11.3.3 平面与平面平行
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握空间两个平面的位置关系，并会判断．(重点)
2.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．(重点)
3.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点)
1.通过学习空间两平面的位置关系，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助两平面平行的判定与性质的学习，提升逻辑推理、数学抽象的核心素养.
1．两个平面的位置关系
位置关系
图示
表示法
公共点个数
两平面平行
α∥β
0个
两平面相交
α∩β＝l
无数个点(共线)
思考：如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？
[提示] 如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．
2．平面与平面平行的判定定理与推论
语言叙述
符号表示
图形表示
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行
?α∥β
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
3．平面与平面平行的性质定理
文字语言
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m?l∥m
图形语言
推论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
A [由面面平行的性质定理可知选项A正确．]
2．底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，与平面BB1C1C平行的平面是( )
A．平面AA1D1D B．平面AA1B1B
C．平面DD1C1C D．平面ABCD
A [根据图形及平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D.]
3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定
C [如图所示，由图可知C正确．
]
4．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________．
①② [对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD-A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．]
平面与平面间的位置关系
【例1】 已知下列说法：
①若两个平面α∥β，aα，bβ，则a∥b；
②若两个平面α∥β，aα，bβ，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，aα，bβ，则a与b一定不相交；
④若两个平面α∥β，aα，bβ，则a与b平行或异面；
⑤若两个平面α∩β＝b，aα，则a与β一定相交．
其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．
③④ [①错．a与b也可能异面；
②错．a与b也可能平行；
③对．因为α∥β，所以α与β无公共点．又因为aα，bβ，
所以a与b无公共点；
④对．由已知及③知：a与b无公共点，
那么a∥b或a与b异面；
⑤错．a与β也可能平行．]
两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交．熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键．
1．已知a，b是两条异面直线，平面α过a且与b平行，平面β过b且与a平行，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或相交
A [如图，在b上任取一点P，设a与点P确定的平面为γ，γ∩β＝c，
因为a∥β，所以a∥c，又aα，cα，所以c∥α，
因为c∩b＝P，又c∥α，b∥α，cβ，bβ，所以α∥β.]
平面与平面平行的判定
【例2】 已知正方形ABCD与菱形ABEF所在平面相交，求证：平面BCE∥平面ADF.
[思路探究] 由四边形ABCD是正方形，证得BC∥平面ADF，由四边形ABEF为菱形，证得BE∥平面ADF，即可利用面面平行的判定定理，证得平面BCE∥平面ADF.
[证明] 因为四边形ABCD是正方形，所以BC∥AD.
因为BC平面ADF，AD平面ADF，
所以BC∥平面ADF.
因为四边形ABEF是菱形，
所以BE∥AF.
因为BE平面ADF，AF平面ADF，
所以BE∥平面ADF.因为BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，
BC∩BE＝B，
所以平面BCE∥平面ADF.
常见面面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理法：转化为线面平行．
(3)平行平面的传递性：两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行．
(4)利用平面与平面平行的判定定理的推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．即：?α∥β.
2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
[证明] 因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
又因为BP平面PBC，NQ平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
因为四边形ABCD为平行四边形．
所以BC∥AD，所以MQ∥BC.
又因为BC平面PBC，MQ平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ∩NQ＝Q，
所以平面MNQ∥平面PBC.
面面平行的性质定理的应用
[探究问题]
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？
[提示] 如图，连接SB，
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1.
∴直线EG∥平面BDD1B1.
2．上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1.
[提示] 连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，
且EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
【例3】 如图，已知平面α∥β，Pα，且Pβ，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝________.
[思路探究] 面面平行?线线平行?分线段比例相等．
[因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝.所以BD＝.]
1．将本例改为：若点P位于平面α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．
[解] 与本例同理，可证AB∥CD.
所以＝，即＝，所以BD＝24.
2．将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C与D，E，F.
已知AB＝6，＝，求AC.
[解] 由题图可知＝?AC＝·AB＝×6＝15.
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
1．平面与平面平行的判定定理的理解
(1)平面α内两条相交直线l，m，即lα，mα，l∩m≠?.
(2)两条相交直线l，m都与平面β平行，即l∥β，m∥β.这两个条件缺一不可．
2．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)没有公共点的两平面平行． ( )
(2)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行． ( )
(3)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．
( )
[解析] (1)由平面与平面平行的定义知正确．
(2)若两个平面都平行于同一条直线，两平面可能平行，也可能相交，故错误．
(3)两平面可能相交．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( )
A．若α与β相交，aα，bβ，则a与b一定相交
B．若aα，bβ，a∥b，则α∥β
C．a∥β，b∥β，aα，bα?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
D [A错误，a与b，可能平行也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知B、C错误；由平面与平面平行的性质定理知，D正确．]
3．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
平行 [由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，所以EF∥BC.又因为BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC，又因为EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面ABC.]
