11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质．(重点)
2.理解并掌握等角定理，并会应用．(难点)
3.理解异面直线的定义，会画两条异面直线．(一般)
4.了解空间四边形的定义．(一般)
1.借助两直线平行的判定与性质，提升学生的逻辑推理核心素养.
2.通过等角定理的学习，培养学生的直观想象核心素养.
1．平行直线
(1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)平行线的传递性
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质称为空间平行线的传递性．
符号表述：?b∥c.
2．等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？
[提示] 相等或互补．
3．异面直线的判定
与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．
4．空间四边形
1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
B [因为AB∥PQ，BC∥QR，
所以∠PQR与∠ABC相等或互补．
因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.]
2．如果两条平行直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有平行直线( )
A．12对 B．18对
C．24对 D．36对
B [由基本事实易知共有18对．]
3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．
相交 [直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]
空间两直线位置关系的判断
【例1】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 [(1)在正方体AC1中，因为A1D1 BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.
(2)因为B∈平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1，BB1C，又A1平面BCC1B1，由异面直线的判定可知A1B与B1C异面．
(3)因为D1D∩D1C＝D1，所以直线D1D与直线D1C相交．
(4)由异面直线的判定可知AB与B1C异面．]
判定两条直线是异面直线的方法
1．证明两条直线既不平行又不相交．
2．重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为Aα，B∈α，Bl，lα，则AB与l是异面直线(如图)．
1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．相交或异面
D [画出图形，得到结论．
(1) (2)
如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知，应选D.]
直线与直线平行的证明
【例2】 在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
[证明] 因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
所以EF∥AB且EF＝(AB＋CD)，
又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB.
因为G，H分别为AD′，BC′的中点，
所以GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，所以GHEF，所以四边形EFGH为平行四边形．
证明两条直线平行的三种方法
1．一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点．
2．二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质．
3．三是利用平行线的传递性：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
2．已知正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．
求证：四边形MNA′C′是梯形．
[证明] 如图，连接AC，
因为M，N为CD，AD的中点，
所以MNAC，
由正方体性质可知，ACA′C′，
所以MNA′C′，
所以四边形MNA′C′是梯形.
等角定理及其应用
【例3】 在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．
求证：(1)EFE1F1.
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
[证明] (1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EFBD，同理E1F1B1D1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AA1DD1，AA1BB1，所以B1BDD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BDB1D1，所以EFE1F1.
(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M，因为MF1B1C1，B1C1BC，所以MF1BC，
所以四边形BCF1M是平行四边形，所以MB∥CF1，因为A1MEB，所以四边形EBMA1是平行四边形，所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1，同理可证：A1F∥E1C，又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.
求证角相等的方法
一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
3．已知E、E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点，证明：∠BEC＝∠B1E1C1.
[证明] 如图，连接EE1，因为E、E1分别为AD、A1D1的中点，所以A1E1AE.所以四边形A1E1EA为平行四边形．所以A1AE1E.
又因为A1AB1B，所以E1EB1B.因为四边形E1EBB1是平行四边形．所以E1B1∥EB.同理，E1C1∥EC.又∠BEC与∠B1E1C1的方向相同，所以∠BEC＝∠B1E1C1.
1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．
2．对等角定理的应用，特别注意角的两组对应边的方向性.
1.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
A [∵E，F分别是SN和SP的中点，
∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，
∴EF∥HG.]
2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是( )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．空间四边形
B [设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为，又四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．]
3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.
135° [由等角定理可知β＝135°.]
4．已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点，求证：
∠DNM＝∠D1A1C1.
[证明] 如图，连接AC，
在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，
所以MN是△ACD的中位线，
所以MN∥AC，MN＝AC.
由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1，
所以MN∥A1C1，
又因为ND∥A1D1，
所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.
课件41张PPT。第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线传递性有且只有一条互相平行b∥c 相等对应平行相同空间两直线位置关系的判断 直线与直线平行的证明 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十五) 平行直线与异面直线
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知∠BAC＝40°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( )
A．40° B．140°
C．40°或140° D．大小无法确定
C [当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，∠B′A′C′＝40°；当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相反时，∠B′A′C′＝140°.]
2．在三棱锥S-ABC中，与SA是异面直线的是( )
A．SB B．SC
C．BC D．AB
C [如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．
]
3．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
D [如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1在平面AA1D1D中，直线BB1，BC1分别在平面BB1C1C中，但AD1∥BC1，AD1与BB1异面，又直线AB在平面ABCD中，显然AD1∩AB＝A．]
4．下列命题中，错误的结论是( )
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
A [选项A中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；选项B中，如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B正确；选项C中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，两角相等或互补，故选项C正确；选项D中，如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确．]
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，则下列结
论正确的是( )
A．直线GH和MN平行，GH和EF相交
B．直线GH和MN平行，MN和EF相交
C．直线GH和MN相交，MN和EF异面
D．直线GH和EF异面，MN和EF异面
B [易知GH∥MN，又∵E，F，M，N分别为所在棱的中点，由基本事实3可知EF，DC，MN交于一点，故选B.]
二、填空题
6．空间四边形ABCD中，M、N分别为AB，CD的中点，则MN________(AC＋BD)(填“≥”“＞”“≤”“＜”“＝”符号)．
＜ [取BC中点E，连接EM、EN(图略)，则
，相加EM＋EN＝(AC＋BD)，
又EM＋EN＞MN，所以MN＜(AC＋BD)．]
7．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线；
其中正确的命题是________．(只填序号)
① [由平行线的传递性知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；aα，bβ，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确．]
8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系．
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________．
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________．
(1)平行 (2)异面 [(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，
所以四边形A1BCD1为平行四边形，
所以A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．]
三、解答题
9.如图，E，F分别是长方形A1B1C1D1-ABCD的棱A1A，C1C的中点
求证：四边形B1EDF是平行四边形．
[证明] 设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1，
∵E是AA1的中点，∴EQA1D1，
又在矩形A1B1C1D1中A1D1B1C1，
∴EQB1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1EC1Q.
又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边中点，
∴QDC1F，
∴四边形DQC1F为平行四边形，
∴C1QDF，
又∵B1EC1Q，∴B1EDF，
∴四边形B1EDF为平行四边形．
10．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．求证：∠NMP＝∠BA1D.
[解] 如图，连接CB1，CD1，
∵CDA1B1，
∴四边形A1B1CD是平行四边形，
∴A1D∥B1C.
∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，
∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.
∵BCA1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1.
∵M，P分别是CC1，C1D1的中点，∴MP∥CD1，
∴MP∥A1B，
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，
∴∠NMP＝∠BA1D.
[等级过关练]
1．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
D [如图①②所示，OB，O1B1不一定平行．
① ②]
2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等 B．相似
C．仅有一个角相等 D．全等或相似
D [由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等．]
3．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分别是AB、AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．
平行 [∵在△ABC中，
AE∶EB＝AF∶FC，
∴EF∥BC，又∵BC∥B1C1，
∴EF∥B1C1.]
4．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．
AC＝BD AC＝BD且AC⊥BD [易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.]
5．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形．
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
[解] (1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH∥AD，GH＝AD.又BC∥AD，
BC＝AD，∴GH∥BC，GH＝BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)C，D，F，E四点共面．证明如下：
由BE∥FA，BE＝FA，G为FA中点知，
BE∥FG，BE＝FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EF∥BG，EF＝BG.
由(1)知BG∥CH，BG＝CH，
∴EF∥CH，EF＝CH，
∴四边形EFHC是平行四边形，
∴CE与HF共面，又D∈FH，
∴C，D，F，E四点共面．
