11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)
2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(重点)
3.掌握线面垂直的性质定理，并能应用．(重点)
4.灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题．(难点)
1.通过直线与平面垂直的定义学习，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助线面垂直的判定定理与性质定理，提升逻辑推理、数学抽象的数学核心素养.
1．直线与直线所成的角
一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．
规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°，两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角．特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作l⊥m.
2．直线与平面垂直的定义
文字语言
图形语言
符号语言
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
l⊥α?mα，l⊥m.
3.直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直
?l⊥α
思考：一条直线与一个平面内两条平行直线垂直，那么这条直线与这个平面是什么位置关系？
[提示] 相交或平行或直线在平面内．
4．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
如果两条直线垂直于同一个平面，那么两条直线平行
符号语言
?l∥m
图形语言
文字语言
如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
符号语言
?m⊥α
5.直线与平面所成的角
(1)斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA．
(2)斜足：斜线和平面的交点，图中点A．
(3)射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO.
(4)直线与平面所成的角：
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．
②规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．
(5)取值范围：0°≤θ≤90°.
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．6
B [正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中与AA1垂直的平面是平面ABCD与平面A1B1C1D1.]
2．直线l⊥平面α，直线mα，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
A [由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行．]
3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
A [由题意知，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，
BO＝AB，所以∠ABO＝60°.]
4．如图，设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面ABCD外一点，且有PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的关系是________．
垂直 [因为PA＝PC，所以PO⊥AC，又PB＝PD，
所以PO⊥BD.所以PO⊥平面ABCD.]
线面垂直的定义及线线角、线面角的求解
【例1】 (1)下列说法中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
(3)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．135°
(1)D (2)C (3)B [(1)由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．
(2)因为A1B∥D1C，所以异面直线A1B与AD1所成的角为∠AD1C，
因为△AD1C为等边三角形，
所以∠AD1C＝60°.
(3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，BC1在平面A1B1C1D1中的射影为B1C1，所以∠BC1B1即为直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角，在等腰直角三角形BB1C1中∠BC1B1＝45°.]
1．理解线面垂直判定定理要注意的两个问题
(1)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．
(2)空间直线与直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况，所以在平面内的这两条直线是否与已知直线有交点，是无关紧要的．
2．求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求．
3．求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
(1)下列说法中错误的个数是( )
①若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α；
②若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交；
③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直；
④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直．
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．
(1)C (2)45° [(1)①错误．若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l与α平行、相交或l在α内都有可能；
②错误．若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能；③④正确．
(2)因为PA⊥平面ABC，所以∠PBA为PB与平面ABC所成的角，又PA＝AB，所以∠PBA＝45°.]
线面垂直判定定理的应用
【例2】 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.
(1)求证：PC⊥平面AEF；
(2)设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD.
[思路探究] PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，AE⊥PB，AF⊥PC?直线与平面垂直的判定定理；若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的所有直线．
[证明] (1)因为PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，
所以PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，AE平面PAB，
所以AE⊥BC.
又AE⊥PB，PB∩BC＝B，
所以AE⊥平面PBC，PC平面PBC，
所以AE⊥PC.
又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，
所以PC⊥平面AEF.
(2)由(1)知PC⊥平面AEF，
所以PC⊥AG，同理
CD⊥平面PAD，AG平面PAD，
所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，
所以AG⊥平面PCD，PD平面PCD，所以AG⊥PD.
1．若本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.
[证明] 因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PA，
因为PA平面PAC，AC平面PAC，且PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC，FH平面PAC，
所以BD⊥FH.
2．若本例中PA＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.
[证明] 因为PA⊥平面ABCD，DC平面ABCD，
所以DC⊥PA,
又因为ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA∩AD＝A，
所以DC⊥平面PAD，又AG平面PAD，
所以AG⊥DC，
因为PA＝AD，G是PD的中点，
所以AG⊥PD，又DC∩PD＝D，
所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG，
又因为PC⊥AF，AG∩AF＝A，
所以PC⊥平面AFG.
证线面垂直的方法
1．线线垂直证明线面垂直
(1)定义法(不常用)；
(2)判定定理最常用(有时作辅助线)．
2．平行转化法(利用推论)
(1)a∥b，a⊥α?b⊥α；
(2)α∥β，a⊥α?a⊥β.
线面垂直性质定理的应用
[探究问题]
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．
1．折痕AD与桌面一定垂直吗？
[提示] 不一定．
2．当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
[提示] 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．
【例3】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1.
[思路探究] 两直线垂直于同一平面?两直线平行．
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
本例中条件不变，求证：M是AB中点．
[证明] 连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.
所以ONCDAB，
所以ON∥AM.
又因为由本例可知MN∥OA，
所以四边形AMNO为平行四边形，
所以ON＝AM.因为ON＝AB，
所以AM＝AB，
所以M是AB的中点．
平行关系与垂直关系之间的相互转化
1．直线和平面垂直的判定方法：
(1)利用线面垂直的定义；
(2)利用线面垂直的判定定理；
(3)利用下面两个结论：
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2．求线面角的常用方法：
(1)直接法(一作(或找)二证三计算)；
(2)转移法(找过点与面平行的线或面)．
3．重视线线垂直和线面垂直的互相转化
在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行． ( )
(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行． ( )
(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． ( )
[解析] 由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
B [圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确．]
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中AB1与平面ADD1A1所成的角等于________，AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．
45° 0° [∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，
即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.]
