9.1 正弦定理和余弦定理
9.1.1 正弦定理
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点)
2.会判断三角形的形状．(难点)
3.能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易错点)
1.借助正弦定理的推导，提升学生的逻辑推理的素养.
2.通过正弦定理的应用的学习，培养学生的数学运算的素养.
1．三角形的面积公式
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；
(2)S＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．
2．正弦定理
3．解三角形
(1)一般地，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素．
(2)已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形．
思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？
[提示] 需要两角和一边或两边和其中一边的对角．
1．在△ABC中，一定成立的等式是( )
A．acos A＝bcos B；
B．asin B＝bsin A；
C．acos B＝bcos A．
D．asin A＝bsin B.
B [选项B可化为＝，由正弦定理可知选项B正确．]
2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
B [因为A，C是三角形ABC的内角，所以A＋C＜π，又因为sin A＝sin C，所以A＝C，即△ABC为等腰三角形．]
3．在△ABC中，已知a＝3，b＝5，sin A＝.则sin B＝( )
A． B．
C. D．1
B [由正弦定理＝可得，sin B＝＝＝，故选B.]
4．在△ABC中，若＝，则B的大小为______________．
45° [由正弦定理知＝，
∴sin B＝cos B，
∴B＝45°.]
已知两角及一边解三角形
【例1】 在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值．
(2)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b；
[解] (1)根据三角形内角和定理，得
A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
根据正弦定理，得b＝＝＝9.
(2)法一：∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝得a＝＝＝10.
∵sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，
∴b＝＝20×＝5＋5.
法二：设△ABC外接圆的直径为2R，
则2R＝＝＝20.
易知B＝180°－(A＋C)＝105°，
∴a＝2Rsin A＝20×sin 45°＝10，
b＝2Rsin B＝20×sin 105°
＝20×
＝5＋5.
已知三角形的两角和任一边解三角形的方法
1．若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
2．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
1．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
[解] 由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
由正弦定理＝，
得c＝a·＝5×＝5×
＝5×
＝(＋).
已知两边及其中一边的对角解三角形
【例2】 在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：
(1)a＝1，b＝，A＝30°；
(2)a＝，b＝1，B＝120°.
[解] (1)根据正弦定理，sin B＝＝＝.
∵b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴c＝＝＝2；
当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A，∴c＝a＝1.
(2)根据正弦定理，sin A＝＝＝>1.
因为sin A≤1.所以A不存在，即无解．
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法．
1．首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
2．如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
3．如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
2．已知△ABC，根据下列条件，解三角形：
(1)a＝2，c＝，C＝；
(2)a＝2，c＝，A＝.
[解] (1)∵＝，
∴sin A＝＝.
∵c>a，∴C>A．∴A＝.
∴B＝，b＝＝
＝＋1.
(2)∵＝，
∴sin C＝＝.
又∵a当C＝时，B＝，b＝＝＋1.
当C＝时，B＝，b＝＝－1.]
三角形的面积公式及其应用
【例3】 在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2，AC＝2.求△ABC的面积．
[解] 由正弦定理，得
sin C＝＝，
又AB·sin B＜AC＜AB，故该三角形有两解：C＝60°或120°，
所以当C＝60°时，A＝90°，
S△ABC＝AB·AC·sin A＝2；
当C＝120°时，A＝30°，
S△ABC＝AB·AC·sin A＝.
所以△ABC的面积为2或.
求三角形面积的公式
1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．
2．三角形面积计算公式
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)．
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tan A＝3，cos C＝.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝4，求△ABC的面积．
[解] (1)∵cos C＝，
∴C∈，
∴sin C＝，tan C＝2.
又∵tan B＝－tan(A＋C)＝－
＝－＝1，且0＜B＜π，∴B＝.
(2)由正弦定理＝，得
b＝＝＝，
由sin A＝sin(B＋C)＝sin
得sin A＝，
∴△ABC的面积S△ABC＝bcsin A＝6.
利用正弦定理判断三角形的形状
[探究问题]
1．已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理．
[提示] 如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，
∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2Rsin A，
即＝2R，同理＝2R，＝2R，
所以＝＝＝2R.
2．根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？
[提示] 利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形；
(2)已知两角和一边解三角形．
3．由＝＝可以得到a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？
[提示] (1)＝，＝，＝.
(2)＝，＝，＝.
(3)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.
【例4】 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
[思路探究] ①A＝π－(B＋C)；
②边角转化，sin A＝，sin B＝，sin C＝.
[解] 法一：在△ABC中，根据正弦定理：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴＝＋，
即a2＝b2＋c2，
∴A＝90°，∴B＋C＝90°，
由sin A＝2sin Bcos C，
得sin 90°＝2sin Bcos(90°－B)，
∴sin2B＝.
∵B是锐角，∴sin B＝，
∴B＝45°，C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：在△ABC中，根据正弦定理，得
sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)．
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形且A＝90°.
∵A＝180°－(B＋C)，
sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C.
∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0.∴B－C＝0，即B＝C.
