9.1.2 余弦定理
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的方法．(重点)
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形．(重点、难点)
1.借助余弦定理的推导，提升学生的逻辑推理的素养.
2.通过余弦定理的应用的学习，培养学生的数学运算的素养.
1．余弦定理
(1)三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．
即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，
c2＝a2＋b2－2abcos_C.
(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．
①已知三边，求三角．
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
思考：利用余弦定理只能解决以上两类问题吗？
[提示] 是．
2．余弦定理的变形
(1)余弦定理的变形：
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝.
(2)利用余弦定理的变形判定角：
在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2>a2＋b2?C为钝角；c2
1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的第三边长为( )
A．52 B．2
C．16 D．4
B [由余弦定理可知，三角形的第三边长为＝＝2.]
2．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为( )
A． B．－ C. D．－
A [根据正弦定理，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)．
则有cos C＝＝.]
3．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则c2＝________.
30－4 [由余弦定理可得c2＝(3)2＋(2)2－2×3×2×＝18＋12－4＝30－4.]
4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝________.
120° [∵a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴cos A＝＝＝－，
又∵0°＜A＜180°，
∴A＝120°.]
已知两边及一角解三角形
【例1】 (1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝________.
(2)已知△ABC，根据下列条件解三角形：
a＝，b＝，B＝45°.
[(1)由三角形内角和定理可知cos C＝－cos(A＋B)＝－，又由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.]
(2)[解] 由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2×c.
即c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝.
当c＝时，由余弦定理，得cos A＝＝＝.
∵0°当c＝时，由余弦定理，得cos A＝＝＝－.
∵0°故c＝，A＝60°，C＝75°或c＝，A＝120°，C＝15°.
已知两边及一角解三角形的解题思路
1．若已知角是两边的夹角．则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．
2．若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.
[解] 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
∴x1＝，x2＝－2(舍去)．
∴cos C＝.
根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16.
∴c＝4，即第三边长为4.
已知三边或三边关系解三角形
【例2】 (1)已知△ABC的三边长为a＝2，b＝2，c＝＋，求△ABC的各角度数；
(2)已知△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角．
[解] (1)由余弦定理得：
cos A＝＝＝，
∴A＝60°.
cos B＝＝＝，
∴B＝45°，∴C＝180°－A－B＝75°.
(2)∵c>a，c>b，∴C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即37＝9＋16－24cos C，
∴cos C＝－，
∵0°∴C＝120°.
∴△ABC的最大内角为120°.
已知三角形的三边解三角形的方法
1．先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
2．利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．
2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
B [∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，∴A＝60°.]
正、余弦定理的综合应用
[探究问题]
1．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之，说法正确吗？为什么？
[提示] 设△ABC的外接圆半径为R.
由正弦定理的变形，将a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之，将sin A＝，sin B＝，sin C＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．
2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝成立吗？反之，若C＝，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？
[提示] 因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cos C＝＝0，即cos C＝0，所以C＝，反之，若C＝，则cos C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
【例3】 在△ABC中，若(a－c·cos B)sin B＝(b－c·cos A)sin A，判断△ABC的形状．
[思路探究] 角边转化．
[解] 法一：∵(a－c·cos B)sin B＝(b－c·cos A)·sin A，
∴由正、余弦定理可得：
·b＝·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC为直角三角形、等腰三角形或等腰直角三角形．
法二：根据正弦定理，原等式可化为：
(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，
即sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A．
∵sin C≠0，∴sin Bcos B＝sin Acos A，
∴sin 2B＝sin 2A．
∴2B＝2A或2B＋2A＝π，
即A＝B或A＋B＝.
故△ABC是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形．
正、余弦定理判断三角形形状
1．法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．
2．一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．
3．在△ABC中，若2B＝A＋C，b2＝ac，试判断△ABC的形状为________．
等边三角形 [∵2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
又b2＝ac，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 60°＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－ac＝ac，从而(a－c)2＝0，
∴a＝c，可知△ABC为等边三角形．]
1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题
(1)已知两边和夹角，解三角形．
(2)已知三边求三角形的任意一角．
2．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．
3．对所给条件进行变形，主要有两种途径
(1)化边为角．
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理进行边、角转换．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解． ( )
(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形． ( )
(3)利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题． ( )
(4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例． ( )
[解析] (1)×.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．
(2)√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．
(3)√.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．
(4)√.余弦定理可以看作勾股定理的推广．
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
C [∵2cos Bsin A＝sin C，
∴2×·a＝c，
∴a＝b.故△ABC为等腰三角形．]
3．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝________.