4．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P平面ABCD.
求证：平面PAB∥平面EFG.
[证明] 因为PE＝EC，PF＝FD，所以EF∥CD，
又因为CD∥AB，
所以EF∥AB，又EF平面PAB，AB平面PAB，
所以EF∥平面PAB，同理可证EG∥平面PAB.
又因为EF∩EG＝E，
所以平面PAB∥平面EFG.
课件45张PPT。第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系
11.3.3 平面与平面平行0个无数个点(共线)平行于相交两条相交平行 l∥m 平面与平面间的位置关系 平面与平面平行的判定 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十七) 平面与平面平行
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下说法：
①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B [把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B.]
2．α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )
A．α，β都平行于直线l，m
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β
D．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
D [A、B、C中都有可能使两个平面相交；D中l∥α，m∥α，可在α内取一点，过该点作l，m的平行线l′，m′，则l′，m′在平面α内且相交，又易知l′∥β，m′∥β，∴α∥β.]
3．下列说法中，错误的是( )
A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B．平行于同一个平面的两个平面平行
C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行
D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行
C [分别在两个平行平面内的直线，可能平行，也可能异面．]
4．设a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题中不正确的是( )
A．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
B．a∥b，b∥α，aα?a∥α
C．α∥β，β∥γ?α∥γ
D．α∥β，a∥α?a∥β
D [当α∥β且a∥α时，可能有aβ，也可能有a∥β，因此选项D中的命题不正确．]
5．能够判断两个平面α，β平行的条件是( )
A．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行
B．夹在两个平面间的线段相等
C．平面α内的无数条直线与平面β无公共点
D．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等
D [平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α、β无公共点．]
二、填空题
6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________．
平行或相交 [三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．]
7．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题．
①?a∥b；②?a∥b；③?α∥β；
④?α∥β；⑤?a∥α；⑥?a∥α，
其中正确的命题是________．(填序号)
①④ [①是平行公理，正确；②中a，b还可能异面或相交；③中α、β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能aα；⑥也是忽略了aα的情形．]
8．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
平行四边形 [由平行投影的定义，AA1∥BB1，而ABCD所在平面与平面α平行，则AB∥A1B1，则四边形ABB1A1为平行四边形；同理四边形CC1D1D为平行四边形．因为A1B1C1D1，所以ABCD，从而四边形ABCD为平行四边形．]
三、解答题
9．如图，E，F分别是三棱柱ABC-A1B1C1的棱AC，A1C1的中点，
证明：平面AB1F∥平面BC1E.
[证明] 由于四边形ACC1A1是平行四边形，
所以FC1∥AE，且AC＝A1C1，由于E，F分别是AC，A1C1的中点，
所以AE＝＝A1C1＝FC1，
又因为FC1∥AE，所以四边形AEC1F是平行四边形，所以AF∥EC1，
而EC1在平面BC1E上，所以AF∥平面BC1E，连接EF，则由A1F＝A1C1＝＝AE，且A1F∥AE得四边形AEFA1是平行四边形，
有EFAA1，又在平行四边形ABB1A1中有AA1BB1，
所以EFBB1，则四边形EFB1B是平行四边形，有FB1∥BE，
而BE在平面BC1E上，所以FB1∥平面BC1E，
因为AF，FB1是平面AB1F上的两条相交直线，
所以由AF∥平面BC1E，FB1∥平面BC1E，可得平面AB1F∥平面BC1E.
10．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
[证明] 因为BE∥AA1，AA1平面AA1D，BE平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD平面AA1D，
BC平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE平面BCE，BC平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
[等级过关练]
1．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C( )
A．不共面
B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．无论点A，B如何移动都共面
D [无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．]
2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
A [如图，∵EG∥E1G1，EG平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1，
又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E平面EGH1，EG平面EGH1，
∴平面E1FG1∥平面EGH1.]
3．在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？
______(填“是”或“否”)．
是 [因为侧面AA1B1B是平行四边形，
所以AB∥A1B1，
因为AB平面A1B1C1，A1B1平面A1B1C1，
所以AB∥平面A1B1C1，
同理可证BC∥平面A1B1C1.
又因为AB∩BC＝B，AB平面ABC，
BC平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.]
4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则MN＝________AC.
[因为平面MNE∥平面ACB1，平面ABCD∩平面MNE＝MN，
平面ABCD∩平面ACB1＝AC，所以MN∥AC.同理可证EM∥AB1，EN∥B1C.因为E是B1B的中点，所以M、N分别是AB、BC的中点，所以MN＝AC.]
5．如图所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
[解] (1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.
连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.
又因为OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，所以＝，
又由题(1)可知＝，＝1，所以＝1，即＝1.
