专题强化训练(三)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B [①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．]
2．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
C [当α⊥β，在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β，因此，垂直于平面β内的一条直线b的直线不一定垂直于β，故选C.]
3．已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两条对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
C [空间四边形ABCD的四个顶点不共面，
所以AC与BD必为异面直线．
取BD的中点O，连接OA，OC，
由AB＝AD＝BC＝CD得OA⊥BD，OC⊥BD，
所以BD⊥平面AOC，所以BD⊥AC，故选C.]
4．已知圆锥的侧面展开图为半圆，半圆的面积为S，则圆锥的底面面积是( )
A．2S B. C.S D.S
B [设圆锥的底面半径为r，母线长为l.
则由题意，得S＝πl2，S＝πrl，所以πl2＝πrl，
于是l＝2r，代入S＝πrl，得S＝2πr2，
所以圆锥的底面面积πr2＝.]
5．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是( )
A．南 B．北
C．西 D．下
B [正方体展开图还原为正方体，如图所示，故标△的方位为北．
]
二、填空题
6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．
[设新的底面半径为r，由题意得
×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，
所以r2＝7，所以r＝.]
7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1，其中N是BC的中点．(填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况)
M∈FH [连接FH(图略)，因为平面FHN∥平面B1BDD1，若M∈FH，则MN平面FHN，所以MN∩平面B1BDD1＝?，所以MN∥平面B1BDD1.]
8．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．
8π [由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝l＝2，AO＝l＝2.故该圆锥的体积V＝π×AO2×SO＝π×(2)2×2＝8π.]
三、解答题
9．已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积．
[解] 法一：在Rt△B1FB中，
B1F＝h′，
BF＝(8－4)＝2(cm)，
B1B＝8(cm)，
∴B1F＝＝2(cm)，
∴h′＝B1F＝2(cm)，
∴S正棱台侧＝×4×(4＋8)×2＝48(cm2)．
法二：延长正四棱台的侧棱交于点P，如图，设PB1＝x(cm)，
则＝，得x＝8(cm)，
∴PB1＝B1B＝8(cm)，
∴E1为PE的中点，
∴PE1＝＝2(cm)，
PE＝2PE1＝4(cm)，
∴S正棱台侧＝S大正棱锥侧－S小正棱锥侧
＝4××8×PE－4××4×PE1
＝4××8×4－4××4×2
＝48(cm2)．
10.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴转动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
[解] (1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝，EC＝1.
在Rt△DEC中，CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明：①当D在平面ABC内时，
因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.
又AC＝BC，所以AB⊥CE.
又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.
又CD平面CDE，所以AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.
[等级过关练]
1．已知α、β是平面，m、n是直线，给出下列表述：
①若m⊥α，mβ，则α⊥β；
②若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；
③如果mα，nα，m，n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且nα，nβ，则n∥α且n∥β.
其中表述正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，nα，mα，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．]
2．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
C [由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，
又因为BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，C正确．]
3．如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．
①②④ [①AE平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA?AE⊥BC，故①正确，②AE⊥PC，AE⊥BC，PB平面PBC?AE⊥PB，AF⊥PB，EF平面AEF?EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BC?AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．]
4．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，则这两部分的体积之比为________．
7∶5(或5∶7) [设棱柱的底面积为S，高为h，其体积V＝Sh，则三角形AEF的面积为S，由于VAEF-A1B1C1＝·h·＝Sh，则剩余不规则几何体的体积为V′＝V－VAEF-A1B1C1＝Sh－Sh＝Sh，所以两部分的体积之比为VAEF-A1B1C1∶V′＝7∶5.]
5．如图(1)，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE＝BF＝EF＝2，DE＝CF＝2.将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到如图(2)所示的一个四棱锥M-CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．
图(1) 图(2)
(1)求证：GH∥平面DEM；
(2)求证：EM⊥CN.
[证明] (1)如图，连接NG，EN，
因为N，G分别是MD，MC的中点，
所以NG∥CD，NG＝CD.
依题意得，EF∥CD，EF＝CD.
