专题强化训练(二) 复数
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若复数z＝(x2－4)＋(x－2)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－2 B．0
C．2 D．－2或2
A [由复数z＝(x2－4)＋(x－2)i为纯虚数得解得x＝－2.]
2．已知复数z＝2－i，则z·的值为( )
A．5 B．
C．3 D．
A [z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5.]
3．设z＝＋2i，则|z|＝( )
A．0 B．
C．1 D．
C [∵z＝＋2i＝＋2i
＝＋2i＝i，∴|z|＝1.
故选C.]
4．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [＝＝
＝＋i，其共轭复数为－i，对应点位于第四象限，故选D.]
5．已知z＝(m－3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
B [由题意知即－1＜m＜3.故实数m的取值范围为(－1,3)．]
二、填空题
6．复数的值是________ .
－1 [＝＝－1.]
7．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．
－4 [因为＋＝，
所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，
所以解得得a－b＝－4.]
8．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于________．
－2 [∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，
∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.
∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.]
三、解答题
9．把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，得a＝2，b＝1，
∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.
10．已知z＝1＋i，a，b∈R，若＝1－i，求a，b的值．
[解] ∵z＝1＋i，∴z2＝2i，
∴＝＝＝a＋2－(a＋b)i＝1－i，
∴，∴
[等级过关练]
1．若z＝1＋2i，则＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
C [因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C.]
2．设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
B [设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．
对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．
对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.
当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝biR，所以p2为假命题．
对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0D/?a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．
对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0?＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.]
3．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
3i [设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴＝3，①且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋(y＋3)i是纯虚数，则
由①可得y＝3.∴z＝3i.]
4．设i是虚数单位，复数z＝，则|z|等于________．
3 [z＝＝＝＝＋i，
∴则|z|＝＝3.]
5．已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)(m∈R)，当m取什么值时，复数z是复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．
[解] 由于m∈R，复数z可以表示为
z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
当2m2－3m－2＝－(m2－3m＋2)，
即m＝0或m＝2时，z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．
章末综合测评(二) 复 数
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
D [＝＝＝2－i.]
2．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．b>0，a∈R D．a>0，b∈R
D [复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．]
3．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于( )
A．－1－2i B．－2＋i
C．－1＋2i D．1＋2i
C [由题意可得＝
＝＝－1＋2i，故选C.]
4．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)＝2i”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A [当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则a2－b2＝0,2ab＝1，解a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故a＝1，b＝1是(a＋bi)2＝2i的充分不必要条件，选A．]
5．若复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [∵z1·z2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i＋i－i2＝4－2i，
∴z＝z1·z2在复平面内的对应点位于第四象限．]
6．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
B [因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是方程的根，则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.]
7.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
D [法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi，∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，
∴b＝－1.故z＝1－i.
法二：∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.又z＋＝2，
∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，
∴z＝1－i.]
8．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i；
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p2，p4 D．p3，p4
C [∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，
∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，
∴p2是真命题；
∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题为p2，p4.]
9．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是( )
A．－2＋3i B．－3－2i
C．2－3i D．3－2i
B [设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得∴
∴D(－3，－2)，∴对应复数为－3－2i.]
10．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0有实根，则实数m满足( )
A．m≤－ B．m≥－
C．m＝ D．m＝－
C [设实根为x0，则x＋(1－2i)x0＋3m－i＝0，即(x＋x0＋3m)－(2x0＋1)i＝0，
∴解得]
11．若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [复数对应点的坐标为(a2－6a＋10，－b2＋4b－5)，
又∵a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，
－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.
所以复数对应的点在第四象限．故选D.]
12．设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
C [设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，若z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，若z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．
选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．
选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________．
13 [复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)，所以点Z与原点O的距离为|OZ|＝＝13.]
14．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝__________.
[＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.]
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为__________．
8 [a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.
从而a＋b＝8.]
16．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
2π [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤可得≤，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：
(1)(＋i)2(4＋5i)．
(2)＋.
[解] (1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)
＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.
(2)＋
＝＋
＝i(1＋i)＋
＝－1＋i＋(－i)
＝－1＋i＋1
＝i.