2 [根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝2.]
4．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，c＝4(＋1)，解此三角形．
[解] 由余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accos B＝82＋[4(＋1)]2－2×8×4(＋1)·cos 60°
＝64＋16(4＋2)－64(＋1)×＝96，
∴b＝4.
法一：由cos A＝
＝＝，
∵0°故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
法二：由正弦定理＝，
∴＝，∴sin A＝，
∵b>a，c>a，
∴a最小，
即A为锐角．
因此A＝45°.
故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
课件46张PPT。第九章 解三角形9.1 正弦定理和余弦定理
9.1.2 余弦定理平方平方和夹角2倍夹角三角两边直角钝角锐角正弦型函数的图象与性质 已知三边或三边关系解三角形 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二) 余弦定理
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，A＝60°，则c＝( )
A．1 B．2
C．4 D．6
C [a2＝c2＋b2－2cbcos A?13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)，故选C.]
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A． B．
C． D．
B [∵a＞b＞c，∴C为最小角，由余弦定理得
cos C＝
＝＝，
∴C＝.]
3．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )
A． B．
C． D．
B [∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，
∴cos B＝＝＝.]
4．在△ABC中，若a＝3，c＝7，C＝60°，则b为( )
A．5 B．8
C．5或－8 D．－5或8
B [由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即49＝9＋b2－3b，所以(b－8)(b＋5)＝0.
因为b>0，所以b＝8.]
5．△ABC中，若sin2A＋sin2BA．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．都有可能
A [由正弦定理得a2＋b2∴C为钝角，△ABC为钝角三角形．]
二、填空题
6．已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.
30° [由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cos C＝22＋42－2×2×4×＝12，
∴c＝2.
由正弦定理＝得，
sin A＝＝＝.
∵a＜c，∴A＜60°.
∴A＝30°.]
7．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为________．
[由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos 120°，
整理得：AC2＋5·AC－24＝0，
解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，
所以由正弦定理可得＝＝.]
8．在△ABC中，若b＝2，c＝2，C＝，则a＝________.
2 [∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴(2)2＝a2＋22－2a×2×cos，
∴a2＋2a－8＝0，即(a＋4)(a－2)＝0，
∴a＝2或a＝－4(舍去)．∴a＝2.]
三、解答题
9．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝.
(1)求b的值；
(2)求sin C的值．
[解] (1)因为b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×＝17，所以b＝.
(2)因为cos B＝，所以sin B＝.
由正弦定理＝，得＝，
所以sin C＝.
10．已知△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sin C，试判断△ABC的形状．
[解] 法一：(利用边的关系判断)
由正弦定理，得＝.
∵2cos Asin B＝sin C，∴cos A＝＝.
∵cos A＝，∴＝，
∴c2＝b2＋c2－a2，∴a2＝b2，∴a＝b.
∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴(a＋b)2－c2＝3ab.∵a＝b，∴4b2－c2＝3b2，
∴b2＝c2，∴b＝c，∴△ABC为等边三角形．
法二：(利用角的关系判断)
∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)．
∵2cos Asin B＝sin C，
∴2cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，∴sin(A－B)＝0.
∵0°∴－180°∴A－B＝0°，即A＝B.
∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab，
∴a2＋b2－c2＝ab，∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴cos C＝＝，∴C＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
[等级过关练]
1．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )
A． B．
C． D．
C [由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又02．在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是( )
A． B．
C． D．
A [cos B＝＝
＝＋≥，
∵0∴B∈.故选A．]
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，则△ABC是________三角形．
直角 [由c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，得c2＝＋＋，化简得c2＝a2＋b2，所以C＝90°，所以△ABC是直角三角形．]
4．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为________．
7 [由已知条件，得cos A＝＝＝.设AC边上的中线长为x，由余弦定理，得x2＝＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，解得x＝7，所以所求中线长为7.]
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2，BC边上的中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的周长．
[解] (1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，得a2－b2－c2＝－bc，
所以cos A＝＝.
又0由sin Asin B＝cos2，得sin B＝，
即sin B＝1＋cos C，则cos C<0，即C为钝角．所以B为锐角，且B＋C＝，
则sin＝1＋cos C，化简得cos＝－1，
解得C＝，所以B＝.
(2)由(1)，知a＝b，由余弦定理得AM2＝b2＋－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，解得b＝2.
由＝，可得c＝，即c＝2.
所以△ABC的周长为4＋2.