因为H是EF的中点，
所以EH∥CD，EH＝CD，所以NG∥EH，NG＝EH，
所以四边形ENGH是平行四边形，
所以GH∥EN，又GH平面DEM，EN平面DEM，
所以GH∥平面DEM.
(2)如图，取EM的中点P，连接NP，PF，
则NP∥DE∥CF，FP⊥EM，因为EM⊥DE，所以EM⊥NP，
因为NP∩FP＝P，所以EM⊥平面CFPN，
又CN平面CFPN，所以EM⊥CN.
(备用题)如图所示，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC＝60°，下列说法中错误的是( )
A．AD⊥平面BDC
B．BD⊥平面ADC
C．DC⊥平面ABD
D．BC⊥平面ABD
D [由题可知，AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC，又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB＝AC，BD＝DC＝AB.
又∠BAC＝60°，所以△ABC为等边三角形，故BC＝AB＝BD，
所以∠BDC＝90°，即BD⊥DC.
所以BD⊥平面ADC，同理DC⊥平面ABD.
所以A、B、C项均正确．选D.]
章末综合测评(三) 立体几何初步
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是( )
A．④⑤ B．③④⑤
C．②③④⑤ D．③⑤
D [③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误．]
2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
D [如图，以AB为轴旋转所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．]
3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是( )
A．3π B．3π
C．6π D．9π
A [根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.]
4．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足 m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
C [利用线面垂直的性质进行分析．
因为α∩β＝l，所以lβ.
因为n⊥β，所以n⊥l.]
5．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )
A． B.
C. D．
B [由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体(即两个同底同高同棱长的正四棱锥)，所有棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积为V＝2V正四棱锥＝2××12×＝.]
6．如图所示，在三棱锥V-ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，下列结论不正确的是( )
A．平面VAC⊥平面ABC
B．平面VAB⊥平面ABC
C．平面VAC⊥平面VBC
D．平面VAB⊥平面VBC
C [AV⊥BA，VA⊥AC，BA∩AC＝A，所以VA⊥平面ABC，易知A、B正确，因为BC⊥AB，平面VAB∩平面ABC＝AB，所以BC⊥平面VAB，易知D正确，故选C.]
7．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为2，则它的表面积为 ( )
A．4(3＋4) B．12(＋2)
C．12(2＋1) D．3(＋8)
B [如图所示，正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为2，则高为BB1＝＝2.
S＝12××22＋6×2×2＝12＋24
＝12(＋2)．]
8．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)，高为4，体积为16，则这个球的表面积是 ( )
A．16π B．20π
C．24π D．32π
C [正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为2，正四棱柱的体对角线为2.而球的直径等于正四棱柱的体对角线，即2R＝2，R＝，S球＝4πR2＝24π.]
9．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( )
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直
D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C [作两个相交平面，交线为n，使得直线m⊥α，假设β内一定存在直线a与m平行，因为m⊥α，而a∥m，所以直线a⊥α，而aβ，所以α⊥β，这与平面α与平面β相交不一定垂直矛盾，所以β内不一定存在直线a与m平行，因为直线m⊥α，nα，又nβ，所以m⊥n，所以在β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直，故选C.
]
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1C1上任意一点，则异面直线CE和BD所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
D [连接AC，设AC∩BD＝O，连接A1O，因为A1EOC，所以四边形A1OCE为平行四边形，所以A1O∥EC，故∠A1OB或其补角即为异面直线CE与BD所成的角，因为AA1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1⊥BD，又AC⊥BD，且AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AOC1，故BD⊥A1O，所以∠A1OB＝90°，即异面直线CE与BD所成角为90°.]
11．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ.( )
A．若l⊥β，则α⊥β
B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β
D．若α∥β，则l∥m
A [利用空间平行与垂直的判定定理及性质定理进行分析．因为l⊥β，lα，所以α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]
12．正方体ABCD-A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是( )
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH⊥平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．AH⊥BB1
D [因为AH⊥平面A1BD，
BD平面A1BD，
所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A．
所以BD⊥平面AA1H.又A1H平面AA1H.