18．(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．
[解] 由①得解得
将x，y代入②得(5＋4a)－(6＋b)i＝9－8i，
所以
所以a＝1，b＝2.
19．(本小题满分12分)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R.(2)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
[解] (1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.
(2)当z对应的点在直线x＋y＋3＝0上时，则有＋(m2＋2m－3)＋3＝0，得＝0.
解得m＝0或m＝－1±.
所以当m＝0或m＝－1±时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
20．(本小题满分12分)已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在复平面的第几象限内？复数z的对应点的轨迹是什么曲线？
[解] a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z的对应点在复平面的第四象限内．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则x＝a2－2a＋4，y＝－(a2－2a＋2)，
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．
所以复数z的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．
21．(本小题满分12分)已知复数z1＝i，z2＝－i，z3＝2－i，z4＝－在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.
(1)求证：A，B，C，D四点共圆；
(2)已知＝2 ，求点P对应的复数．
[解] (1)∵|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，
即|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，
∴A，B，C，D四点都在圆x2＋y2＝5上，即A，B，C，D四点共圆．
(2)∵A(0，)，B(，－)，
∴＝(，－－)．
设P(x，y)，则＝(x，y－)，
若＝2 ，那么(，－－)＝(2x,2y－2)，
∴
解得
∴点P对应的复数为＋i.
22．(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量1，2分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.若1＋z2可以与任意实数比较大小，求1·2的值．
[解] 由题意，得1＝－(10－a2)i，
则1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为1＋z2可以与任意实数比较大小，
所以1＋z2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又因为a＋5≠0，所以a＝3，所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
所以1＝，2＝(－1,1)．
所以1·2＝×(－1)＋1×1＝.
*10.3 复数的三角形式及其运算(略)
复数的概念
【例1】 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，
(1)z∈R；(2)z为虚数．
[思路探究] 根据复数的分类列不等式组求解．
[解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
由②得x＝4，经验证满足①③式．
所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
由①得x>或x<.
由②得x≠4，由③得x>3.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念?如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模?的前提.,两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.,求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.
1．(1)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________．
(1)D (2)1 [(1)因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.
(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.
由复数相等的充要条件，得解得
故复数z的实部是1.
法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1.]
复数的四则运算
【例2】 (1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )
A．2＋3i B．2－3i
C．3＋2i D．3－2i
[思路探究] (1)先求出及，结合复数运算法则求解．
(2)利用方程思想求解并化简．
(1)C (2)A [(1)∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝2.故选C.
(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.]
复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母?i2＝－1?，除法运算注意应用共轭的性质z·为实数.
2．(1)复数的共轭复数是( )
A．－i B．i
C．－i D．i
(2)已知复数z1＝(1＋i)(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.
(1)C (2)4＋2i [(1)依题意：＝＝－＝i，
∴其共轭复数为－i.
(2)z1＝(1＋i)＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)
＝(2a＋2)＋(4－a)i，
因为z1·z2∈R，
所以a＝4.
所以z2＝4＋2i.]
复数的几何意义
【例3】 (1)在复平面内，复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(0，－1) B．(0,1)
C. D．
[思路探究] 先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．
(1)B (2)A [(1)复数＝＝＝－＋i.
∴复数对应点的坐标是.
∴复数在复平面内对应的点位于第二象限．故选B.
(2)∵＝＝＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A．]
1．复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．
3．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z与Z1之间的距离．
4．复数形式的基本轨迹
(1)|z－z1|＝r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；
(2)|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．
3．(1)已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
(2)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E B．F C．G D．H
(1)A (2)D [(1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A．
(2)由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．]
转化与化归思想
【例4】 设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.
[思路探究] 本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
z＋＝x＋yi＋
＝＋i，
∵z＋∈R，
∴y－＝0，
解得y＝0或x2＋y2＝1，
又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数．
∴
∴x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±，
∴复数z＝±i.
一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi?x，y∈R?，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.
4．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
[解] 设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，z＋3＝(x＋3)＋yi.
由已知，得因为y≠0，
所以解得或
所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．
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