4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.
[证明] 如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，
即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中点，
∴EF⊥PC.
又BP＝＝2＝BC，
F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，
∴PC⊥平面BEF.
课件55张PPT。第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直夹角 任意一条 两条相交直线 l∥m平行
相交垂直直线PA交点点A斜足直线AO
垂线垂足直角线面垂直的定义及线线角、线面角的求解 线面垂直判定定理的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十八) 直线与平面垂直
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列条件中，能使直线m⊥α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，bα，cα
B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α
D．m∥b，b⊥α
D [对于A，缺b与c相交；对于B，还可能得出m∥α，m与α相交或mα；对于C，可能有m∥α或mα或m与α相交．]
2．m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种说法：
①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；
②m⊥n，α∥β，m⊥α?n⊥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；
④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [①正确，因为n∥β，α∥β，
所以在α内有与n平行的直线，又m⊥α，则m⊥n；
②错误，α∥β，m⊥α?m⊥β，
因为m⊥n，则还可能nβ；
③错误，因为m⊥n，α∥β，m∥α，则还可能nβ，n∥β或n与β相交；
④正确，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因为m∥n，则n⊥β.]
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A．－ B.
C．－ D．
B [取B1D的中点O，连结EO(图略)，则EO∥AC，因为AC⊥平面B1BD，所以EO⊥平面B1BD，则∠EBO就是直线BE与平面B1BD所成角的平面角，
所以sin∠EBO＝＝，故选B.]
4．已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1
D [正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；
由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，
从而BD⊥AC1，即B正确；
由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，
因此AC1⊥平面CB1D1，即C正确；
由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故选D.]
5．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
B [因为EG⊥平面α，PQ平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.]
二、填空题
6．如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．
CD⊥AB [∵EA⊥α，CDα，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA．
同理，∵EB⊥β，CDβ，则有EB⊥CD.
又EA∩EB＝E，
∴CD⊥平面AEB.
又∵AB平面AEB，∴CD⊥AB.]
7．如图所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．
4 [?
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.]
8．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个结论：
①点H是△A1BD的中心；
②AH垂直于平面CB1D1；
③AC1与B1C所成的角是90°.
其中正确结论的序号是________．
①②③ [①正确，因为AH⊥平面A1BD，AA1＝AB＝AD，
所以Rt△AHA1≌Rt△AHD≌Rt△AHB，
所以HA1＝HB＝HD，
所以点H是△A1BD的外心，又因为A1B＝BD＝DA1，
所以点H是△A1BD的中心．
②正确．易证平面A1BD∥平面CB1D1，
又因为AH⊥平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1.
③正确．易证A1D⊥平面ABC1D1，所以AC1⊥A1D，又A1D∥B1C，所以AC1⊥B1C，所以AC1与B1C所成的角是90°.]
三、解答题
9．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
[证明] 因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，
所以BC⊥平面ABE.
又AE平面ABE，所以AE⊥BC.
因为BF⊥平面ACE，AE平面ACE，所以AE⊥BF.
又因为BF平面BCE，BC平面BCE，BF∩BC＝B，
所以AE⊥平面BCE.
又BE平面BCE，所以AE⊥BE.
10．如图所示，四边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面)，C是圆柱底面圆周上异于A、B的任意一点．求证：AC⊥平面BB1C.
[证明] 因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面，
所以BB1⊥底面ABC.
因为AC底面ABC，
所以BB1⊥AC.
因为AB为底面圆的直径，
所以∠ACB＝90°，
所以BC⊥AC.
又因为BB1∩BC＝B，BB1平面BB1C，BC平面BB1C，
所以AC⊥平面BB1C.
[等级过关练]
1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 ( )
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
A [如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于B1C上．]
2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．至多一个
C．有一个或无数个 D．不存在
B [若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．]
3．已知平面α，β和直线m，给出下列条件：
①m∥α；②m⊥α；③mα；④α∥β.
当满足条件________时，有m⊥β.
②④ [若m⊥α，α∥β时，有m⊥β，故填②④.]
4．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．
①④ [对于①，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，从而可得EA⊥PB，故①正确．
对于②，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故②不正确．
对于③，由于在正六边形中BC∥AD，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故③不正确．
对于④，由条件得△PAD为直角三角形，且PA⊥AD，又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°.故④正确．]
5．如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．
求证：(1)DF∥平面ABC.
(2)AF⊥BD.
[证明] (1)取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝AE.
因为CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，所以CD∥AE.
又因为CD＝AE，所以FG∥CD，FG＝CD，
所以四边形CDEG是平行四边形，所以DF∥CG，
又CG平面ABC，DF平面ABC，
所以DF∥平面ABC.
(2)易知CG⊥GF，又CG⊥AB，AB∩FG＝G，
所以CG⊥平面ABE，
所以CG⊥AF，DF∥CG，所以AF⊥DF，
在Rt△ABE中，AF⊥BE，又DF∩BE＝F，
所以AF⊥平面BDF，所以AF⊥BD.
