11.1.2 构成空间几何体的基本元素
学 习 目 标
核 心 素 养
1.以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．(重点)
2.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．(重点)
3.理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．(难点)
1.通过认识构成几何体的基本元素的学习，体现了数学抽象的核心素养.
2.借助空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，培养直观想象的核心素养.
1．用运动的观点理解空间基本图形之间的关系
(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．
2．构成空间几何体的基本元素
点、线、面是构成空间几何体的基本元素．
3．点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法
(1)直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
(2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l
A在l外
Al
A在α内
A∈α
A在α外
Aα
l在α内
lα
l在α外
lα
l，m相交于A
l∩m＝A
l，α相交于A
l∩α＝A
α，β相交于l
α∩β＝l
4.空间两条直线的位置关系
位置关系
特点
相交
同一平面内，有且只有一个公共点
平行
同一平面内，无公共点
异面直线
既不平行也不相交，无公共点
5.直线与平面的位置关系
位置关系
直线在平面内
直线在平面外
直线与平面相交
相线与平面平行
公共点
无数个
1个
0个
符号表示
aα
a∩α＝A
a∥α
图形表示
6.两个平面的位置关系
位置关系
平行
相交
图示
表示法
α∥β
α∩β＝a
公共点个数
0个
无数个
7.直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中点A称为垂足．
(2)点到平面的距离由长方体可以看出，给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离．
(3)直线到平面的距离与两平行平面之间的距离
当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离．
1．下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [球只有一个曲面围成，故①错，②对，③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．]
2．下列关于长方体的叙述不正确的是( )
A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体
B．长方体中相对的面都相互平行
C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D．两底面之间的棱互相平行且等长
A [A中只有移动相同距离才能形成长方体．]
3．下列说法正确的是________．
(1)长方体是由六个平面围成的几何体；
(2)长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所围成的几何体；
(3)长方体一个面上的任一点到对面的距离相等．
(2)(3) [(1)错．因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；(2)正确；(3)正确．]
4．如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是________．
(1)EF与BB1垂直；(2)EF与BD垂直；(3)EF与CD异面；(4)EF与A1C1异面．
(4) [连接A1B(图略)，∵E，F分别是AB1，BC1的中点，∴EF是△A1BC1的中位线，∴EF∥A1C1，故(1)(2)(3)正确，(4)错误．]
图形语言、文字语言、符号语言的相互转化
【例1】 点P在直线a上，直线a在平面α内可记为( )
A．P∈a，aα B．Pa，aα
C．Pa，a∈α D．P∈a，a∈α
(2)用符号表示下列语句，并画出图形．
①平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于A，B.
②点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，C不在直线AB上．
[思路探究] 直线和平面看作点的集合?类比元素与集合、集合与集合之间关系的表示方法进行表示．
(1)A [由点与直线的位置关系表示方法及直线与平面之间位置关系的表示可知点P在直线a上表示为P∈a，直线a在平面α内可表示为aα，故A正确．]
(2)解：①用符号表示：
α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
②用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，CAB，如图．
三种语言的转换方法
1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”．
提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时要注意实线和虚线的区别．
1．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：
(1)点C与平面β：________.
(2)点A与平面α：________.
(3)直线AB与平面α：____________.
(4)直线CD与平面α：__________.
(5)平面α与平面β：__________.
[答案] (1)Cβ (2)Aα (3)AB∩α＝B (4)CDα (5)α∩β＝BD
从运动观点认识几何体
【例2】 如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形．
① ② ③
[思路探究] 线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．
[解]
① ② ③
用运动观点认识几何体
1．点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面．
2．在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟．
2.本例若改为AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形．
[解]
长方体中基本元素之间的关系
[探究问题]
1．射线运动后的轨迹是什么？
[提示] 水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其它情况，可形成曲面．
2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．
[提示] 面可以列举如下：
平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2；
线可以列举如下：
直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等；
点可以列举如下：
点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2；
它们共同组成了课桌这个几何体．
【例3】 在长方体ABCD-A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，
(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？
(2)与平面BC′平行的平面有哪几个？
[思路探究] 观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．
[解] (1)与直线B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′.
(2)与平面BC′平行的平面为平面AD′.
1．在本例中其他条件不变，
(1)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？
(2)与平面BC′垂直的平面有哪几个？
[解] (1)有平面AB′，平面CD′.
(2)有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC.
2．本例中与棱A′D′相交的棱有哪几条？它们与棱A′D′所成的角是多少？
[解] 有A′A，A′B′，D′D，D′C′.
由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A′D′所成角都是90°.
