11.3.2 直线与平面平行
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点)
2.利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)
1.通过空间直线与平面位置关系的学习，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助直线与平面平行的判定与性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理的数学核心素养.
1．直线与平面的平行
位置关系
直线a在平面α内
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号表示
aα
a∩α＝A
a∥α
图形表示
2.直线与平面平行的判定定理及性质定理
定理
条件
结论
图形语言
符号语言
判定定理
平面外的一条直线与平面内的一条直线平行
这条直线与这个平面平行
________l
?l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交
这条直线与两平面的交线平行
?l∥m
1．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是( )
A．aα，bα，a∥b
B．bα，a∥b
C．bα，cα，a∥b，a∥c
D．bα，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD
A [由直线与平面平行的判定定理知选A．]
2．下列说法正确的是( )
A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线b
B．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交
C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α
D．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点
D [A中直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D正确．]
3．若a，b是异面直线，a∥α，则b与α的关系( )
A．b∥α或bα B．b与α相交或bα或b∥α
C．b与α相交或b∥α D．b与α相交或bα
B [如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，
①A′D′与AB异面，A′D′∥平面BC′，而AB与平面BC′相交；
②A′D′与BB′异面，A′D′∥平面BC′，而BB′在平面BC′内；
③分别取AB，A′B′中点E，F，EF与A′D′异面，A′D′∥平面BC′，而EF与平面BC′平行．]
4．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是________．
平行 [因为在△ABD中＝，所以MN∥BD，又因为MN平面BCD，BD平面BCD，所以MN∥平面BCD.]
直线与平面平行的判定定理
【例1】 如图，在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.
[思路探究] 要证明BD∥平面FGH，需在平面FGH内找到一条直线平行于BD，进而转化为线线平行的证明．
[证明] 在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，连接CD、FG.设CD∩FG＝O，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD∥平面FGH.
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④成比例线段法．
提醒：线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．
1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A [A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.
因为QD∩平面MNQ＝Q，所以QD与平面MNQ相交，
所以直线AB与平面MNQ相交．
B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ.
又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.
C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.
又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.
D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ.
又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.
故选A．]
直线与平面平行的性质定理
【例2】 如图，AB，CD为异面直线，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点．求证：AM∶MC＝BN∶ND.
[证明] 连接AD交平面α于点E，连接ME和NE.
如图所示，
因为平面ACD∩α＝ME，CD∥α，
所以CD∥ME，所以＝.同理可得EN∥AB，
所以＝.所以＝，即AM∶MC＝BN∶ND.
利用线面平行的性质定理证明线线平行的四个步骤
(1)在已知图形中确定(或寻找)一条直线平行于一个平面．
(2)作出(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面．
(3)得出交线．
(4)根据线面平行的性质定理得出结论．
2．求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
[解] 已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.
证明：如图，过a作平面γ交α于b.
∵a∥α，∴a∥b.过a作平面ε交平面β于c.
∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.
又bβ且cβ，∴b∥β.
又平面α过b交β于l，∴b∥l.
∵a∥b，∴a∥l.
线面平行判定定理与性质定理的综合运用
[探究问题]
1．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)是否都和平面α平行？
[提示] 平行．
2．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？
[提示] 不是．
3．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？
[提示] 若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．
【例3】 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P∈BB1(P不与B，B1重合)，PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求证：MN∥平面ABCD.
[证明] 连接AC，A1C1在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为AC平面A1BC1，A1C1平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，因为AC平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN.因为MN平面ABCD，AC平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.
利用线面平行的判定定理和性质定理的关键及思考方向
关键：是过直线作平面与已知平面相交．
思考方向：若条件中含有线线平行，可考虑线面平行的判定定理的条件；若条件中含有线面平行，可考虑线面平行的性质定理得线线平行．
3．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．
平行四边形 [因为平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，所以EF∥CD；同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB.所以GH∥EF，EG∥FH.
所以四边形EFHG是平行四边形．]
1．直线与平面平行的判定定理的理解
判定直线l和平面α平行时，必须具备三个条件
①直线l在平面α外，即lα；
②直线m在平面α内，即mα；
③两直线l，m平行，即l∥m.
这三个条件缺一不可．
2．直线与平面平行的性质定理的理解
应用性质定理时，必须具备的三个条件
①直线l平行于平面α，即l∥α，
②直线l在平面β内，即lβ，
③两平面α与β相交，即α∩β＝m，这三个条件缺一不可．
3．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行． ( )
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行． ( )
(3)直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α. ( )
(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行． ( )
[解析] (1)错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行．
(2)错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(2)错．
(3)错误．直线l也可能与平面α相交．
(4)错误．在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．M∈l，N∈l，Nα，M∈α，则有( )
A．l∥α B．lα
C．l与α相交 D．以上都有可能
C [由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．]
3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________．
平行 [如图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点．又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.又因为OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1∥平面ACE.]
