9.2 正弦定理与余弦定理的应用
9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)
2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点)
3.能根据题意画出几何图形．(易错点)
1.通过应用正、余弦定理求距离、高度、角度问题，培养学生的数学运算素养.
2.借助将实际问题转化为解三角形问题，培养学生的数学建模的素养.
1．实际测量中的有关名词、术语
名称
定义
图示
基线
在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线
铅垂平面
与地面垂直的平面
坡角
坡面与水平面的夹角
α为坡角
坡比
坡面的垂直高度与水平宽度之比
坡比：i＝
仰角
在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角
俯角
在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角
2.方位角
从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)．
方位角的取值范围：0°～360°.
3．方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.
1．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为( )
A．a km B．a km
C．a km D．2a km
B [在△ABC中，因为AC＝BC＝a，
∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，
由余弦定理可得AB2＝a2＋a2－2a×a×cos 120°＝3a2，所以AB＝a，故选B.]
2．已知两座建筑A，B与规划测量点C的距离相等，A在C的北偏东40°，B在C的南偏东60°，则A在B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
B [因为△ABC为等腰三角形，
所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，
60°－50°＝10°.
即北偏西10°.]
3．某人从A处出发、沿北偏西60°行走2 km到达B处，再沿正东方向行走2 km到达C处，则A、C两地的距离为________km.
2 [如图所示，∠ABC＝30°，又AB＝2，BC＝2，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝12＋4－2×2×2×＝4，
AC＝2，所以A、C两地的距离为2 km.]
4．在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，求A，C两点之间的距离．
[解] 如图所示，∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，
∴由正弦定理＝，得＝，解得AC＝，即A，C两点之间的距离为千米．
测量距离问题
【例1】 要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．
[思路探究] 将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．
[解] 如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝ km.
在△BCD中，∠BCD＝45°，
∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
∴BC＝＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝()2＋－2×××cos 75°
＝3＋2＋－＝5，
∴AB＝(km)，∴A，B之间的距离为 km.
三角形中与距离有关的问题的求解策略
1．解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．
2．解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．
1．如图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点观测灯塔A的方位角为65°.问货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？
[解] 在△ABC中，BC＝40×＝20(km)，
∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，
故∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理得AC＝＝＝10(km)．
答：货轮到达C点时，与灯塔A的距离是10 km.
测量高度问题
【例2】 如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD.
[解] 由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由＝，
得AD＝＝＝800(＋1)(m)．
即山的高度为800(＋1)m.
解决测量高度问题的一般步骤
1．画图：根据已知条件画出示意图．
2．分析三角形：分析与问题有关的三角形．
3．求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．
2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是( )
A．100 m B．400 m
C．200 m D．500 m
D [由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝h m，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)．]
测量角度问题
【例3】 如图，甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的警报后，测得甲船是沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，则乙船应以多大速度，以何方位角航行？(已知cos 68°13′≈0.37)
[解] 设乙船速度为x海里/时，且乙船在40分钟后在点C处追上甲船，则BC＝x＝x(海里)，
AC＝×9＝6(海里)．
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，即＝102＋62－2×10×6×cos(90°－15°＋45°)，∴x＝21，BC＝14.
由正弦定理得＝，
∴sin B＝sin 120°≈0.37，
∴B≈21°47′.
答：乙船应以每小时21海里的速度沿北偏东23°13′航行．
测量角度问题画示意图的基本步骤：
3．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？
[解] 设甲船沿直线AC与乙船同时到达C点，则A，B，C三点构成△ABC，如图．设乙船速度为v海里/时，则甲船速度为v海里/时，用时为t h.
由题意得BC＝vt，AC＝vt，∠ABC＝120°.
由余弦定理知
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120°，
∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt，
∴2v2t2－avt－a2＝0，解得vt＝－(舍去)或vt＝a，
∴BC＝a海里．
在△ABC中，AB＝BC＝a海里，∴∠BAC＝∠ACB＝30°.
故甲船应沿北偏东30°的方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了a海里.
求解速度问题
[探究问题]
1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是50°，距离是4 km，从B到C，方位角是80°，距离是8 km，从C到D，方位角是150°，距离是6 km，试画出示意图．
[提示] 如图所示：
2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C，则此人的速度至少是多少？
[提示] 如探究1图，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理得AC＝＝，则此人的最小速度为v＝＝8(km/h)．
3．在探究1中若投递员以24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16 km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？
[提示] 投递员到达C点的时间为t1＝＝(小时)＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2＝≈0.28小时＝16.5分钟；由于30＞16.5＋10，所以此人在C点能与投递员相遇．
【例4】 如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？
[思路探究] 根据已知图形构造三角形，利用余弦定理建立速度与时间的函数求解．
[解] 作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝.
设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，
由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×，
即v2＝－＋2 500＝25＋900≥900，
∴当t＝时，v取得最小值为30，
∴其行驶距离为vt＝＝(公里)．
故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里．
解决实际问题应注意的问题
1．首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．
2．将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．
4．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航行速度为( )
A．8(＋)海里/时 B．8(－)海里/时
C．16(＋)海里/时 D．16(－)海里/时
D [如图，由题意得，在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.
由正弦定理得＝，
即＝，得AB＝8(－)海里，
因此该船的航行速度为＝16(－)(海里/时)．]
1．测量距离问题包括两种情况
(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离．
(2)测量两个不可到达点之间的距离．
第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2)．
图1 图2
2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
3．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低． ( )
(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边． ( )
(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得． ( )
(4)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向． ( )
(5)如图所示，该角可以说成北偏东110°. ( )
[解析] (1)×.因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高．
(2)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边．
(3)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得．
(4)×.若P在Q的北偏东44°，则Q应在P的南偏西44°.
