线 1
2
2
2
2
??
y
a
x
的一条渐近线的倾斜角为
6
?
，
则该条渐近线方程为 xy
3
3
? ；所以
3
32
?
a
，解得 6?a ；
所以 2 2 6 2 2 2c a b? ? ? ? ? ，
所以双曲线的离心率为
2 2 2 3
36
ce
a
? ? ? ．故选 A．
3.答案：B
解析：根据题意作出可行域：
由图象可知函数 ( 0, 0)z ax by a b? ? ? ? 在点 (4,6)A 处取得最大值，所以可得等式：
4 6 12a b? ? ，即 2 3 6a b? ? ．
而
2 3 2 3 2 3
6
a b
a b a b
?? ?? ?? ? ?? ?? ?
? ?? ?
13 13 252
6 6 6
a b a b
b a b a
? ? ? ? ? ?≥ 当且仅当 a b? 时，等号成立．故选 B．
2
4.答案：C
解析：由三视图，该几何体是一个组合体，
组合体上面是一个半径为 的半球，
下面是一个圆台，高为 ，上底面半径为 ，下底面半径为 ，
所以组合体体积为：
，故选 C.
5.答案：C
解析：因为 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?3 2 3 2ln 1 ln 1xf x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
= ? ? ? ? ? ?13 2 3 2ln 1 ln 1x x x x x x f x?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，所以 ? ?f x 为奇函数图像关于
原点对称，排除 B，D,因为 ? ?(1) 1 ln 2 1 0f ? ? ? ? ，所以排除 A，故选 C
6. 答案：A
解析：当 1?a 时， aba ?? 得 0?b ，推出 ? ? 01 ?? ba
当 10 ?? a 时， aba ???0 得 0?b ，推出 ? ? 01 ?? ba
则
? ? 1log ??baa 是 ? ? 01 ?? ba 的充分条件
但当 ? ? 01 ?? ba 时不一定能推出 ? ? 1log ??baa （比如： 10 ?? a ， 1?b ，这时 0?? ba 无意义）
则
? ? 1log ??baa 是 ? ? 01 ?? ba 的不必要条件,故选 A
7.答案：B
先排 0,2,4，再让 1,3,5 插空．
总的排法共 14444
3
3 ?? AA ，
其中 0在排头，将 1,3,5 插在后三个空的排法共 1233
2
2 ?? AA ，此时构不成六位数，
故总的六位数的个数为 13212144 ?? ．故选 B
8.答案:D
解析:因为 ， ， 成等差数列，
aXE 2
3
8
??? ）（
则 ? ? ? ? ? ?XEXEXD 22 ??
3
3
2
3
2
3
14
9
2
3
84
2
2 ???
?
?
?
?
? ??????? aaa ,
则 ? ?XD 的最大值为
3
2
.故选 D.[
9.答案:A
解析:考虑相对运动，让四面体 ABCD 保持静止，平面 绕着 CD 旋转，故其垂线也绕着 CD 旋
转，如下图所示,取 AD 的中点 F，连接 EF，则 则也可等价于平面 绕着 EF 旋转，在
中，易得
6
3cos ??BEF ，如下图示，将问题抽象为如下几何模型，平面 的垂线可
视为圆锥的底面半径 EP，绕着圆锥的轴 EF 旋转，显然 BEFPEBBEF ???????
22
?? ，则
1sin
6
3
??? PEB ，设BE 与平面 所成的角为? ，则可得 1cos
6
3
?? ?
考虑四个选项，只有选 A
10.答案：B
解析：因为 3?na 对任意的正整数 n都成立，故 31 ?? aa
由题知
13
234,33
4
2
4
2
1
1
11
1
1
?
??
????
?
?
?
?
?
?
?
??
n
n
n
nn
n
n a
a
a
a
a
解得
①当 43 ?? a 时，则 0?b ,注意到 1330 1 ????? ? nn bb
则 nnnn aabb
?
??
?