3．本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面A′B与面D′C之间的距离？
[解] A′D′，B′C′，BC，AD的长均可以表示．
1．平行关系的判定
(1)直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行．
(2)直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交，就平行．
(3)平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行．
2．垂直关系的判定
(1)直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直．
(2)平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直．
1．根据点、线、面之间的语言描述能够正确的使用符号语言表示它们之间的位置关系．
2．判断两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义，在很多情况下，定义就是一种常用的判断方法．
3．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分． ( )
(2)直线的移动只能形成平面． ( )
(3)平静的太平洋就是一个平面． ( )
[解析] (1)正确．
(2)直线移动可能形成曲面，故错误．
(3)平面是没有大小的，故错误．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是( )
C [选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内，故选C.]
3．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
D [可参考长方体中各条线的位置关系判断．]
4．线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)该长方体的高为________cm；
(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________cm；
(3)点A到平面BCC′B′的距离为________cm.
(1)3 (2)4 (3)5 [如图，
在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，
∴长方体的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm.]
5．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面位置关系如何？试画图分析．
[解] 这两个平面平行(如图①)或相交(如图②)
课件55张PPT。第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
点线面所有点 A∈l l∩m＝A
一个无平行相交无无数0任意一点任意一点图形语言、文字语言、符号语言的相互转化从运动观点认识几何体 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九) 构成空间几何体的基本元素
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列图形中不一定是平面图形的是( )
A．三角形 B．平行四边形
C．梯形 D．四边相等的四边形
D [三角形、平行四边形、梯形都是平面图形，只有四边相等的四边形可能不是平面图形．]
2．如图，平面α，β，γ可将空间分成( )
A．五部分 B．六部分
C．七部分 D．八部分
B [由平面α，β，γ的位置关系可知，三平面将空间分成六部分，故选B.]
3．若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是( )
A．1或2 B．2或3
C．1或3 D．1或2或3
C [若三个平面经过同一条直线，则有1条交线；若三个平面不过同一条直线，则有3条交线．]
4．已知直线m平面α，Pm，Q∈m，则( )
A．Pα，Q∈α B．P∈α，Qα
C．Pα，Qα D．Q∈α
D [由点、线、面之间的位置关系可判断P与α关系不确定，Q∈α.]
5．平面α与平面β平行，且aα，下列四种说法中( )
①a与β内的所有直线都平行；
②a与β内无数条直线平行；
③a与β内的任意一条直线都不垂直；
④a与β无公共点．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [如图，在长方体中，平面ABCD∥平面A′B′C′D′，A′D′平面A′B′C′D′，AB平面ABCD，A′D′与AB不平行，且A′D′与AB垂直，所以①③错．]
二、填空题
6．如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是________．
4 [与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1共4条．]
7．如图所示，用符号语言表示以下各概念：
①点A，B在直线a上________；
②直线a在平面α内________；
③点D在直线b上，点C在平面α内________．
①A∈a，B∈a ②aα ③D∈b，C∈α [根据点、线、面位置关系及其表示方法可知：①A∈a，B∈a，②aα，③D∈b，C∈α.]
8．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
6 [如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.]
三、解答题
9．请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形．
① ② ③
[解] 图①可看成平面β被α挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可．
① ② ③
10．试指出下列各几何体的基本元素(如图)：
① ② ③ ④
[解] ①中几何体有6个顶点，12条棱和8个三角形面；
②中几何体有12个顶点，18条棱和8个面；
③中几何体有6个顶点，10条棱和6个面；
④中几何体有2条曲线，3个面(2个圆面和1个曲面)．
[等级过关练]
1．如图所表示的简单组合体，可由下面某个图形绕虚线旋转而成，这个图形是( )
C [分析题图所表示的几何体可知，该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组合而成的．根据“线动成面”的规律可知形成圆锥可由直角三角形绕一条直角边旋转而成，而圆柱则可由长方形绕其中一边旋转而成，故选C.]
2．如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为( )
A．模块①，②，⑤ B．模块①，③，⑤
C．模块②，④，⑤ D．模块③，④，⑤
A [先将⑤放入⑥中的空缺部分，然后在上层放入①②可得正方体．]
3．有以下三个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；
③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．
其中真命题的序号是________．
①③ [由直线在平面外的定义可知①正确；直线l在平面α内用符号“”表示，即lα，②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确．]
4．在如图所示的长方体ABCD-A′B′C′D′中，互相平行的平面共有______对，与A′A垂直的平面是______．
3 平面ABCD、平面A′B′C′D′ [平面ABCD与平面A′B′C′D′平行，平面ABB′A′与平面CDD′C′平行，平面ADD′A′与平面BCC′B′平行，共3对．
与AA′垂直的平面是平面ABCD，平面A′B′C′D′.]
5．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线cβ，c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．
[解] (1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又cβ，所以c与α无公共点，则c∥α.
(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则aα，bβ，且a，bγ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.