(5)×.题图中所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为110°.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2. 如图所示，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( )
A．a，c，α B．b，c，α
C．c，a，β D．b，α，γ
D [由α，γ可求出β，由α，β，b，可利用正弦定理求出BC.故选D.]
3．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为( )
A．0.5 h B．1 h
C．1.5 h D．2 h
B [设台风中心移动t h，城市B处在危险区，则(20t)2＋402－2×20 t×40×cos 45°≤900，
解得－≤t≤＋，
所以B城市处在危险区的时间为1 h．]
4．如图所示，某海轮以60海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．
[解] 因为AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，
所以∠APB＝30°，所以AP＝40，
所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos 120°
＝402＋402－2×40×40×＝402×3，
所以BP＝40.
又∠PBC＝90°，BC＝80，
所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11 200，
所以PC＝40海里．
课件59张PPT。第九章 解三角形9.2 正弦定理与余弦定理的应用
9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离测量距离问题 测量高度问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 正弦定理和余弦定理的应用
数学探究活动：得到不可达两点之间的距离
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C之间的距离为( )
A．2 n mile B．3 n mile
C．5 n mile D．6 n mile
C [在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，∴∠C＝45°.
∵＝，∴BC＝＝＝5(n mile)．]
2．某人向正东方向走x km后向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值是( )
A． B．2
C．2或 D．3
C [如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠B＝30°.由余弦定理，得()2＝x2＋32－2×3×x×，所以x2－3x＋6＝0，解得x＝或x＝2.
]
3．一般向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的航行速度是( )
A．5海里/时 B．5海里/时
C．10海里/时 D．10海里/时
D [如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，可得AB＝5海里，于是这艘船的航行速度是10海里/时．
]
4．有一条与两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船的速度为 m/s，为使所走路程最短，小船应朝什么方向行驶( )
A．与水速成45° B．与水速成135°
C．垂直于对岸 D．不能确定
B [如图所示，AB是水速，AD为船速，AC是船的实际速度，且AC⊥AB，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝.
∴∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝90°＋45°＝135°.
则小船的方向应与水速成135°行驶．]
5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )
A．200 m B．300 m
C．400 m D．100 m
B [如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600(m)，BC＝DC＝200(m)．
在△BCD中，由余弦定理可得
cos 2θ＝＝，∵0°＜2θ＜90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°.
在Rt△ABC中，
AB＝BC·sin 4θ＝200×＝300(m)，故选B.]
二、填空题
6．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为________．
(30＋30)m [由正弦定理得＝，∴PB＝，∴树的高度h＝PBsin 45°＝(30＋30)(m)．]
7．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C.测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________m.
50 [由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得＝，
∴AB＝＝
＝50(m)．]
8．某人从A处出发、沿北偏东60°行走3 km到达B处，再沿正东方向行走2 km到达C处，则A，C两地的距离为________km.
7 [如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.
由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×3×2×cos 150°＝49，AC＝7.
则A，C两地的距离为7 km.]
三、解答题
9．如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进 km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．
[解] 由题意可知CD＝，∠BDC＝180°－75°－75°＝30°，∠CBD＝180°－30°－30°＝120°，∠DAC＝45°.
在△BDC中，由正弦定理可得，
BC＝＝＝.
在△ADC中，由正弦定理可得，
AC＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(3)2＋()2－2×3××cos 45°＝25，
∴AB＝5.
故这两座建筑物之间的距离为5 km.
10．如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船．
此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？
[解] 设缉私船用t h在D处追上走私船，
则有CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2cos 120°＝6，
∴BC＝，
且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝· ＝.
∴∠ABC＝45°.
∴BC与正北方向垂直．
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
[等级过关练]
1．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出四种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：
①测量∠A，∠C，b；②测量a，b，∠C；
③测量∠A，∠B，a；④测量a，b，∠B.
则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
A [对于①，在△ABC中，∠B＝π－(∠A＋∠C)，所以sin B＝sin(A＋C)．由正弦定理得＝，所以c＝.对于②，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，所以c＝.对于③，在△ABC中，∠C＝π－(∠A＋∠B)，所以sin C＝sin(A＋B)，由正弦定理得＝，所以c＝.对于④，由余弦定理cos B＝解得的c可能有两个值．故一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为①②③.]
2.如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/h B．6 km/h
C．2 km/h D．10 km/h
B [设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.]
3．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，若同一列的第一排和最后一排之间的距离为10米(如图所示)，则旗杆的高度为______米．
30 [如图所示，依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，∴∠CPB＝180°－45°－105°＝30°，∴在△PBC中，由正弦定理，可知PB＝·sin∠PCB＝20(米)，∴在Rt△POB中，OP＝PB·sin∠PBO＝20×＝30(米)，即旗杆的高度为30米．]
4.如图所示，有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°，从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°，从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为________米．
100 [在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.
因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.
由正弦定理，得＝，
所以＝.
所以AD＝＝200(米)．
在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，
所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200)2＋3002－2×200×300×cos 150°＝390 000，所以AC＝100(米)．
故石竹山这条索道AC长为100米．]
5.如图所示，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以50海里/时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用4小时追上．
(1)求该军舰艇的速度；
(2)求sin α的值．
[解] (1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝50×4＝200，AC＝120，∠ACB＝α，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280.
所以该军舰艇的速度为＝70海里/时．
(2)在△ABC中，由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝.