?? ?? 11
,
13
2
13
2
于是 ，即数列? ?na 单调递增
从而 43,3 ??? aan 因此
②当 4?a 时，由条件可知 4?na 满足条件：
③ 1,0424 ?????? baaa 则时，当
注意到 3,03,
13
133 11
1
???
??
??
?? ??
?
n
n
n
n
n abb
ba 故而 ，满足条件
综上，所求实数 a的取值范围 ? ???，3 ，故选 B
4
11.答案： 3 ， 2
解析：因为 z＝1＋ai
i
＝
（1＋ai）（－i）
－i2
＝a－i的实部为 3 ，
所以 a＝ 3 ，则 z＝ 3 －i，|z|＝ 2 .
12.答案：
4
1
， ?
?
?
?
?
?
2
1
4
1
，
解析：
函数
? ?
??
?
?
?
????
?
?
0,
4
1
0,
2 xxx
xe
xf
x
，则 ? ?? ? ? ? ? ?
4
110 0 ??? fefff ．
0?x 时， ? ? 1?xf ， 0?x ， ? ?
4
12 ???? xxxf ，对称轴为：
2
1
?x ，开口向下，
函数的最大值为：
2
1
2
1
??
?
?
?
?
?f ， 0?x 时， ? ? 4
10 ?f ，
方程 ? ? bxf ? 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数b的取值范围是： ?
?
?
?
?
?
2
1
4
1
， ．
13.答案：55，192
解析： ? ?? ? ? ?? ?????????? 326 201561212 xxxxxx ,
开式中 3x 项的系数为 5520215 ???
所有项系数的和为令 1?x 即 ? ? ? ? 1921121 6 ????
14.答案:
3
3
， 2
解析:由于 ??? CA 3 ，
则 CBACA ???? 3 ，解得 CB 2? ，
5
由于 32?b ， 3?c ，利用正弦定理
C
c
B
b
sinsin
? ，
则
C
c
C
b
sin2sin
? ，整理得
CCC sin
3
cossin2
32
? ，
解得
3
3cos ?C ，由
ab
cbaC
2
cos
222 ??
? ，
解得 1?a ，
3
6sin ?? C ，
则 2sin
2
1
????? CbaS ABC
15.答案： 36
解析：设直线 AB的方程为 tmyx ?? ， ? ?11, yxA ， ? ?22 , yxB ，
联立
?
?
?
??
?
tmyx
xy 42
，整理得 0442 ??? tmyy ，
? ? ? ? ? ? 016444 22 ??????? mttm ，
则 myy 421 ?? ， tyy 421 ?? ，
因此 ? ? tmtyymxx 242 22121 ?????? ， 221 txx ?? ，
由题意可知： 0??
??
OBOA ，则 02121 ?? yyxx ，即 04
2 ?? tt ，则 4?t ，
所以直线 AB的方程为 4?? myx ，
恒过点 ? ?0,4 ，所以 84 221 ??? mxx ，
则圆的圆心为 ? ?mmO 2,42 2' ? ，
由三角形的中线长定理可知：
? ?
4
2 2222' PQOQOPOO
??
? ，
所以 ? ? ? ?22'22'22 22442 ????? OOPQOOOQOP
? ? ? ? 8451684244 24222 ???????
?
??
? ??? mmmm ，
所以当 0?m 时， 22 OQOP ? 取最小值，最小值为 36．
6
16.答案：
7
4
解析:连接 ,CM CN ，如图所示：
由等腰三角形中， 1 3AC BC AB? ? ?， 知 120ACB ?? ? ，所以
1=
2
CA CB? ?
???? ????
.
∵CM是△CEF 的中线，?
1 1( ) ( )
2 2
CM CE CF xCA yCB? ? ? ?
????? ???? ???? ???? ????
.
同理可得
1= )
2
CN CA CB?
???? ???? ????
（ .
? 1 1(1 ) (1 )
2 2
MN CN CM x CA y CB? ? ? ? ? ?
????? ???? ????? ???? ????
，
2 2 21 1 1 1(1 ) (1 )(1 ) ( ) (1 )
4 2 2 4
MN x x y y? ? ? ? ? ? ? ? ?