∴△ABC是等腰直角三角形．
(变条件)若将题设中的“sin A＝2sin Bcos C”改为“bsin B＝csin C”，其余不变，试解答本题．
[解] 由正弦定理，设＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)，从而得sin A＝，sin B＝，
sin C＝.∵bsin B＝csin C，sin2A＝sin2B＋sin2C
∴b·＝c·，＝＋，
∴b2＝c2，a2＝b2＋c2，
∴b＝c，A＝90°.
∴△ABC为等腰直角三角形．
利用正弦定理判断三角形形状的两种途径
1．利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
2．利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
1．正弦定理的表示形式：＝＝＝2R，或a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k＞0)．
2．正弦定理的应用范围
(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．
3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理不适用于钝角三角形． ( )
(2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立． ( )
(3)在△ABC中，若sin A＝sin B，则三角形是等腰三角形． ( )
[解析] (1)×.正弦定理适用于任意三角形．
(2)√.由正弦定理知＝，即bsin A＝asin B.
(3)√.由正弦定理可知＝，即a＝b，所以三角形为等腰三角形．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝30°，b＝2，则的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
C [由正弦定理可得＝＝＝4.]
3．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且满足＝＝，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
C [由＝＝和正弦定理＝＝，可得＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C.
故△ABC为等边三角形．]
4．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.
[解] A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由正弦定理＝，得b＝＝＝4.
由＝，得c＝＝＝＝4(＋1)．
课件54张PPT。第九章 解三角形9.1 正弦定理和余弦定理
9.1.1 正弦定理其他元素3个角3条边已知两角及一边解三角形 已知两边及其中一边的对角解三角形 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(一) 正弦定理
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A． B．
C． D．
A [在△ABC中，由正弦定理知＝，又a＝5，b＝3.所以＝＝.]
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( )
A．－ B．
C．－ D．
D [由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝.
∵a>b，A＝60°，∴B为锐角．
∴cos B＝＝＝.]
3．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A与B的大小关系为( )
A．A＞B
B．A＜B
C．A≥B
D．A，B的大小关系不能确定
A [因为＝，所以＝.
因为在△ABC中，sin A>0，sin B>0，sin A＞sin B，
所以＝>1，所以a>b，
由a＞b知A＞B.]
4．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B [由题意有＝b＝，则sin B＝1，即B为直角，故△ABC是直角三角形．]
5．在△ABC中，若a＝，b＝3，A＝30°，则B＝( )
A．60° B．60°或120°
C．30° D．30°或150°
B [由＝，得sin B＝＝＝.因为b＞a，所以B＞A，所以B＝60°或B＝120°.]
二、填空题
6．在△ABC中，AB＝，A＝45°，B＝60°，则BC＝_____.
3－ [利用正弦定理＝，
而C＝180°－(A＋B)＝75°，
故BC＝＝＝3－.]
7．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC的形状是________．
直角三角形 [由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sin A＝，sin B＝，sin C＝，
所以－＝，
即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．]
8．在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝5，△ABC外接圆的半径为，则a＝________.
3 [∵S△ABC＝bcsin A＝×20×sin A＝5，∴sin A＝.∵△ABC外接圆的半径R为，由正弦定理的推广可得＝2R，∴a＝2sin A＝2×＝3.]
三、解答题
9．在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状．
[解] 法一：∵acos ＝bcos，
∴asin A＝bsin B.
由正弦定理，得a·＝b·，
∴a2＝b2，∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
法二：∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B.
由正弦定理，得2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，
∴A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去)．
故△ABC为等腰三角形．
10．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°.
[解] (1)a＝10，b＝20，a＜b，
A＝80°＜90°，由＝得，
sin B＝＝2sin 80°＞2sin 30°＝1，
∴本题无解．
(2)a＝2，b＝6，a＜b，A＝30°＜90°，
∵bsin A＝6sin 30°＝3，a＞bsin A，
∴bsin A＜a＜b，∴本题有两解．
由正弦定理得
sin B＝＝＝，
又∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或B＝120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，
c＝＝＝2.
∴当B＝60°时，C＝90°，c＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝2.
[等级过关练]
1．在△ABC中，下列关系一定成立的是( )
A．a>bsin A B．a＝bsin A
C．aD [由正弦定理＝，∴asin B＝bsin A，在△ABC中，02．在△ABC中，若3b＝2asin B，cos A＝cos C，则△ABC形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
C [由正弦定理知b＝2R·sin B，a＝2R·sin A，
则3b＝2a·sin B可化为：
3sin B＝2sin A·sin B.
∵0°∴sin A＝，
∴A＝60°或A＝120°，
又cos A＝cos C，
∴A＝C，∴A＝60°，
∴△ABC为等边三角形．]
3．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________.
[由正弦定理得：＝，
所以sin B＝.
又a>b，所以A>B，
所以B＝，
所以C＝π－＝.]
4．已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sin C＝cos C，则△ABC的面积为________．
[由sin C＝cos C，得tan C＝，所以C＝.
根据正弦定理可得＝，解得sin A＝.
因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝.
所以B＝，所以△ABC为直角三角形．
所以S△ABC＝××1＝.]
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.
[解] 由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C，利用正弦定理，a＋c＝b可变形为sin A＋sin C＝sin B，
又∵sin A＝cos C，
∴sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝sin(C＋45°)＝sin B，又A，B，C是△ABC的内角，
故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，
所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°.
所以C＝15°.
