课件44张PPT。第十章 复数10.1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念CN-1实数b＝0b≠0a＝0a≠0a＝c且b＝d 复数的概念 复数的分类 点击右图进入…Thank you for watching !
10.1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．(重点)
2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．(重点、难点)
3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．(易混点)
通过复数的概念学习，提升学生的数学抽象素养.
1．复数的概念及分类
(1)数系的扩充及对应的集合符号表示
→→→→
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
N――――→Z―――→Q――――→R―――→C
(2)复数的有关概念
(3)复数的分类
②集合表示
2．两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
1．(1＋)i的实部与虚部分别是( )
A．1， B．1＋，0
C．0,1＋ D．0，(1＋)i
C [(1＋)i可看作0＋(1＋)i＝a＋bi，所以实部a＝0，虚部b＝1＋.]
2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B．
C．－ D．2
D [复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，∴b＝2.]
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为________．
1，－1 [∵(x＋y)i＝x－1，
∴∴x＝1，y＝－1.]
4．已知a是实数，i是虚数单位，若z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，则a＝________.
1 [∵z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，
∴，解得a＝1.]
复数的概念
【例1】 (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是a＝________，b＝________.
(3)下列命题正确的是__________(填序号)．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．
(1)B (2)±，5 (3)③ [(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．
(2)由题意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.
(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．
③由复数集的分类知，③正确，是真命题．]
判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
1．对以下命题：
①1＋i2＝0；
②若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [对于①，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0.故①正确．
对于②，两个虚数不能比较大小，故②错．
对于③，当x＝1，y＝i时x2＋y2＝0成立，故③错．④正确．]
复数的分类
【例2】 (1)复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a>0且a＝±b
(2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
①z为实数？ ②z为虚数？ ③z为纯虚数？
[思路探究] 依据复数的分类列出方程(不等式)组求解．
(1)D [要使复数z为纯虚数，则∴a>0，a＝±b.故选D.]
(2)解：①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
③要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？
[解] 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，所以a≤0.
含参数的复数问题解题技巧
1．判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数．首先，参数的取值要保证复数有意义，然后按复数表示实数、虚数、纯虚数等各类数的充要条件求解．
2．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它．
3．形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数．
复数相等的充要条件
[探究问题]
1．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？
提示：因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．
2．3＋2i＞3＋i正确吗？
提示：不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．
【例3】 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
[思路探究] 根据复数相等的充要条件求解．
[解] (1)由复数相等的充要条件，
得解得
(2)设方程的实根为x＝m，
则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
所以
解得或
所以实数a的值为a＝11或－.
复数相等问题的解题技巧
1．必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
2．根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现．
2．已知x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0，求实数x，y的值．
[解] 由复数相等的条件得方程组
由②得x＝y＋2，代入①得y2＋2y－1＝0.
解得y1＝－1＋，y2＝－1－.
所以x1＝y1＋2＝1＋，x2＝y2＋2＝1－.
即或
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．
3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． ( )
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． ( )
(3)bi是纯虚数． ( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．下列命题中是假命题的是( )
A．自然数集是非负整数集
B．实数集与复数集的交集为实数集
C．实数集与虚数集的交集是{0}
D．纯虚数集与实数集的交集为空集
C [复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，C是假命题．]
3．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个复数不能比较大小．
其中错误命题的序号是__________．
①②③ [当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，③中忽视了这一特殊情况，故③错．]
4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m＝________.
－3 [∵z＜0，∴，∴m＝－3.]
5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
[解] 由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.
(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或m－3.
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.
(3)当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.
(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.
课时分层作业(四) 复数的概念
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．－(2－i)的虚部是( )
A．－2 B．－
C. D．2
C [∵－(2－i)＝－2＋i，
∴其虚部是.]
2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则( )
A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝
D [复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．∴R∩I＝，故选D.]
3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
B [a＋bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，此时ab＝0；反之ab＝0不能得出a＝0，b≠0.所以“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．]
4．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i
B [由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.]
5．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( )
A．－7≤λ≤ B．≤λ≤7
C．－1≤λ≤1 D．－≤λ≤7
D [由z1＝z2，得
消去m，得λ＝4sin2θ－3sin θ
＝4－.
由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.]
二、填空题
6．设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝__________.
－3 [依题意有解得m＝－3.]
7．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是__________．
3－3i [3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.]
8．有下列说法：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④纯虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中正确的有________(填序号)．
①②③⑥ [若两个复数相等，则它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a＋bi(a，b∈R)的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i2＝－1，故④错误；－1的平方根不止一个，因为(±i)2＝－1，故⑤错误；∵i4－1＝0成立，故⑥正确；i是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误．综上，①②③⑥正确．]
三、解答题
9．设z＝log (m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R)．
(1)若z是虚数，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
[解] (1)因为z是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是解得1＜m＜5，且m≠4.
(2)因为z是纯虚数，故其实部log(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，
m应满足的条件是解得m＝2.
10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
[解] ∵M∪P＝P，∴M?P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得解得m＝2.
综上可知，m＝1或m＝2.
[等级过关练]
1．若复数z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于( )
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
D [由复数相等的定义可知，
∴cos θ＝，sin θ＝.
∴θ＝＋2kπ，k∈Z.]
2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
B [由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0，
所以解得
所以z＝3－i.]
3．设复数z＝＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是__________．
3 [依题意有
解得m＝3.]
4．如果log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，求自然数m，n的值．
[解] 因为log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以log(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有
由①得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；
当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾．
综上可得，m＝0，n＝1.