?????
，
又 4 1x y? ? ，
?
2 221 3 1 , , (0,1)
4 2 4
MN y y x y? ? ? ?
?????
.
故当
1
7
y ? 时， 2MN
?????
有最小值，此时
31 4
7
x y? ? ? .
故答案为：
7
4
17.答案：
24
251 ?? t
解析： ? ? ? ?
? ??
?
?
????
???
?
axxax
axxaxxf
,2
,2
2
2
7
若 2?a ，则 a
aa
?
?
?
?
2
2
2
2
，
所以 ? ?xf 在 ? ???,a 为增函数，在 ??
?
?
?
? ???
2
2, a 上为增函数，在 ?
?
?
?
?
? ? aa ,
2
2
为减函数.
因为 ? ? ? ?atfxfy ?? 有三个不同的零点，
所以 ? ?xfy ? 的图像与直线 ? ?atfy ? 有三个不同的交点，
故
? ? ? ?
2
2
2
22
22 ?
??
?
?
?
?
? ????
aaatfa
在 ? ?3,2 有解，
整理得到
? ?
4
222
2?
??
aata 即 ? ? ?
?
?
?
?
? ???
?
?? 44
8
1
8
21
2
a
a
a
at .
因 32 ?? a ，故
24
2544
8
1
??
?
?
?
?
? ??
a
a ，故
24
251 ?? t .
若 2??a ，则
2
2
2
2 ?
?
?
?
aaa ，
? ?xf 在 ? ?a,?? 为增函数，在 ??
?
?
?
? ?
2
2, aa 上为减函数，在 ?
?
?
?
?
? ??
? ,
2
2a
为增函数.
因为 ? ? ? ?atfxfy ?? 有三个不同的零点，
所以 ? ?xfy ? 的图像与直线 ? ?atfy ? 有三个不同的交点，
故
? ? ? ? aatfaa 2
2
2
2
2 22
??
?
??
?
?
?
?
? ?? 在 ? ?3,2 有解，
整理得到
? ? aata 22
4
2 2
??
?
，因为
? ? aa 20
4
2 2
??
?
，故
? ? aata 22
4
2 2
??
?
在 ? ?3,2 上无解.
若 22 ??? a ，则
2
2
2
2 ?
??
? aaa ， ? ?xf 在 ? ?a,?? 为增函数，在 ? ???,a 为增函数.
此时 ? ?xfy ? 的图像与直线 ? ?atfy ? 有一个交点，不合题意，舍去.
综上，
24
251 ?? t .
18．（本小题满分 14 分）
解析：（1） ? ? ? ? 2
3
3
2sin2sin
2
12cos1
2
3
??
?
?
?
?
? ?????
???? xxxxf
因为 ? ?xf 的周期为? 且 0?? ，所以 ?
?
?
?
2
2
，得 1??
所以 ? ?
2
3
3
2sin ??
?
?
?
?
? ??
?xxf
8
又
2
0 ??? x ，得
3
4
3
2
3
???
??? x
则 1
3
2sin
2
3
??
?
?
?
?
? ???
?x ，即 ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
31,0xf
(2) 因为 3
2
??
?
?
?
?
? Af ，所以
2
3)
3
sin( ?? ?A .由 ? ??,0?A ，知
3
4
33
???
??? A ，
解得
3
2
3
??
??A ，所以
3
?
?A .
由余弦定理知 Abccba cos2222 ??? ，即 bccb ??? 2216 .
所以 ? ? bccb 316 2 ??? ，因为 5?? cb ，所以 3?bc .
所以
4
33sin
2
1
??? AbcS ABC .
19．（本小题满分 15 分）
解析：（1）因为 PADAB 平面? ，所以 DPAB ? ，
又因为 32?DP ， 2?AP ， ??? 60PAD ，
由
PDA
PA
PAD
PD
?
?