所以A1H⊥BD，
同理可证BH⊥A1D，
所以点H是△A1BD的垂心，A正确．
因为平面A1BD∥平面CB1D1，
所以AH⊥平面CB1D1，B正确．
易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故C正确．
因为AA1∥BB1，AA1与AH显然不垂直，∴AH与BB1也不垂直，故D错误．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.
9 [由面面平行的性质得AC∥BD，＝，解得SD＝9.]
14．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：
①若l⊥α，则l与α相交；
②若mα，nα，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.
其中正确命题的序号为________．
①③④ [①显然正确；对②，只有当m，n相交时，才有l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n?l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α?l⊥α，再由n⊥α?l∥n，故④正确．]
15．一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________．
[在平面VAC内作直线PD∥AC，交VC于D，在平面VBA内作直线PF∥VB，交AB于F，过点D作直线DE∥VB，交BC于E，连接EF.
因为PF∥DE，
所以P，D，E，F四点共面，且平面PDEF与VB和AC都平行，
则四边形PDEF为边长为的正方形，故其面积为.]
16．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．
[取AC、A1C1的中点M、M1，连接MM1、BM，过D作DN∥BM，则DN⊥平面AA1C1C.连接AN，则∠DAN就是AD与平面AA1C1C所成角，在Rt△DAN中，
sin∠DAN＝＝＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中挖去一个圆锥，得到一个几何体M，已知圆锥顶点为正方形ABCD的中心，底面圆是正方形A1B1C1D1的内切圆，若正方体的棱长为a cm.
(1)求挖去的圆锥的侧面积．
(2)求几何体的体积．
[解] (1)圆锥的底面半径r＝，高为a，母线l＝＝a，
所以挖去的圆锥的侧面积为
πrl＝π··a＝a2π(cm2)．
(2)因为M的体积为正方体体积减去圆锥的体积，
所以M的体积为a3－π·a＝a3(cm3)．
18. (本小题满分12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)平面PAC⊥平面BDE.
[解] (1)证明：连接OE，如图所示．
因为O、E分别为AC、PC的中点，
所以OE∥PA．
因为OE平面BDE，PA平面BDE，所以PA∥平面BDE.
(2)因为PO⊥平面ABCD，所以PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC.
又因为BD平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.
19．(本小题满分12分)如图，AA1，BB1为圆柱的母线，BC是底面圆的直径，D，E分别是BB1，A1C的中点．
(1)证明：DE∥平面ABC.
(2)证明：A1B1⊥平面A1AC.
[证明] (1)如图，取AA1的中点F，连接DF，EF.
因为D，E分别是BB1，A1C的中点，所以DF∥AB，EF∥AC.
所以DF∥平面ABC，EF∥平面ABC.
又DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面ABC.
又DE平面DEF，所以DE∥平面ABC.
(2)因为AA1，BB1为圆柱的母线，所以AB∥A1B1.
因为AA1垂直于底面圆所在的平面，所以AA1⊥AB.
又BC是底面圆的直径，所以AB⊥AC.
又AC∩AA1＝A，所以AB⊥平面A1AC，
又A1B1∥AB，所以A1B1⊥平面A1AC.
20．(本小题满分12分)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1＝2AB，求CD与平面BDC1所成角的正弦值．
[解] 如图，设AA1＝2AB＝2，连接AC交BD于点O，连接OC1，A1C1，过点C作CH⊥OC1于点H，连接DH.因为BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，
所以BD⊥平面ACC1A1.
因为CH平面ACC1A1，所以CH⊥BD，
又CH⊥OC1，OC1∩BD＝O，
所以CH⊥平面BDC1，
所以∠CDH即CD与平面BDC1所成的角．
又OC1＝＝＝，
由等面积法得，OC1·CH＝OC·CC1
解得CH＝
所以sin∠CDH＝＝.
21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC.
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
[解] (1)因为PC⊥平面ABCD，
DC平面ABCD，
所以PC⊥DC，
因为DC⊥AC，PC∩AC＝C，
所以DC⊥平面PAC.