4．直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
[证明] 如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
课件47张PPT。第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系
11.3.2 直线与平面平行有且只有一个有无数个没有平行平面外平面内交线平行相交直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行的性质定理点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十六) 直线与平面平行
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
B [如图所示，结合图形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D.]
2．直线a在平面γ外，则( )
A．a∥γ
B．a与γ至少有一个公共点
C．a∩γ＝A
D．a与γ至多有一个公共点
D [直线a在平面γ外，其包括直线a与平面γ相交或平行两层含义，故a与γ至多有一个公共点．]
3．下列说法正确的是( )
A．如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面
B．如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线
C．如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b
D．如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，那么b∥α
D [如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，
AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面AB′内，
故选项A不正确；
AA′∥平面B′C，BC平面B′C，但AA′不平行于BC，
故选项B不正确；
AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，
但AA′与A′D′相交，
所以选项C不正确；
选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，
所以a与α相交，这与a∥α矛盾，
故b∥α，即选项D正确．故选D.]
4．如图，在四面体ABCD中，若M、N、P分别为线段AB、BC、CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系为( )
A．平行
B．可能相交
C．相交或BD平面MNP
D．以上都不对
A [因为N、P分别为线段BC、CD的中点，所以NP∥BD，又BD平面MNP，NP平面MNP，所以BD∥平面MNP.]
5．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD B．MN∥PA
C．MN∥AD D．以上均有可能
B [在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，MN平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA．]
二、填空题
6．平行四边形的一组对边平行于一个平面，则另一组对边与这个平面的位置关系是________．
[答案] 平行或相交
7．如图，ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是其四边上的点且共面，AC∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，＝________.
[因为AC∥平面EFGH，AC平面ABC，
平面EFGH∩平面ABC＝EF，
所以AC∥EF，同理AC∥GH.
＝＝＝，而EF＝FG.
所以EF＝，所以＝＝.]
8.如图，P为?ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝__________.
[连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBF，
PA平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，
所以PA∥FG，
所以＝.
又因为AD∥BC，E为AD的中点，
所以＝＝，所以＝.]
三、解答题
9．简述下列问题的结论，并画图说明：
(1)直线a平面α，直线b∩a＝A，则b和α的位置关系如何？
(2)直线aα，直线b∥a，则直线b和α的位置关系如何？
[解] (1)由图①可知：bα或b∩α＝A．
(2)由图②可知：bα或b∥α.
① ②
10．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1.
(2)求PQ的长．
[解] (1)如图所示，连接AC，CD1，
因为ABCD为正方形，
所以AC与BD互相平分，又Q为BD的中点，
所以Q为AC的中点，
因为P为AD1的中点，所以PQ∥CD1，
因为CD1平面DCC1D1，PQ平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)由(1)得，PQ是△ACD1的中位线，
所以PQ＝D1C＝a.
[等级过关练]
1．五棱柱的底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β且AD∥BC，则AB与CD的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．无法判断
A [因为五棱柱的底面为α和β，所以α∥β，又AD∥BC，所以A，B，C，D四点共面，平面ABCD与平面α的交线为AB，平面ABCD与平面β的交线为CD，所以AB∥CD.]
2．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别是BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
C．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
C [如图，由条件知，EF∥BD，EF＝BD，HG∥BD，且HG＝BD；
所以EF∥HG，且EF＝HG，所以四边形EFGH为梯形，EF∥BD，EF平面BCD，BD平面BCD，所以EF∥平面BCD；若EH∥平面ADC，则EH∥FG，显然EH不平行于FG，所以EH不平行于平面ADC.]
3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有________条．
1 [如图所示，
∵l∥平面α，P∈α，
∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，
∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．]
4．三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．
平行 [连接AG并延长交BC于点M，连接SM，则AG＝2GM，
又AE＝2ES，所以EG∥SM，
又因为EG平面SBC，SM平面SBC，
所以EG∥平面SBC.
]
5.如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面APD是否平行？试证明你的结论．
[解] (1)证明：因为BC∥AD，
BC平面PAD，AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l.
(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.
可知四边形AMNE为平行四边形．
所以MN∥AE，又因为MN平面APD，AE平面APD，所以MN∥平面APD.