? sinsin
，可得
2
1sin ??PDA ，
所以 ??? 30PDA ， ??? 90APD ，即 APDP ? ，
因为 AAPAB ?? ，所以 PABDP 平面? ，
因为 PCDDP 平面? ，所以平面 ?PAB 平面 PCD；
（2）以点 A为坐标原点， AD所在的直线为 y轴， AB所在的直线为 z轴，
如图所示，建立空间直角坐标系，
9
其中 ， ， ， ， .
从而 ， ， ，
设
??
? PCPM ? ，从而得 ? ???? 3,13,33 ??M
? ?13,13,33 ????? ???BM
设平面MBD的法向量为 ? ?zyxn ,,?
?
若直线 //PA 平面MBD ,
满足
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
??
??
0
0
0
APn
BDn
BMn
，即
? ? ? ?
?
?
?
?
?
??
??
??????
03
04
01313)13
yx
zy
zyx ???（
得
4
1
?? ，取 ? ?12,3,3 ????n 且 ? ?1,1,3 ??
?
BP
直线 BP与平面MBD所成角的正弦值
65
1952sin ??
20.（本小题满分 15 分）
解析：(1)设等差数列? ?na 的公差是 d .
由 25 3aa ? 得 ? ?dada ??? 11 34 ，化简得: 12ad ? ... ①
由 714 27 ?? aS 得 11 ?? ad ...②
由①②得 11 ?a ， 2?d .
所以数列? ?na 的通项公式为 12 ?? nan
10
(2)由数列? ?nn ba ? 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，得 12 ??? nnn ba ，即 1212 ???? nnbn .
所以 122 1 ??? ? nb nn
所以 ? ? ? ?1222 11 ????? ?? nbab nnnnn
? ? ? ? 1111 21241224 ???? ?????? nnnn nn
? ?
3
14
41
41 ?
?
?
?
?
nn
nP
? ? ? ? 122 212232252311 ?? ??????????? nnn nnQ ? ...③
? ? ? ? nnn nnQ 2122322523212 132 ??????????? ?? ...④
③-④得
? ? nnn nQ 2122222221 12 ??????????? ??
? ? ? ? 121222212 12 ???????? ? nn n?
? ? 3223 ??? nn
? ? 3232 ???? nn nQ
? ?
3
10232
3
4
??????? n
n
nnn nQPT
21.（本小题满分 15 分）
解析：（1）由于 )0(2 ?? ppyx 过点 ? ?1,2 ，则 p?4
即 1C 的方程为 yx 4
2 ? ，焦点坐标 )1,0(2F
所以椭圆中 1?c ，其焦点也在 y轴上
设 2C 方程为 ? ?012
2
2
2
???? ba
b
x
a
y
由
??
?
?
?
?
??
1
12
2
2
2
y
b
x
a
y
得
a
bx
2
?? , 32
2
??
a
bAB 又 122 ?? ba 解得 3,2 ?? ba
所以 2C 方程为 134
22
??
xy
;
（2）由（1）得 11 ?OF ，则 3C 方程为 1
22 ?? yx
因为直线 l与圆 3C 相切，所以圆心O到直线的距离为 1
11
所以
2
1
2
1 MNMNS OMN ????
当直线 l的斜率不存在时方程为 1??x ，两种情况所得到的三角形OMN 面积相等
由
??
?
?
?
?
??
1
1
34
22
x
xy
，得
3
62
??y
不妨设 ?
?
?
?
?
?
?
?
3
62,1M , ?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
62,1N ,
3
64
?MN
此时，
3
621
2
1
????? MNS OMN
当直线 l的斜率存在时设为 k ,直线方程为 mkxy ??
所以圆心O到直线的距离为 1
1 2
?
? k
m
即 122 ?? km ，
由
??
?
?
?
??
??
mkxy
xy 1
34
22
，得 ? ? 0123634 222 ????? mkmxxk
所以 ? ?? ? ? ? 0324812334436 22222 ???????? kmkmk ，
设 ? ?11, yxM ， ? ?22 , yxN 则 43
6
221 ?
?
??
k
kmxx ， 43
123
2
2
21 ?
?