(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，
所以AB⊥AC，
因为PC⊥平面ABCD，AB平面ABCD，
所以PC⊥AB，又PC∩AC＝C，
所以AB⊥平面PAC，
因为AB平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)在棱PB上存在中点F，
使得PA∥平面CEF.
因为点E为AB的中点，所以EF∥PA，
因为PA平面CEF，EF平面CEF，
所以PA∥平面CEF.
22．(本小题满分12分)如图所示，已知三棱锥P-ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC.
(2)求二面角D-AP-C的正弦值．
(3)若M为PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积．
[解] (1)因为D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB＝20，所以PD＝AB＝10，所以AP⊥PB.
又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.
又BC平面PBC，所以AP⊥BC.
又AC⊥BC，AP∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
又BC平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)因为PA⊥PC，且PA⊥PB，
所以∠BPC是二面角D-AP-C的平面角．
由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，
所以sin∠BPC＝＝.
(3)因为D为AB的中点，M为PB的中点，所以DMPA，且DM＝5，
由(1)知PA⊥平面PBC，所以DM⊥平面PBC，
因为S△BCM＝S△PBC＝2，
所以VM-BCD＝VD-BCM＝×5×2＝10.
空间几何体的表面积与体积
【例1】 17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V＝kD3”中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V＝kD3，其中，在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长．假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么，k1∶k2∶k3＝( )
A．∶∶1 B．∶∶2
C．1∶3∶ D．1∶∶
D [球中，V＝πR3＝π＝D3＝k1D3，所以k1＝；
等边圆柱中，V＝π·D＝D3＝k2D3，所以k2＝；
正方体中，V＝D3＝k3D3，所以k3＝1；
所以k1∶k2∶k3＝∶∶1＝1∶∶.]
几何体表面积与体积的解题策略
几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．
1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )
A．142π平方尺 B．140π平方尺
C．138π平方尺 D．128π平方尺
C [可以把该四棱锥补成一个长方体，长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，四棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为＝尺，所以表面积为138π平方尺．]
共点、共线、共面问题
【例2】 如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别是BC，PC的中点，点G在PD上，且PG＝PD.证明：点A，E，F，G四点共面．
[思路探究] 连接EF，AG，在平面ABCD内，连接AE并延长交DC的延长线于点M，在平面PCD内，连接GF并延长交DC的延长线于点M1，证明点M与点M1重合，进而可得结论．
[证明] 连接EF，AG，在平面ABCD内，连接AE并延长交DC的延长线于点M，则有CM＝CD.
在平面PCD内，连接CF并延长交DC的延长线于点M1.
取GD的中点N，连接CN.
则由PG＝PD可知PG＝GN＝ND.
因为点F为PC的中点．
所以在△PCN中有FG∥CN，即GM1∥CN.
所以在△GM1D中有CM1＝CD.
所以点M与点M1重合，即AE与GF相交于点M.
所以A，E，F，G四点共面．
证明点、线共面的两种方法
方法一：先由确定平面的条件确定一个平面，然后再证明其他的点、线在该平面内．
方法二：先由有关点、线确定一个平面α，再由其余元素确定一个平面β，然后根据有关定理，证明这两个平面重合．
2．如图，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．
[证明] 因为AB∥CD，
所以AB，CD可确定一个平面，设为平面β，
所以AC在平面β内，即E在平面β内．
而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.
可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，
根据基本事实3可得，B，D，E三点共线.
空间中的平行关系
【例3】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
[思路探究] 假设存在满足条件的点F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF、PM，则必有AF∥PM，又PB＝2MA，则点F是PB的中点．
[解] 当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝PB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点．∴OF∥PD.
又OF平面PMD，PD平面PMD，
∴OF∥平面PMD.又MAPB，∴PFMA．
∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.
又AF平面PMD，PM平面PMD.
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF平面AFC，OF平面AFC.
∴平面AFC∥平面PMD.
空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
[证明] 连接AC交BD于O，连接MO，因为M，O为PC、AC的中点，所以MO∥AP，
又因为MO平面BDM，PA平面BDM，
所以PA∥平面BDM，
又因为PA平面PAHG，
平面PAHG∩平面BDM＝GH，
所以PA∥GH.
