课件42张PPT。第十章 复数10.2 复数的运算
10.2.1 复数的加法与减法(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i 复数的加减法运算 复数加减法的几何意义 点击右图进入…Thank you for watching !10.2 复数的运算
10.2.1 复数的加法与减法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握复数的加、减法运算法则，能熟练地进行复数的加、减运算．(重点)
2.理解复数加、减法运算的几何意义，能解决相关的问题．(难点、易混点)
通过复数的加法与减法的学习，提升学生的数学运算素养.
1．复数代数形式的加、减法
(1)运算法则
①设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
②两个共轭复数的和一定是实数．
(2)加法运算律
设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2．复数加、减法的几何意义
(1)若复数z1，z2对应的向量分别为，.
复数加法的几何意义
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
(2)||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤||z1|＋|z2||；
||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤||z1|＋|z2||.
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
B [z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.]
2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
D [依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D.]
3．已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为__________．
1－i [＝2－1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]
4．已知z1＝3＋4i，z2＝4－3i，则(z1＋z2)－(1＋2)＝__________.
2i [z1＋z2＝3＋4i＋4－3i＝7＋i，
1＋2＝3－4i＋4＋3i＝7－i，
∴(z1＋z2)－(1＋2)＝7＋i－(7－i)＝2i.]
复数的加减法运算
【例1】 (1)＋(2－i)－＝________.
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.
(1)1＋i [＋(2－i)－＝＋i
＝1＋i.]
(2)[解] 法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
(3)[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.
复数加、减法运算方法
1．复数加减运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．
2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．
1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________.
(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________.
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.
(1)6＋i (2)－7＋7i (3)－11i [(1)(3＋5i)＋(3－4i)
＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.
(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i
＝－7＋7i.
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)
＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.]
复数加减法的几何意义
【例2】 (1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为__________．
(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
[思路探究] (1)先写出点A，B，C的坐标，利用向量＝D列方程求解．
(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．
(1)3＋5i [设D(x，y)，类比向量的运算知A＝D，所以有复数－i－(1＋3i)＝2＋i－(x＋yi)，得x＝3，y＝5，所以D对应的复数为3＋5i.]
(2)[解] 设复数z1，z2，z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z 中，由余弦定理，得
cos∠OZ1Z＝＝－，
所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°，
因此△OZ1Z2是正三角形，
所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1.
若把本例(2)中的条件“|z1＋z2|＝”改为“|z1－z2|＝1”，则|z1＋z2|等于多少？
[解] 设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由|z1|＝|z2|＝1，|z1－z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，△OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，
得|z1＋z2|2＝|z1|2＋|z2|2－2|z1|·|z2|cos∠OZ1Z，
因为∠Z1OZ2＝60°，所以∠OZ1Z＝120°，
所以|z1＋z2|＝.
利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
1．技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
2．常见结论
在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
(1)为平行四边形；
(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
复数加减法的几何意义的应用
[探究问题]
1．在实数范围内a－b＞0?a＞b恒成立，在复数范围内是否有z1－z2＞0?z1＞z2恒成立呢？
提示：若z1，z2∈R，则z1－z2＞0?z1＞z2成立．否则z1－z2＞0D?/z1＞z2.
如果z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1＞0，但不能说1＋i大于i.
2．复数|z1－z2|的几何意义是什么？
提示：复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．
【例3】 复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,2,5＋3i，由A→B→C→D按逆时针顺序作ABCD，求|.
[思路探究] 首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．
[解] 如图，设D(x，y)，F为ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，
所以即
所以点D对应的复数为z＝3＋4i，所以＝－＝3＋4i－2＝1＋4i，所以||＝.
1．解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．
2．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
2．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
[解] 由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，
又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.
即|z|最大值＝6，|z|最小值＝4.
1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．
2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．
3．根据复数加法的几何意义知，两个复数对应向量的和所对应的复数就是这两个复数的和．
4．求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数与向量一一对应． ( )
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数． ( )
(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i C．i D．－i
A [(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A．]
3．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
B [z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.]
4．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为________个．
1 [依题意设z＝5＋bi，则|z|＝，
而|4－3i|＝＝5，
所以＝5，即b＝0.]
5．在复平面内，点A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长．
[解] 如图，由复数加减法的几何意义，知＝＋，
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，
∴|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
课时分层作业(六) 复数的加法与减法
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
A [z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，
∴∴x＝y＝1.
∴xy＝1.]
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，在复平面内z1－z2对应点的坐标为(5，－7)，位于第四象限．]
3．已知复数z＝a＋i(a∈R)，若z＋＝4，则复数z的共轭复数＝( )
A．2＋i B．2－i
C．－2＋i D．－2－i
B [∵z＝a＋i，
∴z＋＝2a＝4，得a＝2.
∴复数z的共轭复数＝2－i.
故选B.]
4．复平面内正方形三个顶点分别对应复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，则另一个顶点对应的复数为( )
A．2－i B．5i
C．－4－3i D．2－i,5i或－4－3i
A [如图所示，利用＝，或者＝，求另一顶点对应的复数．设复数z1，z2，z3对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，则＝－＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，＝－＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.
∵＝，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，
∴解得
故D点对应的复数为2－i.]
5．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
B [复数z1对应向量，复数z2对应向量.
则|z1＋z2|＝|＋|，|z1－z2|＝|－|，
依题意有|＋|＝|－|.
∴以，为邻边所作的平行四边形是矩形．
∴△AOB是直角三角形．]
二、填空题
6．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝__________，z2＝__________.
5－9i －8－7i [z＝z1－z2
＝－
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
∴解得
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.]
7．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________ .
1 [由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到点(－2,0)距离相等的点即虚轴，|z－1|表示z对应的点到点(1,0)的距离，∴|z－1|最小值＝1.]
8．已知z1＝2－2i，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．
2＋1 [如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而z1对应坐标系中的点为(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|的最大值为2＋1.
]
三、解答题
9．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)向量对应的复数；
(2)向量对应的复数；
(3)向量对应的复数．
[解] (1)因为＝－，所以向量对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
[解] ∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，
∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
∴解得
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
[等级过关练]
1．如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么( )
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
D [由题图可知，＋＝0，
∴＋－＝0，
∴z1＋z2－z3＝0.]
2．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4 C．4 D．16
C [由|z－4i|＝|z＋2|，得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.]
3．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，
则f(z1＋z2)＝__________.
3＋3 [∵z1＋z2＝－2＋4i＋5－i＝3＋3i，
∴f(z1＋z2)＝(3＋3i)－3i＋|3＋3i|
＝3＋＝3＋3.]
4．已知z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β且z1－z2＝＋i，则cos(α＋β)的值为________．
[∵z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β，
∴z1－z2＝(cos α－cos β)＋i(sin α＋sin β)＝＋i，
∴
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，
即cos(α＋β)＝.]
5．已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数．
[解] 因为＝，所以zA－zB＝zD－zC，
所以zD＝zA－zB＋zC＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i.
即点D对应的复数为1－7i，如图 ①.
用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.
图②中点D对应的复数为3＋7i，
图③中点D对应的复数为－11＋3i.
故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.