??
k
mxx
所以 ? ? 212212 412
1
2
xxxxk
MN
S OMN ???????
? ?
43
32132
43
3248
1
2
1
2
22
2
2
2
?
??
?
?
?
??
k
kk
k
k
k
令 tk ?? 43 2 ，则 2 4
3
tk ?? ， 4?t ， 4
110 ??
t
所以
22
2
2 3 2 1 2 3 1 1 2
3 3OMN
t tS
t t t?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
211
2
??
?
?
?
?
???
?
?
?
?
???
tt
y 是关于
t
1
的二次函数开口向下,在
4
110 ??
t
时单调递减,
所以
3
62
2
3
?? ?OMNS ，综上: 3
62
2
3
?? ?OMNS .
22.（本小题满分 15 分）
解析：（1） ? ? ? ?
? ?
x
x
a
xa
aax
x
xf
11
11'
??
?
?
?
?
? ?
????? ，
12
∵ 1?a ， ? ?ex ，1? ，∴ ? ? 0' ?xf ，
所以 ? ?xf 在区间 ? ?e，1 上为单调递增.
所以 ? ? ? ? 51
2
11min ?????? aafxf ， 8?a
又因为 18 ??a ，所以 a的值为 8.
（2）（i）? ? ? ? ? ? ? xxaaxxxfxg ????? 23 1
2
1
2
1
? ? xxaxx ???? 21
2
1ln ，且 ? ?xg 的定义域为 ? ???,0 ，
∴ ? ? ? ? ? ?xaxxaxxg 1ln111ln' ???????? .
由 ? ?xg 有两个极值点 1x ， 2x ，
等价于方程 ? ? 01ln ??? xax 有两个不同实根 1x ， 2x .
由 ? ? 01ln ??? xax 得：
x
xa ln1?? .
令 ? ? ? ?0ln ?? x
x
xxh ，
则 ? ? 2
' ln1
x
xxh ?? ，由 ? ? 0' ?xh ， ex ? .
当 ? ?ex ,0? 时， ? ? 0' ?xh ，则 ? ?xh 在 ? ?e,0 上单调递增；
当 ? ???? ,ex 时， ? ? 0' ?xh ，则 ? ?xh 在 ? ???,e 上单调递减.
所以，当 ex ? 时， ? ?
x
xxh ln? 取得最大值 ? ?
e
eh 1? ，
∵ ? ? 01 ?h ，∴当 ? ?1,0?x 时， ? ? 0?xh ，当 ? ???? ,1x 时， ? ? 0?xh ，
所以
e
a 110 ??? ，解得 111 ????
e
a ，所以实数 a的取值范围为 ?
?
?
?
?
? ?? 11,1
e
.
（ii）证明：不妨设 210 xx ?? ，
且 ? ? 11 1ln xax ?? ...①，
? ? 22 1ln xax ?? ...②，
①+②得： ? ? ? ?? ?2121 1ln xxaxx ??? ... ③
②-①得： ? ?? ?12
1
2 1ln xxa
x
x
??? ... ④
13
③÷④得：
12
21
1
2
21
ln
ln
xx
xx
x
x
xx
?
?
? ，即 ? ?
1
2
12
21
21 lnln x
x
xx
xxxx ?
?
?
? ，
要证： 221 exx ? ，
只需证 ? ? 2lnln
1
2
12
21
21 ???
?
?
x
x
xx
xxxx .
即证： ??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
1
2
1
2
12
12
1
2
1
1
22ln
x
x
x
x
xx
xx
x
x
.
令 ? ?1
1
2 ?? t
x
xt ，
设 ? ? ? ? 2
1
4ln
1
12ln ?
?
??
?
?
??
t
t
t
tttF ， ? ? ? ?
? ?
0
1
1
2
2
' ?
?
?
?
tt
ttF .
∴ ? ?tF 在 ? ???,1 上单调递增，
? ? ? ? 01 ??? FtF ，即 ? ?
1
12ln
?
?
?
t
tt ，
∴ 221 exx ? .