空间中的垂直关系
【例4】 如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
[思路探究] (1)由面面垂直的性质可证．
(2)先证明C1N⊥侧面BB1C1C，再证截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
[解] (1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以AD⊥BC.
因为底面ABC⊥侧面BB1C1C，底面ABC∩侧面BB1C1C＝BC，
所以AD⊥侧面BB1C1C.
所以AD⊥CC1.
(2)延长B1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N.
因为AM＝MA1，所以NA1＝A1B1.
因为A1C1＝A1N＝A1B1，
所以C1N⊥B1C1，
所以C1N⊥侧面BB1C1C.
所以截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心，学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．
4.如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．
证明：PB⊥CD.
[证明] 如图，取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形．
过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.
连接OA，OB，OD，OE.
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD.
又OE⊥OP，BD∩OP＝O，
所以OE⊥平面PDB，从而PB⊥OE.
因为O是BD的中点，E是BC的中点，
所以OE∥CD.因此PB⊥CD.
空间中的角的求解
【例5】 如图，在三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝AC＝BC＝2，AB＝2，SC＝1.
(1)画出二面角S-AB-C的平面角，并求它的度数．
(2)求三棱锥S-ABC的体积．
[解] (1)①取AB中点D，连接SD，CD，
因为SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，
所以SD⊥AB，CD⊥AB，
且SD平面SAB，CD平面CAB，
所以∠SDC是二面角S-AB-C的平面角．
在直角三角形SDA中，
SD＝＝＝1，
在直角三角形CDA中，
CD＝＝＝1，
所以SD＝CD＝SC＝1，
所以△SDC是等边三角形，
所以∠SDC＝60°.
(2)法一 因为SD⊥AB，CD⊥AB，SD∩CD＝D，所以AB⊥平面SDC，又AB平面ABC，
所以平面ABC⊥平面SDC，且平面ABC∩平面SDC＝CD，
在平面SDC内作SO⊥DC于O，则SO⊥平面ABC，
即SO是三棱锥S-ABC的高．
在等边△SDC中，SO＝，
所以三棱锥S-ABC的体积
VS-ABC＝S△ABC·SO＝··2·1·＝.
法二 因为SD⊥AB，CD⊥AB，SD∩CD＝D
所以AB⊥平面SDC.
在等边△SDC中，S△SDC＝SD2＝，
所以三棱锥S-ABC的体积
VS-ABC＝VA-SDC＋VB-SDC＝S△SDC·AB＝··2＝.
1．两条异面直线所成的角
(1)一般通过平移(在所给形体内平移一条直线或平移两条直线)或补形(补形的目的仍是平移)，把异面直线所成角转化为共面直线所成角来计算．
(2)平移时经常利用某些特殊点(如中点)或中位线、成比例线段来实现，补形时经常把空间图形补成熟悉的或完整的几何体(如正方体、长方体、平行六面体等)．
2．直线和平面所成的角
当直线为平面的斜线时，它是斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通常在斜线上取一特殊点向平面作垂线找到这个锐角，然后通过解直角三角形加以求出．
3．求解二面角的平面角的步骤
一找(寻找现成的二面角的平面角)；
二作(若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角)；
三求(有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值)．
5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A． B．－
C． D．－
A [如图，分别取BC，CD，AD，BD的中点M，N，P，Q，连接MN，NP，MP，PQ，MQ，
则MN∥BD，NP∥AC，所以∠PNM即为异面直线AC和BD所成的角(或其补角)．
又由题意得PQ⊥MQ，PQ＝AB，MQ＝CD.
设AB＝BC＝CD＝2，则PM＝.
又MN＝BD＝，NP＝AC＝，
所以△PNM为等边三角形，所以∠PNM＝60°，
所以异面直线AC与BD所成角为60°，其余弦值为.]
课件43张PPT。第十一章 立体几何初步章末复习课空间几何体的表面积与体积 共点、共线、共面问题 空间中的平行关系 空间中的垂直关系 空间中的角的求解 点击右图进入…Thank you for watching !
