人教A版必修5第二章数列章末总结之通项公式的求法（共22张PPT）

(共22张PPT)
数列通项公式的求法
人教A版必修5第二章章末总结
课题导入
在进行数列问题的讨论时，数列的通项公式的讨论与求解是我们解题的关键环节，如何能正确的求出数列的通项公式？我们这节主要学习一下数列的通项公式的求法
目标引领
1：掌握求数列通项公式的方法和技巧
2：能根据数列的前N项和求出数列的通项公式
3：能利用所给的递推公式求出数列的通项公式
独立自学
1：回顾等差数列的通项公式的推导方法
2：回顾等比数列的通项公式的推导方法
3：回顾数列的前N项和的概念
考点一：由数列的递推公式求通项公式
例1：在数列 中，已知 当 时
，求数列 的通项公式。



分析：类似于等差数列的通项公式的推导方法，形如 ，此时我们往往利用累加法求数列的通项公式。
引 导 探 究
解：因为
所以




则各式相加即可得到


又由 所以
例2：在数列 中，已知 当 时

，求数列 的通项公式。



分析：类似于等比数列的通项公式的推导方法，凡是递推公式形如 ，我们往

往利用累乘法求其通项公式。

解：因为当 时，

则
把各个式子相乘可以得到：


即

又因为 所以
例3：在数列 中， ，当 时，有 ，求数列 的通项公式。




分析：在形如 时，我们往往利用构造法求数列的通项公式，有时构造成等差数列，有时利用等比数列，在进行数列的构造时，如果一下子看不出来，可以利用待定系数法来进行求解。
变式1：设在数列 中， ， 求数列 的通项公式。
　　
分析：与例3不同，这时 不是一个常数，而是关于N的一次式，这是我们在进行构造数列时，所构造的数列应当是
思考：如果 是一个二次式，应当如何进行构造？
变式2：在数列中， ，当 时，有 ，求数列 的通项公式。

分析：当 是指数式时，我们在构造的时候可以在等式两边同时除以指数式，然后利用例题的方法求出数列的通项公式。
解：当 时，
等式两边同时除以 ，则原式可化为

令
则
利用待定系数法可得
所以数列 是以首项为 公比为
的等比数列，则

所以

考点二：由数列的前N项和求出数列的通项公式。
例1：已知数列 的前N项和为：
求数列 的通项公式

分析：在由数列的前N项和求通项公式时，我们往往通过三个步骤来进行，
（1）当 时，
（2）当 时，
（3）检验 是否满足第二步所求的通项公式，
若满足就合在一起，若不满足，就利用分段数列来写

解：当 时，
当 时，

显然： 并不满足所求出来的通项公式

所以
例2：已知数列 的前N项和为 ，

满足 ，

求数列 的通项公式。

分析：与上题的区别就在于这个式子的前面并不是 ，但是与 很相似，仍然是一个数列（但不是数列 ）的前N项和的形式，所以用的方法也是类似的，

解：当 时，
当 时，


两式相减即可得到：

即
显然 并不满足所求的通项公式

所以：
例3：例1：已知数列 的前N项和为 ，满足 ，
求数列 的通项公式



分析：在这个题目中，给出了 与 的关系式，求解时要注意的是，我们利用上面的解题方法得到的是关于 的递推公式，然后才能求出数列的通项公式。

解：当 时：
当 时，

两式相减：
即
注意：这时候还不能说 是等比数列，因为这个关系式是在 时求出来的，所满足的关系的第一个式子是 还要验证 与
是否满足同样的关系
又因为 所以数列 是以首项为1公比为3的等比数列，则
考点三：证明法求数列的通项公式
例1：数列 满足
（1）设 ，证明： 是等差数列
（2）求 的通项公式。


分析：在解题时我们可能会遇到一些我们没有见过的形式，这时候为了有利于解题，往往在题目中有一些提示——证明等差（等比）数列，这时我们可以利用等差等比数列的定义来进行证明，然后再求数列的通项公式。
（1）证明：因为
所以
=2
则数列 是以 公差为2的等差数列
（2）由（1）可得
利用前面所学的累加法可得
各式进行累加可得



则